§ 2. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений

Ради простоты сначала будем рассматривать вещественную симметричную матрицу А, определяемую равенством (6.2). Заметим, что отыскание всех собственных значений и собственных векторов этой матрицы сводится к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение

представляет собой диагональную матрицу. В самом деле, если такая ортогональная матрица Т будет найдена, то диагональные элементы матрицы будут являться собственными значениями матрицы А, а столбцы матрицы Т будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А.

Введем в рассмотрение сферическую норму матрицы А:

Тогда, очевидно, для диагональных элементов матрицы А будет справедливо неравенство

причем это неравенство переходит в точное равенство только в случае, когда матрица А является диагональной.

Заметим теперь, что при ортогональном преобразовании матрицы А (т. е. при преобразовании вида , где и R — ортогональные матрицы) сферическая норма этой матрицы не изменяется. Отсюда следует, что от всех ортогональных преобразований матрицы А преобразование (6.29) отличается тем, что это преобразование делает максимальной сумму квадратов диагональных элементов преобразованной матрицы и минимальной — сумму квадратов всех внедиагональных элементов этой матрицы.

Методом вращения называется итерационный метод, при котором указанная выше матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращения, каждая из которых имеет вид

В целом метод вращений состоит в построении последовательности матриц

каждая последующая из которых получается из предыдущей при помощи элементарного шага вида

Если для упрощения записи опустить индекс и рассмотреть один такой шаг осуществляемый с помощью матрицы (6.31), то для элементов преобразованной матрицы А мы получим следующие выражения через элементы матрицы А:

Из соотношений (6.33) и из условия симметричности матрицы А вытекает следующее легко проверяемое равенство:

Из этого равенства вытекает, что для максимального уменьшения суммы квадратов всех внедиагональных элементов необходимо матрицу (6.31) выбрать так, чтобы были выполнены два требования:

1) номера выбрать так, чтобы квадрат элемента был наибольшим среди квадратов всех недиагональных элементов матрицы А, т. е. выбор номеров подчинить условию

2) угол поворота в матрице (6.31) выбрать так, чтобы было справедливо равенство

Равенство (6.35) однозначно определяет угол удовлетворяющий условиям

Это равенство позволяет вычислять по формулам

где

Заметим, что если матрица (6.31) выбрана так, что выполнены указанные выше требования 1) и 2), то равенство (6.34) переходит в следующее соотношение:

в котором представляет собой наибольший по модулю внедиагональный элемент матрицы.

Теперь мы можем более точно сказать, что метод вращений состоит в построении последовательности матриц (6.32), каждая последующая из которых получается из предыдущей посредством ортогонального преобразования в котором матрица выбирается так, чтобы были выполнены указанные выше два требования

Докажем сходимость метода вращений. Обозначим символом сумму квадратов всех внедиагональных элементов матрицы а символом наибольший по модулю внедиагональный элемент этой матрицы.

Тогда в силу (6.37) справедливо равенство

Далее, поскольку общее число внедиагональных элементов матрицы равно — наибольший по модулю из этих элементов, то справедливо неравенство

Из (6.38) и (6.39) вытекает неравенство

Последовательно используя неравенство (6.40), записанное для номеров , и обозначая через сумму квадратов всех внедиагональных элементов основной матрицы А, мы получим, что

Из неравенства (6 41) сразу же следует, что что и доказывает сходимость метода вращений.

В качестве приближенных значений собственных чисел матрицы А берутся диагональные элементы матрицы а в качестве приближенных собственных векторов матрицы А берутся столбцы матрицы

Более точные результаты получены В. В. Воеводиным Для случая, когда произвольная (не обязательно симметричная) матрица А не имеет жордановых

клеток и все ее внедиагональные элементы являются величинами порядка и малы по сравнению с числом В. В. Воеводин получил следующие оценки:

а) для собственных значений оценку (из указанной суммы исключаются значения принадлежащие множеству тех чисел для которых

б) если Т — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А и , где Е — единичная матрица, то для элементов матрицы Н справедливы оценки

Если А — комплексная эрмитова матрица, то вместо матрицы (6.31) следует взять унитарную матрицу

При этом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству

в котором через а обозначен аргумент комплексного числа

Для максимального уменьшения суммы квадратов модулей внедиагональных элементов следует у матрицы (6.42) выбрать такие номера и чтобы элемент был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А, а выбор углов и подчинить условию

Последнее условие приводит к соотношениям

Доказательство сходимости метода вращений проводится точно так же, как и для случая вещественной матрицы.