Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В этом параграфе будут сформулированы нелинейные задачи, приводящие к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными, которые в дальнейшем, в гл. 6 , используются для иллюстрации различного рода численных подходов. Принимая во внимание сложности численного анализа, мы будем рассматривать только системы с одной пространственной координатой (параметрические исследования для систем с большим числом пространственных переменных много труднее и в настоящее время только начинают широко применяться на практике). 4.3.1. Системы типа «реакция — диффузия» Рассмотрим Здесь где Диффузионный поток где Здесь Рис. 4.9. Одномерная двухкомпонентная система типа «реакция — диффузия». Здесь Анализ поведения систем типа «реакция-диффузия» для случая двух компонент представляет собой достаточно общую задачу. В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: Выбор начальных и граничных условий для системы (4.3.7) зависит от конкретной физической ситуации. В случае задания на границе рассматриваемой пространственной области постоянных значений концентраций мы будем говорить о граничных условиях 1-го рода (ГУ1), или условиях Дирихле: Важный частный случай ГУ1: где При таких граничных условиях есть очевидное стационарное решение уравнений (4.3.7), однородное по пространству: Другим часто встречающимся типом граничных условий являются условия 2 -го рода (ГУ2, или условия Неймана) Указанные условия характеризуют непроницаемость границ области для компонент Граничные условия 3-го рода (ГУЗ), которые описывают частичную проницаемость границ системы для компонент Для всех трех типов граничных условий мы ввели здесь сокращения ГУ1, ГУ2 и ГУЗ, которые в дальнейшем (в данной главе и в гл. 6) будут часто использоваться для упрощения записи. Заметим, что система может иметь на своей левой и правой границах граничные условия различных типов. Так, например, если нас интересует симметричное относительно центра промежутка решение для ГУ1 (4.3.9), то мы можем рассмотреть это решение на половинном промежутке, т. е. для Начальные условия для системы (4.3.7) имеют вид и описывают начальное распределение концентраций (концентрационные профили). Уравнения (4.3.7) с приведенными выше начальными и граничными условиями, кроме изотермической системы типа «реакция — диффузия», могут описывать также, к примеру, некоторые задачи экологии [4.42]. Рассмотрим теперь асимптотическое поведение уравнений (4.3.7) с граничными условиями типа ГУ2 для случая очень больших интенсивностей массопереноса [4.43]. При этом Уравнения (4.3.15) описывают систему с идеальным перемешиванием (систему с сосредоточенными параметрами). Положим теперь один из коэффициентов диффузии равным нулю. Это можно сделать в тех случаях, когда величины коэффициентов диффузии существенно различаются между собой, либо какая-нибудь компонента системы связана (неподвижна). Тогда найденное решение упрощенной задачи может служить аппроксимацией решения исходной задачи. Например, если Система (4.3.7) в случае задания ГУ2 обладает еще одной интересной особенностью. Зная решение где функция Аналогичный подход — «сложение решений» — можно использовать и для периодических решений. Для того чтобы лучше уяснить себе смысл операции «сложения решений», читателю рекомендуется изобразить этот процесс графически для 4.3.1.1. Задача 11. Система «реакция — диффузия» для кинетики типа «брюсселятор» Тривиальное стационарное решение (4.3.11) в этом случае записывается как Роль параметров в этой задаче играют 4.3.1.2. Задача 12. Система «реакция-диффузия», случай SH-кинетики Решение системы уравнений 4.3.1.3. Задача 13. Система «реакция-диффузия» в случае модели Майнхардта Модель описывается системой двух уравнений «реакциядиффузия» типа (4.3.7). Функции Величины Для задачи 13 можно использовать граничные условия всех трех типов — ГУ1, ГУ2 или ГУЗ. В данной задаче имеется 10 параметров: 4.3.2. Задача 14. Трубчатый неизотермический реактор с аксиальным перемешиванием Рассмотрим трубчатый реактор с теплопередачей через стенку (см. рис. 4.10). Будем считать, что реакционная смесь полностью перемешивается в радиальном направлении; тем самым мы будем рассматривать только продольные градиенты концентраций компонент и температуры. Далее, предположим, что плотность потока компонент в продольном направлении описывается соотношением вида закону Фика, где Аналогично будем предполагать, что плотность потока тепла в продольном направлении задается соотношением вида — Рис. 4.10. Трубчатый реактор с аксиальным переносом тепла и массы; граничные условия типа Данквертса. Мы будем предполагать, что в реакторе имеется катализатор. Пусть плотность жидкости равна Здесь Пусть теперь на границе области выполняются граничные условия типа Данквертса (рис. 4.10) (см. [4.8]) Здесь Здесь Le с граничными условиями Данная задача имеет восемь параметров: Если аксиальное перемешивание осуществляется в слабой степени (эффективные диффузия и теплопроводность очень малы, При этом условия (Р14-9) и (P14-10) заменяются условиями Соотношения (P14-11)-(P14-13) используются иногда для нахождения приближенного решения исходной задачи при больших значениях 4.3.3. Задача 15. Трубчатый неадиабатический реактор Здесь мы рассмотрим вариант этой модели, предложенный Лью и Амундсоном [4.50]. Помимо предположений, введенных при описании задачи 14 , будем считать, что реакция протекает на поверхности катализатора. При составлении соответствующих уравнений баланса мы будем учитывать конвективный пере- нос, межфазовый тепло- и массообмен, теплоотдачу стенок реактора. Потоки компонент реакции и поток тепла с внешней поверхности катализатора в жидкую реакционную смесь будем описывать с помощью коэффициентов массоотдачи и теплоотдачи, считая потоки пропорциональными разности концентраций Если рассматривать реакцию первого порядка, то для случая стационарного режима уравнения баланса вещества и энтальпии можно представить в форме [4.51] Уравнения баланса массы и энтальпии на внешней поверхности катализатора принимают вид Граничные условия на входе и выходе задаются соотношениями (P14-4) и (P14-5). Вводя безразмерные переменные по. формулам (Р14-6) и, кроме того, полагая получим: Граничные условия в безразмерном виде задаются соотношениями (Р14-9) и (P14-10). Комбинируя (Р15-9) и (Р15-8), имеем Воспользовавшись (P15-10), исключим из соотношения (Р15-8) величину 4.3.4. Задача 16. Неизотермическая модель внутренней диффузии в частице пористого катализатора 1. Сложные процессы переноса внутри пористой структуры можно описать с помощью постоянных эффективных коэффициентов диффузии Здесь Рассмотрим теперь каталитическую реакцию с соотношением для скорости реакции, задаваемым в форме Если рассматривать введенные выше формы частиц катализатора, то уравнения баланса (P16-1) и (P16-2) можно переписать в виде Граничные условия, описывающие перенос тепла и массы на внешней поверхности частицы, имеют вид ( При этом соответствующие профили концентрации и температуры считаются симметричными относительно центра частицы Применяя уравнения (P16-3), (Р16-4) к случаю установившегося состояния, можно получить соотношение между концентрацией и температурой внутри частицы которое принято называть формулой Пратера ( В этих переменных уравнения баланса в безразмерной форме перепишутся так: Граничные условия при этом принимают вид Если интенсивность тепло- и массообмена на внешней поверхности частицы оказывается высокой ( Формула Пратера (Р16-8) в этом случае приобретает вид Задача 16 имеет в общем случае 7 параметров: 4.3.5. Задача 17. Уравнения Навье — Стокса для случая течения жидкости между двумя бесконечными соосными вращающимися дисками Рассмотрим установившееся, вращательное и осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости. Пусть область, в которой перемещается жидкость, ограничена двумя бесконечными вращающимися дисками. Соответствующие уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах Здесь abla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} . К уравнениям (P17-1)-(P17-3) добавляется уравнение неразрывности Мы будем считать, что один из дисков располагается в плоскости Граничные условия для уравнений (Р17-1)-(Р17-4) («условия прилипания») записываются в виде Введем предположения, приводящие задачу (Р17-1)(Р17-5) к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем искать решение, у которого осевая составляющая скорости зависит только от осевой координаты, т. е. Далее предположим, что при Подставив Из уравнения (Р17-3) имеем после чего, интегрируя по Дифференцирование соотношения (P17-8) по Из уравнения (Р17-1) после подстановки формул (Р17-7) и (Р17-9) получаем Интегрирование (P17-10) с учетом граничных условий (P17-5) дает где а комбинируя формулы (Р17-8) и (Р17-11), находим Соотношения (P17-7), (Р17-12) и (P17-14) определяют вид соответствующих функций для составляющих скорости и для давления. Принимая во внимание эти соотношения, воспользуемся подстановкой Функции
|
1 |
Оглавление
|