§ 3. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА ФОКСА И ЛИ

Представим себе простой резонатор Фабри—Перо (рис. 7.3). Если допустить, что плоскость 1 является источником электромагнитной волны, распространяющейся в направлении плоскости 2, то вследствие дифракции диаметр потока энергии вблизи плоскости (зеркала) 2 будет больше, чем вблизи источника, и после отражения лишь часть энергии вернется к плоскости (зеркалу) 1. Потери энергии в резонаторе будут зависеть от коэффициента отражения зеркал, их диаметра ирасстояния между ними. Положим, что резонатор пуст и потери энергии внутри него отсутствуют. При заданном аналитическом сигнале на зеркале 1 нас будет интересовать распределение аналитического сигнала на зеркале 2 и в свою очередь влияние этого распределения на сигнал на зеркале 1. Ясно, что поляна зеркалах должны быть тесно связаны друг с другом, так как поле на каждом из зеркал служит источником поля у противоположного зеркала. Можно ожидать, что после многократных отражений распределения полей на зеркалах будут зависеть не столько от начального распределения поля на первом зеркале, сколько от геометрической формы резонатора (размер и кривизна зеркал, расстояние между ними). Эти распределения могут отличаться друг от друга лишь на некоторый коэффициент (в общем случае комплексный), который несет в себе информацию о потерях энергии в системе (на один проход) и об изменениях фазы.

Если зеркала резонатора идентичны, то центр резонатора является центром симметрии; знаки сигналов

Рис. 7.3. Расширение светового пучка в резонаторе вследствие дифракции и многократных отражений от зеркал.

на зеркалах могут быть одинаковыми (четные функции) или различными (нечетные функции).

В соответствии с формулой (7.4) сигнал в некоторой точке зеркала 2 имеет вид

где — сигнал на зеркале — расстояние между точкой-источником и точкой наблюдения, После отражений поле на первом зеркале будет выражаться через поле на втором зеркале по формуле (7.5) с той лишь разницей, что место займут После многократных отражений поля на зеркалах могут отличаться лишь на некоторую постоянную составляющую. Пусть

где — функция, не зависящая от числа отражений (очевидно, при равном нескольким сотням отражений), а у — комплексная постоянная, не зависящая от координат. Из выражений (7.5) и (7.6) получаем

откуда

Здесь К — ядро интеграла, равное Функция описывает нормальное распределение сигнала на зеркалах, выражает затухание энергии и изменение фазы при каждом отражении.

а. Плоский резонатор Фабри — Перо с прямоугольными зеркалами

Пусть два плоских прямоугольных зеркала со сторонами 2а и расположены на расстоянии друг от друга (рис. 7.4). При имеем

Кроме того,

Рис. 7.4. Произвольная точка зеркала 2 с координатами освещается пучками, приходящими из всех точек зеркала То же относится к любой точке зеркала

Выражение (7.5) принимает вид

откуда

где

Фазовый множитель включен в значение у. Как видно из выражения (7.10), функцию можно представить в виде произведения более простых функций

Тогда

со следующими ядрами:

Легко убедиться, что

Ядра непрерывны и симметричны:

Собственным функциям из уравнений (7.12) и (7.13) соответствуют собственные значения Функции образуют ортонормированное множество в интервале или

Собственные функции однородного интегрального уравнения второго порядка [уравнения (7.12) и (7.13)] описывают нормальные типы колебаний поля на зеркалах. В соответствии с уравнением (7.11)

Эти колебания называются поперечными электромагнитными и обозначаются TEMnm (transverse electro-magnetic). Можно также записать

Действительная часть постоянной распространения описывает потери энергии в расчете на один проход между зеркалами, а мнимая часть — фазовый сдвиг. Для прямоугольной (или квадратной) апертуры собственные функции можно представить в виде произведений двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — только от у.