3) Если система инвариантна относительно непрерывной группы преобразований $\mathbf{g}$, то при бифуркации с потерей симметрии может возникнуть континуум положений равновесия (переводимых друг в друга преобразованиями группы). Простейший пример доставляет система 3 уравнений, инвариантных относительно всех поворотов вокруг некоторой оси $l$. Здесь возможны как бифуркации с сохранением симметрии (положения равновесия остаются на оси l), так и возникновение целого семейства (окружности) положений равновесия.
4) Бифуркация типа «вилка» возможна, конечно, и в системах, не обладающих какой-либо симметрией. Однако при малом возмушении такой системы «вилка исчезает и в этом смысле является нетипичной (см. [2.9], § 31 ).
[3] Авторы не рассматривают здесь случаев, когда при изменении параметра $\alpha$ период $T(\alpha )$ обращается в бесконечность. Два сценария возможны уже в двумерных системах (и часто наблюдаются). Это: (а) превращение цикла в петлю сепаратрисы; (б) рождение на цикле пары положений равновесия (оба эти случая упомянуты в конце $\mathrm{\S }2.4$ ). В случае (a) $T(\alpha )\sim$ $\sim \ln {|\alpha -{\alpha }^{\ast }|}^{-1};$ в случае (б) $T(\alpha )\sim {|\alpha -{\alpha }^{\ast }|}^{-1/2}$. Здесь ${\alpha }^{\ast }-$ критическое значение параметра.
[4] О бифуркациях периодических решений в системах с симметриями. Сделанные выше замечания о бифуркациях положений равновесия остаются в силе (с небольшими изменениями).

Напомним, что «симметричное» периодическое решение $\mathbf{x}=\mathbf{p}(t)\mathbf{g}$-инвариантного уравнения — это такое решение, траектория которого $\gamma$ инвариантна относительно отображения $\mathbf{g}(\mathbf{g}(\gamma )=\gamma )$.
Если $\mathbf{g}(\gamma )=\gamma$, то есть две возможности.
(a) $\mathbf{g}\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(t)$ при всех $t$.
(6) $\mathbf{g}\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(t+\delta )$; типичный случай $\sigma =T/2$, где $T$ (наименьший) период $\mathbf{p}(t)$. Для случая (a) справедливо все то, что сказано выше про бифуркации симметричных положений равновесия. Случай (б) требует отдельного рассмотрения.
[5] Обычно критерием устойчивости называют набор условий, близких к необходимым и достаточным. Чтобы получить критерий, здесь нужно добавить:
«Если хотя бы один мультипликатор лежит вне единичного круга $(\left|{\rho }_k\right|>1)$, то решение $\mathrm{p}(t)$ не является орбитально устойчивым».
[6] Приведенная здесь «наглядная» интерпретация одномерных показателей Ляпунова полезна, но не точна: показатели Ляпунова определяют поведение решений линеаризованной (а не исходной) системы. В частности, если $\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{e})<0$, то траектория $\gamma ({\mathbf{x}}_0+\epsilon \mathbf{e}$ ) (для некоторого малого, но фиксированного $\epsilon$ !) не обязана при $t\to +\mathrm{\infty }$ приближаться к $\gamma \left({\mathbf{x}}_0\right)$.
${}^{[7]}$ Короткая гл. 3 и значительная часть $\S 5.4$ посвящены явлению, обычно не происходящему в однопараметрических системах дифференциальных уравнений, а именно пересечению ветвей на диаграмме стационарных решений. Некоторым основанием для отдельного рассмотрения этого вопроса является то, что задачи о распределенных системах часто имеют семейства «тривиальных» решений, существующих при всех значениях параметра. Бифуркация типа «вилка» в таких системах вполне обычна.

Тем не менее равноправное изучение точек поворота и точек ветвления не кажется вполне правильным: бифуркация слияния (= бифуркация кседло-узел») встречается практически в любой задаче, а для пересечения однопараметрических семейств стационарных решений нужны специальные причинь:

${}^{[8]}$ В силу данного определения точке поворота диаграммы стацнонарных решений отвечает бифуркация типа «седло — узел» (см. § 2.2).
${}^{[9]}$ Векторы ${\mathbf{h}}^{(0)},\dots ,{\mathbf{h}}^{(n-1)}$, «как правило», линейно независимы, если у матрицы $\mathbf{A}$ все собственные числа ${\lambda }_k$ различны. Если А имеет кратные ${\lambda }_j$ (без жордановых клеток), то $h^{(k)}$ всегда линейно зависимы. Имеется два варианта придания точного смысла утверждению о «маловероятности».
1) Предположить, что А не имеет кратных собственных значений. Тогда «наугад выбранный вектор ${\mathbf{h}}^{(0)}$ дает невырожденную систему (5.3.7): нужно, чтобы все коэффициенты разложения ${\mathbf{h}}^{(0)}$ по собственным векторам $\mathbf{A}$ были отличны от нуля.
2) Считать, что матрица $\mathbf{A}$ тоже выбрана «наугад». Тогда «с вероятностью 1» все ${\lambda }_j(\mathbf{A})$ будут различны. Точный смысл последнего утверждения таков. В $N$-мерном пространстве матриц ( $N=n^2$ ) матрицы с кратными собственными числами лежат на многообразиях размерности меньше $N$ (при отсутствии в матрицах жордановых клеток эта размерность не более $N-3$ ).
[10] Авторы не касаются здесь вычислительных аспектов процесса интерполирования и ограничиваются предложением наблюдать за уклонением $a_0$ от 1. Отсылая заинтересованных читателей к учебникам [14*], [16*] 1), отметим лишь, что при больших $n(n>10)$ выбор равноотстоящих узлов $s_0,\dots ,s_n$ очень плох.
[ii] Повторяя сказанное ниже авторами, подчеркнем еще раз: название этого параграфа шире его содержания. Речь идет здесь только о нахождении бифуркационного значения параметра (и соответствующих координат положения равновесия), а не о численном изучении самой бифуркации. См. также замечания авторов в конце п. 5.8.4 и примечание 13 ниже.
[12] Целесообразно сохранить на этих линиях отдельные точки, отвечающие более сложным бифуркациям. Таким образом, имеет смысл изображать: a) «линии кратности»- совокупность всех точек $(\alpha ,\beta )$, для которых какоенибудь из положений равновесия имеет нулевое собственное число; б) клинии нейтральности» — совокупность всех точек ( $\alpha ,\beta$ ), для которых какоенибудь положение равновесия имеет чисто мнимые собственные числа.
[13] Последние несколько абзацев — единственное место в книге, где киротко затрагиваются основные алгоритмические вопросы, связанные с бифуркацией Андронова — Хопфа. А именно:
1) Как определить, при $\alpha <{\alpha }^{\ast }$ или при $\alpha >{\alpha }^{\ast }$ происходит рождение цикла из положения равновесия (здесь ${\alpha }^{\ast }$ — критическое значение параметра)?
2) Как найти родившееся периодическое решение при $|\alpha -{\alpha }^{\ast }|=\delta \ll 1$ ?
Существующие для этой цели программы используют асимптотику цикла при $\delta \to 0$ : определяют, в какой двумерной плоскости (приближенно) лежит родившийся цикл и к какому эллипсу он близок. Эти программы достаточно сложны.

Предлагаемый авторами «эвристический» подход много проще. Априорно судить об успешности этого подхода трудно, и здесь разумно положиться на вычислительный опыт авторов. Заметим лишь, что вполне независимо выбирать $\epsilon$ и $\delta$ нельзя. Родившийся цикл имеет размеры $\sim \sqrt{\delta }$, и при $\epsilon \gg \sqrt{\delta }$ он не будет пересекать плоскость $x_k=x_k^{+}+\epsilon$.