2. Основные операции над матрицами и их свойства.

Прежде всего договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

а) Сложение матриц. Суммой двух матриц одних и тех же порядков тип называется матрица тех же порядков тип, элементы которой равны

Для обозначения суммы двух матриц используется запись , Операция составления суммы матриц называется их сложением.

Итак, по определению

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: ,

2) сочетательным свойством: .

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

б) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на вещественное число X называется матрица элементы которой равны

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя:

2) распределительным свойством относительно суммы матриц:

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу С тех же порядков тип, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: .

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу

в) Перемножение матриц. Произведением матрицы имеющей порядки, соответственно равные на матрицу имеющую порядки, соответственно равные называется матрица имеющая порядки, соответственно равные и элементы определяемые формулой

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

В частности, оба произведения можно определить лишь в том случае, когда число столбцов А совпадает с числом строк 5, а число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы будут квадратными, но порядки их будут, вообще говоря, различными. Для того чтобы оба произведения не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении строки и столбца матрицы равен сумме попарных произведений соответ ствующих элементов строки матрицы А и столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матрицу В:

1) сочетательное свойство

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: или

Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если , то элемент матрицы в силу (1.4) равен а элемент матрицы равен , но тогда равенство вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительно и

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц А и В оба произведения и определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить то

Здесь мы укажем, однако, важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка имеет вид

где — какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. то для любой квадратной матрицы А порядка справедливо равенство . В самом деле, обозначим символами элементы, стоящие на пересечении строки и столбца матриц и соответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы получим, что

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при называется единичной матрицей порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при называется нулевой матрицей порядка и обозначается символом О. Таким образом,

В силу доказанного выше . Более того, из формул (1.6) очевидно, что

Первая из формул (1.7) характеризует особою роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю).