§ 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве

1. Понятие сопряженного оператора.

Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве V.

Определение 1. Оператор А из называется сопряженным к линейному оператору А, если для любых х и у из V выполняется соотношение

Легко убедиться в том, что оператор А, сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это вытекает из очевидного соотношения

справедливого для любых элементов и любых комплексных чисел

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.12. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный.

Доказательство. Очевидно, скалярное произведение представляет собой полуторалинейную форму (см. гл, 4, § 3, п. 1 и определение полуторалинейной формы).

По теореме 5.11 существует единственный линейный оператор А такой, что эта форма может быть представлена в виде . Таким образом, .

Следовательно, оператор А — сопряженный к оператору А. Единственность оператора А следует из единственности представления полуторалинейного оператора в виде (5.44). Теорема доказана.

В дальнейшем символ А будет обозначать оператор, сопряженный оператору А.

Отметим следующие свойства сопряженных операторов:

Доказательства свойств элементарны, и мы предоставляем их читателю. Приведем доказательство свойства 5°.

Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение . С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений:

Таким образом, Иными словами, оператор является сопряженным к оператору Справедливость свойства 5° установлена.

Замечание. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3 формулируется так: