6. Определитель суммы и произведения матриц.

Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает, что определитель суммы двух квадратных, матриц одного и того же порядка равен сумме всех различных определителей порядка которые могут получиться, если часть строк (или столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) матрицы А, а остальную часть — совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) В.

Докажем теперь, что определитель матрицы С, равной произведению квадратной матрицы А на квадратную матрицу В, равен произведению определителей матриц А и В.

Пусть порядок всех трех матриц А, В и С равен пусть О — нулевая квадратная матрица порядка следующая матрица:

В силу примера 2 из предыдущего пункта определитель матрицы равен числу

Рассмотрим следующие две блочные квадратные матрицы порядка

В силу формул (1.37) и (1.38) из предыдущего пункта определители этих матриц равны

Таким образом, достаточно доказать равенство определителей

Подробнее эти два определителя можно записать так:

Для того чтобы убедиться в равенстве этих двух определителей, достаточно заметить, что первые столбцов у этих определителей совпадают, а каждый столбец второго определителя (1.40) с номером в силу формулы получается в результате прибавления к столбцу первого определителя (1.40) линейной комбинации первых его столбцов с коэффициентами, соответственно равными

Таким образом, определители (1.40) равны в силу следствия 5 из п. 3.

В заключение заметим, что непосредственно из формулы (1.37) вытекает, что определитель прямой суммы двух матриц А и В равен произведению определителей этих матриц.