Дополнения

36. Квантовомеханическое описание электромагнитного поля

§ 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Запишем уравнения Максвелла для непроводящей среды в отсутствие свободных зарядов:

где у — векторный оператор (набла):

единичные векторы, направленные вдоль осей прямоугольной системы координат. Скалярное произведение векторных операторов равно

— скалярный оператор Лапласа (лапласиан). Поля Е и Н в общем случае зависят от координат и времени. Положим

Рассмотрим объем V, ограниченный идеально проводящей поверхностью Тангенциальная составляющая электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля должны обращаться в нуль на поверхности

Пользуясь известным векторным преобразованием

получаем волновые уравнения в виде

где

Мы предположили здесь, что среда обладает слабыми магнитными свойствами — показатель преломления среды. Частное решение уравнений (36.4) можно представить в виде произведения двух функций: одной, зависящей в явном виде только от координат, а другой — только от времени:

Подставляя (36.5) в (36.4), получаем

где некоторая постоянная. Примем далее

Соотношения (36.7) удовлетворяют волновым уравнениям (36.4). Чтобы показать это, запишем для первого из них

Согласно (36.3), имеем

Находим из второго уравнения (36.7). Получаем

или

Это известная форма волнового уравнения [см. уравнение (36.6)], не зависящая от времени. Постоянная равна

Функции и На ортонормированы, т. е. удовлетворяют следующим соотношениям:

Общее решение волнового уравнения представляет собой суперпо зицию частных решений. В то же время множество частных решений является полной ортонормированной последовательностью функций. Электромагнитное поле удобно представить в виде множества гармонических осцилляторов. С этой целью введем некоторые обобщенные переменные (координата) и (импульс):

где

Если подставить функции (36.11) в уравнения (36. 4) и воспользоваться формулой (36.7), получим

или

т. е. выражение, совпадающее по форме с известным уравнением гармонического осциллятора. По своему физическому смыслу это круговая частота моды с номером а.