§ 2. Группы преобразований

В этом параграфе изучаются группы невырожденных линейных преобразований линейного и, в частности, евклидова пространства.

1. Невырожденные линейные преобразования.

В п. 1 § 1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства V в линейное пространство при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.

Мы будем рассматривать так называемые невырожденные линейные операторы, отображающие данное конечномерное линейное пространство V в это же пространство. При этом линейный оператор А называется невырожденным, если .

Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отображает пространство V на себя взаимно однозначно.

Иными словами, если А — невырожденный оператор, то каждому элементу соответствует только один элемент который может быть найден по формуле

и если у — любой фиксированный элемент пространства V, то существует только один элемент х такой, что

Для доказательства второй части сформулированного утверждения обратимся к матричной записи действия линейного оператора. Итак, если — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты то, согласно формуле (5.14) (см. п. 1 § 2 гл. 5), соотношение (9.10) перепишется в виде

и поэтому координаты х можно рассматривать как неизвестные при заданных координатах . Так как оператор А невырожденный, т. е. система уравнений (9.11) имеет единственное решение для неизвестных Это и означает, что для каждого фиксированною элемента существует только один элемент х такой, что

Итак, результат действия невырожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного пространства V на себя.

Поэтому при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства V, или, короче, о линейном преобразовании пространства V.