§ 3. Комплексное евклидово пространство

1. Определение комплексного евклидова пространства.

В конце § 1 гл. 2 мы уже указывали, что если в определении линейного пространства числа брать не из множества вещественных чисел, а из множества всех комплексных чисел, то

мы придем к понятию комплексного линейного пространства.

На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидово пространство, играющее фундаментальную роль в теории несамосопряженных линейных преобразований.

Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произведения двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам.

Определение. Комплексное линейное пространство называется комплексным евклидовым пространством, если, выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у этого пространства ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом

II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

4°. представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда х — нулевой элемент.

Логическими следствиями аксиом 1°-3° являются следующие два соотношения:

В самом деле, из аксиом 1° и 3° заключаем, что

а из аксиом 1° и 2° получим, что

Приведем примеры конкретных комплексных евклидовых пространств.

Пример 1. Рассмотрим совокупность всех функций определенных для значений из сегмента и принимающих комплексные значения такие, что вещественные функции являются непрерывными на этом сегменте. Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таких функций определим соотношением

Нетрудно убедиться в справедливости для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°, из чего следует, что рассматриваемая совокупность представляет собой комплексное евклидово пространство.

Пример 2. Рассмотрим комплексное линейное пространство элементами которого служат упорядоченные совокупности комплексных чисел, с такими же определениями операций сложения элементов и умножения их на числа, как и в случае вещественного линейного пространства

Скалярное произведение двух любых элементов определим соотношением

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4° вытекает из соотношения

Стало быть, пространство со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством.

Пример 3. В том же самом комплексном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), а более общим соотношением

в котором — произвольная матрица, состоящая из комплексных чисел удовлетворяющих условию такая, что квадратичная форма для всех комплексных принимает вещественные неотрицательные значения и

обращается в нуль лишь при условии

Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам