§ 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве
1. Понятие сопряженного оператора.
Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве V.
Определение 1. Оператор А из
называется сопряженным к линейному оператору А, если для любых х и у из V выполняется соотношение
Легко убедиться в том, что оператор А, сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это вытекает из очевидного соотношения
справедливого для любых элементов
и любых комплексных чисел
Докажем следующую теорему.
Теорема 5.12. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный.
Доказательство. Очевидно, скалярное произведение
представляет собой полуторалинейную форму (см. гл, 4, § 3, п. 1 и определение полуторалинейной формы).
По теореме 5.11 существует единственный линейный оператор А такой, что эта форма может быть представлена в виде
. Таким образом,
.
Следовательно, оператор А — сопряженный к оператору А. Единственность оператора А следует из единственности представления полуторалинейного оператора в виде (5.44). Теорема доказана.
В дальнейшем символ А будет обозначать оператор, сопряженный оператору А.
Отметим следующие свойства сопряженных операторов:
Доказательства свойств
элементарны, и мы предоставляем их читателю. Приведем доказательство свойства 5°.
Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение
. С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений:
Таким образом,
Иными словами, оператор
является сопряженным к оператору
Справедливость свойства 5° установлена.
Замечание. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3 формулируется так: