1.4. Закон сохранения импульса

Система материальных точек. Центр масс. Пусть система состоит из материальных точек. Силы, действующие на точку, подразделяются на внутренние действующие со стороны остальных точек системы, и внешние, результирующую которых

обозначим . В соответствии с третьим законом Ньютона сумма внутренних сил равна нулю, т.е. сумма всех сил, действующих на точки системы, равна сумме внешних сил. Если тела системы не взаимодействуют с внешними телами, то систему называют замкнутой (или изолированной).

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называют точку, положение которой определяется радиусом-вектором

Связанную с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета будем называть системой центра масс.

Если масса распределена непрерывно (в пространстве, по плоскости, вдоль линии), то составляющие систему материальные точки получаются при мысленном разделении объема тела на маленькие области. Распределение массы по объему задают с помощью плотности: Например, определение (1) для непрерывно распределенной массы принимает вид

Тело с постоянной плотностью называют однородным.

Импульс. Импульс системы определяется как сумма импульсов составляющих его частиц:

Продифференцировав уравнение (8) по времени, найдем, что импульс системы выражается через скорость центра масс:

где — масса системы. Значит, в системе центра масс импульс системы точек равен нулю.

Просуммируем уравнение второго закона Ньютона по всем точкам системы и учтем, что все внутренние силы уничтожаются:

(скорость изменения импульса системы равна результирующей внешней силе).

Закон сохранения импульса. Из уравнения (10) следует, что импульс замкнутой системы сохраняется, Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства (равноправия всех его точек) и поэтому носит универсальный характер. Область действия этого закона выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой мы его вывели. Даже при учете конечной скорости распространения сигнала (явление запаздывания), которое приводит к нарушению третьего закона Ньютона, закон сохранения импульса выполняется точно, если учесть импульс передатчика сигнала — силового поля.

Импульс незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:

1. Если сумма внешних сил равна нулю.

2. Если результирующая внешняя сила перпендикулярна некоторому направлению, то сохраняется не вектор импульса системы, а проекция импульса системы на это направление.

3. Если взаимодействие продолжается очень короткое время а внешние силы ограничены, то изменением импульса системы можно пренебречь (считать, что

Движение центра масс. Продифференцировав по времени уравнение (9), с учетом (10) получим уравнение движения центра масс:

(центр масс движется так, как двигалась бы воображаемая материальная точка с массой, равной массе системы, если к ней приложить результирующую внешнюю силу).

Пример 1. Рассмотрим тонкий стержень длиной и массой вращающийся в горизонтальной плоскости вокруг одного из своих концов с угловой скоростью Найти силу натяжения в середине стержня.

Решение. Центр масс внешней половины стержня движется по окружности радиусом под действием только одной внешней силы — искомой силы натяжения. Из уравнения (11) получим:

Отметим, что центр масс замкнутой системы движется равномерно, следовательно, система центра масс является инерциальной.

Реактивное движение. Изменение скорости корабля в глубоком космосе возможно только за счет выбрасывания наружу части массы — ракетного топлива. Уравнение движения космолета при наличии внешней силы и реактивной струи легко получить, записав

закон изменения импульса (3) в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с кораблем:

где и — скорость струи относительно корабля, а — масса выброшенного за время топлива. Разделив на получим уравнение Мещерского:

где — расход топлива в струе. Второй член в правой части называют реактивной силой.

Запишем уравнение Мещерского для движения по прямой в отсутствие внешней силы: Считая и постоянной, найдем зависимость скорости корабля от его массы: (уравнение Циолковского).