ГЛАВА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

В этой главе будут изложены основные понятия теории групп и указаны некоторые приложения этой теории.

Важность теории групп определяется многочисленными ее приложениями в физике.

§ 1. Понятие группы. Основные свойства групп

1. Законы композиции.

Будем говорить, что в множестве А определен закон композиции, если задано отображение Т упорядоченных пар элементов из А в множество А. При этом элемент с из А, поставленный с помощью отображения Т в соответствие элементам из А называется композицией этих элементов.

Композиция с элементов а и обозначается символом

Для композиции элементов множества А используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная форма записи и мультипликативная форма записи

В случае аддитивной формы записи композиции соответствующий закон композиции обычно называется сложением, а при мультипликативной форме — умножением. Закон композиции называется ассоциативным, если для любых элементов с множества А выполняется соотношение

Закон композиции называется коммутативным, если для любой пары выполняется соотношение

Элемент множества А называется нейтральным относительно закона Т, если для любого элемента а множества А выполняется соотношение

Примерами законов композиции могут служить обычные сложение и умножение в множестве вещественных чисел Оба эти закона коммутативны. Нейтральным элементом для сложения является нуль, для умножения — единица.