3) Если система инвариантна относительно непрерывной группы преобразований $\mathbf{g}$, то при бифуркации с потерей симметрии может возникнуть континуум положений равновесия (переводимых друг в друга преобразованиями группы). Простейший пример доставляет система 3 уравнений, инвариантных относительно всех поворотов вокруг некоторой оси $l$. Здесь возможны как бифуркации с сохранением симметрии (положения равновесия остаются на оси l), так и возникновение целого семейства (окружности) положений равновесия.
4) Бифуркация типа «вилка» возможна, конечно, и в системах, не обладающих какой-либо симметрией. Однако при малом возмушении такой системы «вилка исчезает и в этом смысле является нетипичной (см. [2.9], § 31 ).
[3] Авторы не рассматривают здесь случаев, когда при изменении параметра $\alpha$ период $T(\alpha)$ обращается в бесконечность. Два сценария возможны уже в двумерных системах (и часто наблюдаются). Это: (а) превращение цикла в петлю сепаратрисы; (б) рождение на цикле пары положений равновесия (оба эти случая упомянуты в конце $\S 2.4$ ). В случае (a) $T(\alpha) \sim$ $\sim \ln \left|\alpha-\alpha^{*}\right|^{-1} ;$ в случае (б) $T(\alpha) \sim\left|\alpha-\alpha^{*}\right|^{-1 / 2}$. Здесь $\alpha^{*}-$ критическое значение параметра.
[4] О бифуркациях периодических решений в системах с симметриями. Сделанные выше замечания о бифуркациях положений равновесия остаются в силе (с небольшими изменениями).

Напомним, что «симметричное» периодическое решение $\mathbf{x}=\mathbf{p}(t) \mathbf{g}$-инвариантного уравнения – это такое решение, траектория которого $\gamma$ инвариантна относительно отображения $\mathbf{g}(\mathbf{g}(\gamma)=\gamma)$.
Если $\mathbf{g}(\gamma)=\gamma$, то есть две возможности.
(a) $\mathbf{g} \mathbf{p}(t)=\mathbf{p}(t)$ при всех $t$.
(6) $\mathbf{g p}(t)=\mathbf{p}(t+\delta)$; типичный случай $\sigma=T / 2$, где $T$ (наименьший) период $\mathbf{p}(t)$. Для случая (a) справедливо все то, что сказано выше про бифуркации симметричных положений равновесия. Случай (б) требует отдельного рассмотрения.
[5] Обычно критерием устойчивости называют набор условий, близких к необходимым и достаточным. Чтобы получить критерий, здесь нужно добавить:
«Если хотя бы один мультипликатор лежит вне единичного круга $\left(\left|\rho_{k}\right|>1\right)$, то решение $\mathrm{p}(t)$ не является орбитально устойчивым».
[6] Приведенная здесь «наглядная» интерпретация одномерных показателей Ляпунова полезна, но не точна: показатели Ляпунова определяют поведение решений линеаризованной (а не исходной) системы. В частности, если $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}\right)<0$, то траектория $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}+\varepsilon \mathbf{e}\right.$ ) (для некоторого малого, но фиксированного $\varepsilon$ !) не обязана при $t \rightarrow+\infty$ приближаться к $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$.
${ }^{[7]}$ Короткая гл. 3 и значительная часть $§ 5.4$ посвящены явлению, обычно не происходящему в однопараметрических системах дифференциальных уравнений, а именно пересечению ветвей на диаграмме стационарных решений. Некоторым основанием для отдельного рассмотрения этого вопроса является то, что задачи о распределенных системах часто имеют семейства «тривиальных» решений, существующих при всех значениях параметра. Бифуркация типа «вилка» в таких системах вполне обычна.

Тем не менее равноправное изучение точек поворота и точек ветвления не кажется вполне правильным: бифуркация слияния (= бифуркация кседло-узел») встречается практически в любой задаче, а для пересечения однопараметрических семейств стационарных решений нужны специальные причинь:

${ }^{[8]}$ В силу данного определения точке поворота диаграммы стацнонарных решений отвечает бифуркация типа «седло – узел» (см. § 2.2).
${ }^{[9]}$ Векторы $\mathbf{h}^{(0)}, \ldots, \mathbf{h}^{(n-1)}$, «как правило», линейно независимы, если у матрицы $\mathbf{A}$ все собственные числа $\lambda_{k}$ различны. Если А имеет кратные $\lambda_{j}$ (без жордановых клеток), то $h^{(k)}$ всегда линейно зависимы. Имеется два варианта придания точного смысла утверждению о «маловероятности».
1) Предположить, что А не имеет кратных собственных значений. Тогда «наугад выбранный вектор $\mathbf{h}^{(0)}$ дает невырожденную систему (5.3.7): нужно, чтобы все коэффициенты разложения $\mathbf{h}^{(0)}$ по собственным векторам $\mathbf{A}$ были отличны от нуля.
2) Считать, что матрица $\mathbf{A}$ тоже выбрана «наугад». Тогда «с вероятностью 1» все $\lambda_{j}(\mathbf{A})$ будут различны. Точный смысл последнего утверждения таков. В $N$-мерном пространстве матриц ( $N=n^{2}$ ) матрицы с кратными собственными числами лежат на многообразиях размерности меньше $N$ (при отсутствии в матрицах жордановых клеток эта размерность не более $N-3$ ).
[10] Авторы не касаются здесь вычислительных аспектов процесса интерполирования и ограничиваются предложением наблюдать за уклонением $a_{0}$ от 1. Отсылая заинтересованных читателей к учебникам [14*], [16*] 1), отметим лишь, что при больших $n(n>10)$ выбор равноотстоящих узлов $s_{0}, \ldots, s_{n}$ очень плох.
[ii] Повторяя сказанное ниже авторами, подчеркнем еще раз: название этого параграфа шире его содержания. Речь идет здесь только о нахождении бифуркационного значения параметра (и соответствующих координат положения равновесия), а не о численном изучении самой бифуркации. См. также замечания авторов в конце п. 5.8.4 и примечание 13 ниже.
[12] Целесообразно сохранить на этих линиях отдельные точки, отвечающие более сложным бифуркациям. Таким образом, имеет смысл изображать: a) «линии кратности»- совокупность всех точек $(\alpha, \beta)$, для которых какоенибудь из положений равновесия имеет нулевое собственное число; б) клинии нейтральности» – совокупность всех точек ( $\alpha, \beta$ ), для которых какоенибудь положение равновесия имеет чисто мнимые собственные числа.
[13] Последние несколько абзацев – единственное место в книге, где киротко затрагиваются основные алгоритмические вопросы, связанные с бифуркацией Андронова – Хопфа. А именно:
1) Как определить, при $\alpha<\alpha^{*}$ или при $\alpha>\alpha^{*}$ происходит рождение цикла из положения равновесия (здесь $\alpha^{*}$ – критическое значение параметра)?
2) Как найти родившееся периодическое решение при $\left|\alpha-\alpha^{*}\right|=\delta \ll 1$ ?
Существующие для этой цели программы используют асимптотику цикла при $\delta \rightarrow 0$ : определяют, в какой двумерной плоскости (приближенно) лежит родившийся цикл и к какому эллипсу он близок. Эти программы достаточно сложны.

Предлагаемый авторами «эвристический» подход много проще. Априорно судить об успешности этого подхода трудно, и здесь разумно положиться на вычислительный опыт авторов. Заметим лишь, что вполне независимо выбирать $\varepsilon$ и $\delta$ нельзя. Родившийся цикл имеет размеры $\sim \sqrt{\delta}$, и при $\varepsilon \gg \sqrt{\delta}$ он не будет пересекать плоскость $x_{k}=x_{k}^{+}+\varepsilon$.