5. Примеры представлений групп.

Пример 1. Пусть — группа симметрии трехмерного пространства, состоящая из двух элементов: тождественного преобразования (единица группы) и отражения Р относительно начала координат. Таким образом,

Умножение элементов группы задается следующей таблицей:

1) Одномерное представление группы

Выберем в пространстве базис и рассмотрим матрицу линейного невырожденного преобразования в этом пространстве: . Очевидно, преобразование образует подгруппу в группе линейных преобразований пространства причем умножение в этой подгруппе задается таблицей

Очевидно, мы получим одномерное представление группы

с помощью соотношений соотношения задают гомоморфизм группы в а следовательно, и ее представление).

2) Двумерное представление группы

Выберем в какой-либо базис и рассмотрим в этом базисе матрицы линейных невырожденных преобразований

(так как , то — невырожденные преобразования)

Преобразования образуют подгруппу в группе Непосредственной проверкой (путем перемножения матриц убеждаемся, что умножение операторов задается таблицей

Мы получим двумерное представление группы с помощью соотношений

Действительно, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35), мы видим, что (9.36) определяет изоморфизм группы на подгруппу группы а следовательно, и представление этой группы.

3) Трехмерное представление группы

Рассмотрим в линейное преобразование задаваемое матрицей

Это преобразование образует подгруппу в группе с законом умножения

Как и в случае одномерного представления, мы получаем трехмерное представление с помощью соотношений:

4) Четырехмерное представление группы

Рассмотрим в Е линейные преобразования и ваемые матрицами

Преобразования образуют подгруппу в группе с законом умножения, задаваемым таблицей, аналогичной таблице (9.35) (с заменой индекса 2 на индекс 4). Очевидно, мы получаем четырехмерное представление группы с помощью соотношений

Замечание. Нетрудно видеть, что матрицы можно записать в виде

Поэтому представление можно условно записать в виде Совершенно аналогично можно условно записать в виде

Используя это замечание, читатель без труда построит представление группы любой конечной размерности.

Пример 2. В п. 5 § 2 этой главы мы доказали, что только что рассмотренная группа симметрии трехмерного пространства представляет собой нормальный делитель группы (группа ортогональных преобразований пространства . В том же пункте мы доказали, что подгруппа собственных ортогональных преобразований группы изоморфна фактор-группе группы по нормальному делителю

Так как группа гомоморфно отображается на каждую свою фактор-группу, то гомоморфно отображается на группу Как мы видели в п. 5 § 3 этой главы, указанный гомоморфизм осуществляется следующим образом.

Если а — собственное преобразование из то ему из ставится в соответствие это же самое преобразование.

Если а — несобственное преобразование, то ему ставится в соответствие собственное преобразование

Таким образом, мы получаем трехмерное представление группы ортогональных преобразований посредством группы собственных ортогональных преобразовании.