2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства.

Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.

Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для любого вещественного, числа X, в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство . В силу аксиом последнее неравенство можно переписать в виде

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.

Наша очередная задача — ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.

Определение. Линейное пространство называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое символом

II. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

если х — ненулевой элемент, если х — нулевой элемент.

для любого элемента х и любого вещественного числа

3°. Для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство:

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского).

Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1 —3° из определения нормированного пространства.

Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.

Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши—Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.

Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем между элементами тот (изменяющийся в пределах от 0 до ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши—Буняковского (4.7) дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.

Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю (в этом случае косинус угла между элементами х и у будет равен нулю).

Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.

Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и то в силу аксиом и определения нормы

Этот результат обобщается и на попарно ортогональных элементов если то

В заключение запишем норму, неравенство Коши—Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.

В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной неравенство Коши—Буняковского приводится к виду , а неравенство треугольника — к виду

В евклидовом пространстве всех непрерывных на сегменте функций со скалярным произведением (4.1) норма элемента равна а неравенства Коши—Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.

В евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента равна

а неравенства Коши—Буняковского и треугольника имеют вид

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента равна

а неравенства Коши—Буняковского и треугольника имеют вид