§ 4. УПРОЩЕННОЕ ПОРОГОВОЕ УСЛОВИЕ ГЕНЕРАЦИИ СВЕТА

Предположим, что активная среда с отрицательным поглощением находится между двумя зеркалами с коэффициентами отражения (рис. 4.3). Не учитывая потерь на дифракцию и рассеяние в системе, легко вывести упрощенное условие генерации. Пусть световой пучок с интенсивностью распространяется из точки А и после отражения от двух зеркал возвращается в ту же

Рис. 4.3. Схема создания положительной обратной связи с помощью зеркал резонатора.

точку. При длине промежутка, занятого усиливающим веществом, условие генерации имеет вид

Считая, что знак равенства соответствует порогу генерации, а также принимая во внимание то, что как так и много меньше единицы, получаем

Однако

откуда

С учетом того, что поглощение отрицательно, а получаем

В кристалле рубина см

В действительности инверсия населенностей должна быть несколько выше, чтобы скомпенсировать потери лучистой энергии в реальном резонаторе.

Пороговое условие можно записать и в несколько иной форме. Предположим, что световой пучок (плоская волна) с интенсивностью распространяется в направлении х в среде с инверсией населенности. Усиление на единицу длины равно

В выражении (4.10) мы пренебрегли спонтанными процессами. Величина кванта соответствует разнице энергий между уровнями 2 и — вероятности переходов типа в единицу времени, — населенности уровней. В соответствии

с выражениями (1.4), полученными Эйнштейном, а также с учетом формы линии рассматриваемого перехода имеем

где — нормированная функция формы линии;

Теперь выражение (4.10) принимает вид

Для однородного изотропного тела объемом V получаем

Здесь — лучистая энергия, заключенная в объеме V. Положим Затухание энергии Е в резонаторе лазера в единицу времени можно записать следующим образом:

где [см. выражение (3.6)].

В стационарных условиях усиление света, описываемое выражением (4.12), должно компенсировать затухание энергии, обусловленное потерями в резонаторе:

Это. и есть пороговое условие генерации. Следовательно,

где Если обозначить через степень вырождения данного уровня, то в соответствии с формулами Эйнштейна из гл. 1 получим

Тогда выражение принимает вид

Пороговое условие генерации зависит, в частности, от функции формы линии. Для линии лоренцевой формы

где полуширина линии. Для центральной частоты

С учетом и выражения (4.18) пороговое условие генерации (4.16) принимает вид

Используя формулу (1.6), записанную в виде

а также зависимость коэффициента спонтанного испускания от времени релаксации пороговое условие (4.19) можно выразить также через величины

Аналогично поступают в случае гауссовой формы линии:

где — полуширина линии, уширение которой обусловлено эффектом Доплера. Для центральной частоты имеем

В этом случае пороговое условие генерации (4.16) принимает вид

В заключение приведем известное соотношение Фюхтбауэра — Ладенбурга, связывающее приведенные выше величины с коэффициентом поглощения. Зависимость коэффициента поглощения от частоты можно записать в виде

Однако где — скорость волны в рассматриваемой среде. Таким образом,

откуда

поскольку Формула (4.21) называется соотношением Фюхтбауэра — Ладенбурга.