3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе.

Рассмотрим параллельный перенос, который определяется как преобразование пространства V по формуле (7.68) (или в координатах по формуле (7.69)).

Левая часть (7.62) после подстановки вместо х его выражения по формуле (7.68) в силу линейности квадратичной формы по первому и второму аргументу и свойств линейной формы примет следующий вид:

Итак, общее уравнение (7.62) гиперповерхности при параллельном переносе (7.68) запишется в форме

где линейная форма и постоянное число с определяются соотношениями

Запишем полученные формулы в координатах.

Пусть координаты точек х их равны соответственно

Так как при параллельном переносе базис не меняется, то квадратичная форма запишется следующим образом:

(отметим, что коэффициенты не меняются, так как не меняются базисные векторы ей).

Следовательно, мы можем сделать важный вывод: при параллельном переносе группа старших членов сохраняет свой вид. Займемся теперь формулами (7.77) и (7.78). Так как

то формула (7.77) примет вид

а формула (7.78) запишется следующим образом:

Таким образом, уравнение (7.76) в координатах будет иметь следующий вид:

Нам понадобится несколько иное, чем (7.81), выражение для . Запишем (7.81) в следующей форме:

Учитывая, что коэффициенты выражаются, как это следует из (7.80), по формулам

мы получим из (7.83) нужное нам выражение для :