ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с операцией сложения свободных векторов и с операцией умножения вектора на вещественное число, а также со свойствами этих операций. В настоящей главе изучаются множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на вещественное число, причем указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами. Такие множества, называемые линейными пространствами, обладают целым рядом общих свойств, которые и будут установлены в настоящей главе.

§ 1. Понятие линейного пространства

1. Определение линейного пространства.

Множество элементов любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования:

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества ставится в соответствие третий элемент этого множества, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый символом .

II Имеется правило, посредством которого любому элементу х множества и любому вещественному числу X ставится в соответствие элемент и этого множества, называемый произведением элемента х на число X и обозначаемый символом или

III. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

1°. (переместительное свойство суммы);

2°. (сочетательное свойство суммы);

3°. существует нулевой элемент 0 такой, что для любого элемента х (особая роль нулевого элемента);

4°. для каждого элемента х существует противоположный элемент х такой, что

для любого элемента х (особая роль числового множителя 1);

(сочетательное относительно числового множителя свойство);

(распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);

(распределительное относительно суммы элементов свойство).

Подчеркнем, что при введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным в данном выше определении).

Если же природа изучаемых объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны то мы будем называть линейное пространство конкретным.

Приведем примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на вещественное число X длина этого вектора умножается на , а направление при остается неизменным, а при — изменяется на противоположное).

Элементарно проверяется справедливость всех аксиом (справедливость всех аксиом, за исключением аксиомы 5°, установлена в курсе аналитической геометрии справедливость аксиомы 5° не вызывает сомнений.)

Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом

Аналогичные множества векторов на плоскости и на прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соответственно символами

Пример 2. Рассмотрим множество всех положительных вещественных чисел. Определим сумму двух элементов этого множества как произведение вещественных чисел х и у (понимаемое в обычном в теории вещественных чисел

смысле). Произведение элемента х множества на вещественное число определим как возведение положительного вещественного числа х в степень Нулевым элементом множества будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента х) элементом будет являться вещественное число

Легко убедиться в справедливости всех аксиом . В самом деле, справедливость аксиом 1° и 2° вытекает из переместительного и сочетательного свойств произведения вещественных чисел; справедливость аксиом 3 и 4° вытекает из элементарных равенств (для любого вещественного аксиома 5° эквивалентна равенству аксиомы 6° и 7° справедливы в силу того, что для любого и любых вещественных Яиц имеют место соотношения наконец, справедливость аксиомы 8° следует из того, что для любых положительных х и у и для любого вещественного X имеет место равенство . Итак, мы убедились, что множество с так определенными операциями сложения элементов и умножения их на числа является линейным пространством.

Пример 3. Важный пример линейного пространства дает множество элементами которого служат упорядоченные совокупности произвольных вещественных чисел Элементы этого множества мы будем обозначать одним символом х, т. е. будем писать и при этом называть вещественные числа координатами элемента

В анализе множество А обычно называют -мерный координатным пространством. В алгебраической трактовке множество можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит вещественных чисел (что мы уже и делали в § 3 гл. 1).

Операции сложения элементов множества и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами:

Предоставляем читателю элементарную проверку справедливости всех аксиом и того факта, что нулевым элементом рассматриваемого множества является элемент а противоположным для элемента является элемент

Пример 4. Рассмотрим далее множество всех функций определенных и непрерывных на сегменте а Операции сложения таких функций и умножения их на

вещественные числа определим обычными правилами математического анализа. Элементарно проверяется справедливость аксиом позволяющая заключить, что множество является линейным пространством.

Пример 5. Следующим примером линейного пространства может служить множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа с операциями, определенными так же, как в предыдущем примере. Заметим, что множество если его рассматривать на сегменте а с с является подмножеством линейного пространства рассмотрецного в примере 4.

Замечание 1. Для разъяснения изучаемого понятия линейного пространства укажем примеры множеств, по той или иной причине не являющихся линейными пространствами:

а) множество всех векторов пространства с исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой

б) множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу (сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже

в) множество всех многочленов степени, не превышающей натурального все коэффициенты которых положительны (элементы такого множества нельзя умножить на отрицательные вещественные числа).

Замечание 2. Отметим, что элементы произвольного линейного пространства принято называть векторами. То обстоятельство, что часто термин «вектор» употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напротив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы.

Замечание 3. В сформулированном нами определении линейного пространства числа брались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное нами пространство естественно назвать вещественным линейным пространством. При более широком подходе можно брать из множества комплексных чисел. При этом мы придем к понятию комплексного линейного пространства.