3. Преобразования базиса и координат.

Пусть — заданные взаимные базисы, а — некоторые новые взаимные базисы, элементы которых мы обозначим штрихованными индексами. Фактически это означает, что мы вводим новый натуральный ряд и считаем, что индекс принимает значения Таким образом, индексы независимо принимают различные значения:

Используя введенное в предыдущем пункте соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. В результате получим:

1) формулы перехода от старого базиса к новому базису и формулы обратного перехода

2) формулы перехода от старого базиса к новому и формулы обратного перехода

Так как преобразования (8.12) (равно как и преобразования взаимно обратны, то матрицы (равно как и матрицы взаимно обратны

Докажем, что матрицы тождественны. Тем самым будет доказана тождественность и матриц Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (8 12) на а второе из равенств (8 13) — на Учитывая соотношения (8.2), получим

Из этих соотношений при получим

Поскольку правые части соотношений (8.14) и (8.15) равны, то равны и левые части Иными словами, а это и означает тождественность матриц Отметим, что элементы -матрицы могут быть вычислены по формулам (8 14).

Итак, справедливо утверждение:

Для перехода от базиса к базису достаточно знать лишь матрицу перехода от базиса к базису (матрица ) вычисляется по матрице

Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов:

Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора х при переходе к новому базису

Пусть — ковариантные координаты х в базисе Тогда, согласно (8.7), имеем Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для из формул (8.16), найдем

Мы приходим к следующему выводу: формулы преобразования ковариантных координат вектора X при переходе к новому базису имеют вид

Следовательно, при переходе к новому базису ковариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы прямого перехода от старого базиса к новому.

Это согласование преобразований и объясняет наименование ковариантные координаты вектора.

Рассмотрим теперь преобразование контравариантных координат вектора

Подставляя в правую часть соотношения выражение для из формул (8.16), получим после преобразований

Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы обратного перехода от нового базиса к старому.

Это несогласование преобразований и объясняет термин контравариантные координаты вектора,