ГЛАВА 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В настоящей главе изучаются различные методы решения системы линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения.
Все используемые на практике методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две большие группы: точные методы и итерационные методы.
Под точным методом решения понимается метод, теоретически позволяющий получить точные значения неизвестных в результате проведения конечного числа арифметических операций. Примером точного метода может служить изложенный в главе 3 метод, основанный на применении формул Крамера.
Итерационные методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений). Итерационные методы весьма удобны для использования современной вычислительной техники.
Изложению наиболее употребительных итерационных методов решения линейных систем посвящен § 1 настоящей главы.
Итерационные методы находят широкое применение и при решении другой важной вычислительной задачи линейной алгебры — так называемой полной проблемы собственных значений (так называют проблему отыскания всех собственных значений и отвечающих им собственных векторов заданной матрицы). В итерационных методах
собственные значения вычисляются как пределы некоторых числовых последовательностей без предварительного определения коэффициентов характеристического многочлена.
В § 2 настоящей главы разбирается один из самых важных и наиболее употребительных на ЭВМ итерационных методов решения полной проблемы собственных значений — так называемый метод вращений (или метод Якоби). Этот метод применим ко всякой симметричной (или к эрмитовой) матрице, легко реализуется на ЭВМ и всегда сходится. Он устойчив по отношению к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений и обладает тем замечательным свойством, что наличие кратных и близких друг к другу собственных значений не только не замедляет его сходимости, а, напротив, ускоряет ее. Метод вращений, предложенный Якоби и известный еще с середины прошлого века, долгое время не находил практического применения из-за большого объема вычислений, необходимых для его реализации. И лишь появление быстродействующих электронных вычислительных машин сделало его самым эффективным методом решения полной проблемы собственных значений симметричных и эрмитовых матриц.
