2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные.
Параллельным переносом в евклидовом пространстве V мы будем называть преобразование, задаваемое формулами
где х — фиксированная точка, называемая новым началом координат.
Пусть точки 
имеют координаты, соответственно равные 
Тогда в координатах параллельный перенос определяется формулами
Отметим, что при параллельном переносе любой фиксированный базис не изменяется.
Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный.
Допустим, что ортонормированный базис преобразуется в новый ортонормированный базис 
Разложим каждый вектор 
по векторам 
. Получим
Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70):
Так как базисы 
ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения 
на 
получим
Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р, т. е. матрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов. Очевидно, согласно (7.72),
где 1 — единичная матрица.
Равенства (7.73) показывают, что матрица Р является обратной для матрицы Р, т. е.
Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса по формулам (7.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то же, (7.74)).
Тогда очевидно, элементы 
матрицы Р удовлетворяют условию (7.72), что согласно этим же соотношениям (7.72), эквивалентно условию ортонормированности базиса 
Напомним, что в § 9 гл. 5 матрицу Р, удовлетворяющую условию (7.73), мы назвали ортогональной.
Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования была ортогональной.
Замечание. Обращаясь к формулам (5.14) преобразования координат вектора при преобразовании базиса (см п. 1, § 2, гл. 5) и учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрицы Р есть матрица Р, получим следующие формулы преобразования координат точки х при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному:
