2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат.

Пусть, как и выше, базис преобразуется в с помощью невырожденной матрицы (2.26), так что обратное преобразование базисов задается матрицей (2.27). Пусть далее х — произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства его координаты относительно первого базиса — его координаты относительно второго базиса так что

Подставив в это равенство вместо элементов их выражения, определяемые формулами (2.28), получим

Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису сразу же вытекают формулы перехода от координат относительно первого базиса к

координатам относительно второго базиса:

Формулы (2.29) показывают, что переход от координат к координатам осуществляется с помощью матрицы

транспонированной к обратной матрице (2.27).

Мы приходим к следующему выводу: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы транспонированной к обратной матрице