O предмете книги.

Основная тема этой книги – численные методы и алгоритмы для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, более точно – для изучения зависимости их решений от параметров. Соответственно, гл. 5, где обсуждаются эти методы и алгоритмы, является центральной. В этой главе речь идет в основном о стационарных и периодических решениях, но вкратце затронута и проблема сложных («хаотических») режимов поведения простых систем. Шестая глава по постановке вопросов примыкает к пятой. В ней рассматриваются уравнения с частными производными типа «реакция – диффузия» с одной пространственной переменной.

Книга в целом посвящена двум основным вопросам. Первый: как отследить плавную эволюцию стационарных или периодических решений при изменении одного параметра. Второй, более трудный: как обнаружить и рассчитать перестройки (бифуркации), которые могут происходить при изменении параметров. При этом основное внимание уделяется здесь не общим математическим идеям и не событиям в конкретных системах, а «инструментальной», вычислительной стороне дела.

Многочисленные таблицы и рисунки служат в этой книге не просто иллюстрациями. Вместе с формулами, описывающими алгоритмы, они составляют важную компоненту изложения, по меньшей мере равноценную остальному тексту. Именно здесь авторы находятся «в своей стихии» и здесь более всего сказывается их громадный вычислительный опыт.

Вычислительные алгоритмы, как и во многих других книгах, демонстрируются на конкретных задачах. Отличительная особенность этой книги – выделение 17 -ти задач в отдельную главу 4 и многократное обращение к этим задачам в гл. 5 и 6.

Об авторском замысле книги. Авторы этой книги – преподаватели Пражского химико-технологического института. Они известны специалистам по многочисленным статьям и нескольким монографиям. Книга была задумана как учебник для студентов или инженеров, получивших стандартную математическую подготовку.

Как и всегда в таких случаях, желательно, чтобы с книгой можно было работать, не обращаясь к другим руководствам и монографиям. Поэтому авторы написали гл. 2, содержащую сведения, не входящие в обычные математические курсы. Они не придерживаются здесь совершенной математической строгости, не стремятся к полноте и сообщают лишь тот минимум сведений, который, по их мнению, необходим. Эта глава более других нуждается в комментариях; часть из них написана мной (и помещена в конце книги).

В конце каждой из двух основных глав (5 и 6) имеются учебные задачи. Почти все они требуют обращения к компьютеру и являются скорее заданиями для вычислительного практикума, чем задачами в привычном смысле.

Происхождение книги и область прикладных интересов авторов наложили явный отпечаток на подбор задач в гл. 4. Но в остальном книга достаточно универсальна.

Терминологические проблемы. Такие проблемы, всегда возникающие при переводе, здесь стоят особенно остро. Главная причина не зависит от языка: некоторые из основных бифуркационных явлений не имеют общепринятого, твердо установленного названия. Важнейший пример: исчезновение стационарного состояния системы при изменении параметра за счет слияния его с другим (и рождение пары стационарных состояний «из ничего» при изменении параметра в противоположном направлении). Кажется естественным называть это явление «бифуркация слияния» или «бифуркация рождения – уничтожения пары», однако подобные названия не привились. Авторы используют во второй главе (в ее новом варианте) термин «бифуркация типа седло-узел»; в гл. 5 при описании того же явления говорится о «вещественной бифуркации».

Явление рождения периодического решения из стационарного называется в гл. 2 «бифуркацией Андронова-Хопфа», а в последующих главах – «комплексной бифуркацией». Далее, авторы называют «диаграммой решений» схематический рисунок, изображающий зависимость решений (стационарных, периодических и т. д.) от одного параметра. Такую картинку часто называют «бифуркационная диаграмма». Этот последний термин использован в книге совсем в другом смысле: как «параметрический портрет» системы на плоскости двух параметров.

Следующая проблема не связана непосредственно с рассмотрением бифуркаций и возникает из-за несогласованности терминологии у физиков и математиков. В русскоязычной литературе системы с конечным числом степеней свободы часто называют «системы с сосредоточенными параметрами». Напротиз, «системы с распределенными параметрами» имеют бесконечное число степеней свободы. Здесь «параметры» – это всличины (переменные), определяющие состояние системы,-слсвоупотребление, привычное для физиков. Такая достаточно наглядная терминология не приводит к недоразумениям до тех пор, пока рассматривается система с фиксированными свойствами. Если же каким-то из констант, входящих в уравнения, разрешено меняться, то математики называют эти константы параметрами (в отличие от неизвестных, подлежащих определению из уравнений). Я старался следить, чтобы разные употребления термина «параметр» были разделены и чтобы двусмысленность не возникала.

В двух случаях мне пришлось отступить от терминологии оригинала. Так, авторы употребляют термин «предельная точка» (limitní bod) для обозначения точки на диаграмме решений, отвечающей бифуркации слияния. Однако этот термин имеет в математике другое значение (предельная точка множества). Поэтому в переводе использован термин «точка поворота», отвечающий английскому «turning point». Далее, в оригинале авторы называют точку на диаграмме решений «бифуркационной», если в ней пересекаются две (или более) ветви. Во избежание недоразумений мы говорим в таких случаях о точках ветвления: точке поворота тоже отвечает бифуркация.

Наконец, есть случаи, когда подходящего русского термина подобрать не удалось; они отмечены в подстрочных примечаниях.
$O$ переводе. Для русского издания книга была довольно сильно переработана. Прежде всего была заново написана глава 2. Она стала короче и приблизилась по стилю к остальным главам. Сокращена и упрощена также глава 3. Более или менее значительные изменения были внесены и в остальные главы. Авторы исходили при этом как из внутренних побуждений, так и из моих пожеланий и советов. При редактировании было внесено много мелких изменений и уточнений (частично вынесенных в подстрочные примечания).

В целом работа над переводом (как переводчика И. Е. Зино, так и редактора) оказалась гораздо более трудной, чем предполагалось. Потребовались встречи с авторами (в нашей стране

и в Чехословакии), многочисленные телефонные звонки и письменные послания. Я надеюсь, что в результате книга стала лучше, но не уверен, что мы всегда работали «в линейном диапазоне» (внутри которого эффект пропорционален усилиям).

В заключение я хочу поблагодарить авторов за стремление к взаимопониманию и сотрудничеству. Я должен также с признательностью отметить долготерпение и благожелательное отношение к нашей работе со стороны издательства. Без такого отношения перевод книги с моим участием едва ли был бы возможен.

Э. Э. Шноль