§ 3. Представления групп

В предыдущем параграфе мы рассматривали группы линейных преобразований линейного пространства. Таким образом, линейные преобразования исследовались с точки зрения их групповых

свойств. При этом не игнорируются геометрические и другие свойства линейных преобразований.

В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований.

Один из способов решения этого вопроса заключается в гомоморфном (и, в частности, изоморфном) отображении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейных преобразований.

Таким образом, возникает понятие представления данной группы с помощью подгруппы группы линейных преобразований.

Изучение различных представлений данной группы позволяет выявить важные свойства группы, нужные для различных приложений.

Во многих разделах физики (кристаллография, теория относительности, квантовая механика и т. д.) требуется построение представлений различных групп (конечных и дискретных подгрупп группы групп и т. д.). построения выходят далеко за рамки начальных понятий теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве.

Мы ограничимся некоторыми понятиями, используемыми в теории представлений и примерами.

1. Линейные представления групп. Терминология.

Определение. Линейным представлением группы в конечномерном евклидовом пространстве называется такое отображение посредством которого каждому элементу а этой группы ставится в соответствие линейное преобразование пространства так, что для любых из выполняется соотношение

Таким образом, линейное представление группы в конечномерном евклидовом пространстве есть гомоморфизм этой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства.

Используется следующая терминология: пространство называется пространством представления, размерность этого пространства называется размерностью представления, базис в пространстве называется базисом представления.

Заметим, что гомоморфный образ группы также называется представлением этой группы в пространстве представлений.

В дальнейшем для краткости -мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы.

Для обозначения представления группы используется символ различные представления данной группы отмечаются индексом (например, ). Символом будем обозначать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу в представлении

Тривиальным представлением группы называется гомоморфное отображение в единичный элемент группы .

Если отображение группы на подгруппу является изоморфизмом, то представление называется точным.

Очевидно, не у всякой группы есть точное -мерное представление для заданного . Например, у группы 0 (10), конечно, не может быть точного одномерного представления (это следует, в частности, из того, что группа абелева, а группа не абелева).

Отметим, что при гомоморфном отображении группы в получающееся представление группы изоморфно факторгруппе где — так называемое ядро гомоморфизма то множество элементов которое при гомоморфизме отображается в единицу группы .