3. Теорема Лапласа.

В этом пункте мы установим замечательную формулу, обобщающую формулу разложения определителя порядка по какой-либо его строке.

С этой целью введем в рассмотрение миноры матрицы порядка типов.

Пусть — любой номер, меньший произвольные номера, удовлетворяющие условиям

Миноры первого типа являются определителями порядка соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Миноры второго типа являются определителями порядка соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания строк с номерами и столбцов с номерами

Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.

Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере меньшем и при любых фиксированных номерах строк таких, что для определителя порядка (1.11) справедлива формула

называемая разложением этого определителя по кстрокам Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов удовлетворяющим условиям

Доказательство. Прежде всего заметим, что формула (1.31) является обобщением уже доказанной нами формулы разложения определителя порядка по одной его строке с номером в которую она переходит (при этом минор совпадает с элементом а минор — это введенный выше минор элемента

Таким образом, при формула (1.31) доказана. Доказательство этой формулы для любого удовлетворяющего неравенствам проведем по индукции, т. е. предположим, что формула (1.31) справедлива для строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для строк.

Итак, пусть и фиксированы какие угодно строк матрицы (1.8) с номерами удовлетворяющими условию Тогда по предположению для строк с номерами справедлива формула

(суммирование идет по всем возможным значениям индексов удовлетворяющим условиям

Разложим в формуле (1.32) каждый минор по строке, имеющей в матрице (1.8) номер . В результате весь определитель будет представлен в виде некоторой линейной комбинации миноров с коэффициентами, которые мы обозначим через т. е. для будет справедливо равенство и нам остается вычислить коэффициенты и убедиться в том, что они равны

С этой целью заметим, что минор порядка получается в результате разложения по строке с номером только следующих миноров порядка:

ибо каждый из остальных содержащих строку миноров порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора

В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером выпишем только то слагаемое, которое содержит минор (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент стоит на пересечении строки и столбца этого минора, мы получим

Теперь нам остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель

и после этого суммируется по всем от 1 до k. Имея также в виду, что мы получим, что

Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора по его последней строке, мы окончательно получим для формулу (1.33). Теорема Лапласа доказана.

Замечание. В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо к его столбцам.