2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные.

Параллельным переносом в евклидовом пространстве V мы будем называть преобразование, задаваемое формулами

где х — фиксированная точка, называемая новым началом координат.

Пусть точки имеют координаты, соответственно равные

Тогда в координатах параллельный перенос определяется формулами

Отметим, что при параллельном переносе любой фиксированный базис не изменяется.

Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный.

Допустим, что ортонормированный базис преобразуется в новый ортонормированный базис Разложим каждый вектор по векторам . Получим

Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70):

Так как базисы ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения на получим

Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р, т. е. матрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов. Очевидно, согласно (7.72),

где 1 — единичная матрица.

Равенства (7.73) показывают, что матрица Р является обратной для матрицы Р, т. е.

Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса по формулам (7.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то же, (7.74)).

Тогда очевидно, элементы матрицы Р удовлетворяют условию (7.72), что согласно этим же соотношениям (7.72), эквивалентно условию ортонормированности базиса

Напомним, что в § 9 гл. 5 матрицу Р, удовлетворяющую условию (7.73), мы назвали ортогональной.

Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования была ортогональной.

Замечание. Обращаясь к формулам (5.14) преобразования координат вектора при преобразовании базиса (см п. 1, § 2, гл. 5) и учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрицы Р есть матрица Р, получим следующие формулы преобразования координат точки х при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному: