§ 2. Базис и размерность линейного пространства

1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства.

В курсе аналитической геометрии было введено понятие линейной зависимости векторов, а в п. 1 § 3 предыдущей главы — понятие линейной зависимости строк (или, что то же самое, элементов пространства рассмотренного в примере 3 из п. 1 § 1 настоящей главы).

Обобщением этих понятий является понятие линейной зависимости элементов совершенно произвольного линейного пространства, к выяснению которого мы и переходим.

Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство с элементами

Линейной комбинацией элементов пространства мы будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т. е. выражение вида

где — какие угодно вещественные числа.

Определение 1. Элементы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов с указанными числами является нулевым элементов пространства , т. е. имеет место равенство

Элементы не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимыми.

Дадим другое определение линейно независимых векторов, построенное на логическом отрицании содержания определения 1.

Определение 2. Элементы пространства называются линейно независимыми, если линейная комбинация (2.1) является нулевым элементом пространства лишь при условии

Теорема 2.3. Для того чтобы элементы пространства были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть элементы линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (2.2), в котором хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Пусть, ради определенности, Тогда, поделив (2.2) на а и введя обозначения можем

переписать (2.2) в виде

а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов

2) Достаточность. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде

Так как из чисел одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов Теорема доказана.

Справедливы два элементарных утверждения:

1. Если среди элементов имеется, нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимы. В самом деле, если, например, то равенство (2.2) справедливо при

2. Если часть элементов являются линейно зависимыми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми. В самом деле, если, например, элементы линейно зависимы, то справедливо равенство в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами будет справедливо равенство (2.2).

В заключение рассмотрим вопрос о линейной зависимости элементов пространства введенного в примере 3 п. 1 § 1. Докажем, что элементов указанного пространства

являются линейно независимыми, а совокупность элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента пространства уже образует линейно зависимую систему элементов.

Рассмотрим линейную комбинацию элементов (2.5) с какими-либо числами . В силу аксиом эта линейная ком бинация представляет собой элемент

который является нулевым лишь при условии

Но это и означает линейную независимость элементов (2.5).

Докажем теперь, что система, состоящая из элементов (2.5) и еще одного произвольного элемента пространства уже является линейно зависимой. В силу теоремы 2.3 достаточно доказать, что элемент представляет собой линейную комбинацию элементов (2.5), а это очевидно, ибо в силу аксиом