Системы с сосредоточенными параметрами, с которыми мы встречаемся в технике и в естественных науках, чаще всего описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда используются не только линейные аппроксимации рассматриваемых процессов, эти системы оказываются нелинейными. В этой главе мы рассмотрим совокупность численных алгоритмов и методов, которые позволяют анализировать поведение систем нелинейных дифференциальных уравнений в зависимости от изменений характерных параметров модели.

Вначале мы опишем методы отыскания стационарных решений ( $\$ 5.1$ ) и способы построения соответствующих диаграмм решений (§5.2). Затем обсудим исследование устойчивости этих стационарных решений (§5.3). В § 5.4 последовательно рассматриваются алгоритмы нахождения точек поворота и точек ветвления, а также точек возникновения изол 1). Далее в $\$ 5.5$ описываются методы нахождения точек комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа), когда возникают решения типа предельного цикла.

В § 5.6 исследуются проблемы построения полной бифуркационной диаграммы, а следующий за ним параграф посвящен описанию наиболее употребительных методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые новые численные подходы к построению зависимости периодических решений от параметра рассмотрены в § 5.8. Далее в параграфе 5.9 приведены некоторые численные методы, используемые при изучении неупорядоченного (хаотического) поведения решений обыкновенных дифференциальных

уравнений. Системам, в которых параметры медленно меняются со временем, посвящен § 5.10. Наконец, в § 5.11 описываются методы, используемые при анализе неавтономных систем. Численные подходы иллюстрируются с помощью задач 1-10, формулировка которых приведена в гл. 4. Результаты численного анализа представлены в тексте в виде графиков или таблиц. В заключение в § 5.12 приведено несколько задач, которые могут быть использованы для вычислительного практикума.