Ниже приведено несколько задач для самостоятельного решения с помощью подходов, описанных в данной главе.
5.12.1. Постройте диаграмму стационарных решений для задачи 1 , используя в качестве параметра переменную $\Lambda$. Используйте метод отображения параметра (см. § 5.2), выбирая последовательность значений $\Theta$. Параметры задачи: $\gamma=20, \beta=0$, $\mathrm{Da}=0,01, B=6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12$. Покажите, что во всех указанных случаях существует интервал значений $\Lambda$, при которых задача имеет три решения. На найденной зависимости решения от параметра укажите также характер устойчивости этого решения. Далее постройте эволюционные диаграммы для $\Lambda$, возрастающих и убывающих со временем.
5.12.2. Рассчитайте диаграмму решений задачи 5 в зависимости от параметра $K_{i}$ с помощью метода отображения параметра, описанного в $\S 5.2$. Покажите, что при $K_{\mathrm{i}}=10^{-5}$ существует три стационарных решения, два из которых являются устойчивыми. Укажите на каждой ветви решений характер их устойчивости. Затем постройте диаграмму решений в зависимости от параметра $c_{\mathrm{s} 0}$ при $K_{\mathrm{i}}=10^{-5}$.
5.12.3. Рассмотрим энзиматическую реакцию с конкурентным ингибированием субстратом
При этом для скорости реакции можно получить соотношение
\[
v=\frac{v_{\max } c_{\mathrm{s}}}{K_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s}}^{2} / K_{1}} .
\]
Здесь $v$ означает скорость реакции (в энзиматической кинетике обычно используется обозначение $v$ (velocity) вместо $r$ (rate)), $c_{3}$ – концентрацию субстрата, а $v_{\max }, K_{\mathrm{s}}, K_{1}$ – положительные параметры. Аналогичная формула может быть использована и для описания кинетики роста микроорганизмов, ингибированных субстратом; при этом параметр $v_{\max }$ обозначается как $\hat{\mu}$ (ср. задачу 6).
Уравнение баланса массы для реактора проточного типа с полным перемешиванием при постоянной температуре, объеме $V$, расходе $F$ и концентрации на входе $c_{\mathrm{s} 0}$ может быть записано в виде
\[
\frac{d c_{\mathrm{s} 1}}{d t}=F\left(c_{\mathrm{s} 0}-c_{s 1}\right)-V \frac{v_{\max } c_{\mathrm{s} 1}}{K_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s} 1}+c_{\mathrm{s} 1}^{2} / K_{\mathrm{t}}} .
\]
Вводя время задержки $\tau=V / F$ и безразмерную концентрацию на выходе $x=c_{\mathrm{s} 1} / c_{\mathrm{s} 0}$, можно переписать это уравнение баланса в безразмерной форме
\[
\frac{d x}{d t}=1-x-\frac{\text { Da } x}{a_{0}+a_{1} x+x^{2}} .
\]
Здесь мы использовали обозначения $\mathrm{Da}=\tau v_{\max } K_{1}, a_{0}=K_{\mathrm{s}} K_{1} c_{\mathrm{s} 0}^{2}$ и $a_{1}=c_{\mathrm{s} 0} K_{\mathrm{r}}$.
Постройте диаграмму стационарных решений как функцию параметра $\mathrm{Da}$ при следующих значениях параметров: $c_{\mathrm{s} 0}=5$ и
5.12.4. Модель реактора проточного типа с перемешиванием, в котором происходят две последовательные ферментативные реакции
\[
\mathrm{A} \xrightarrow[k_{1}]{\mathrm{E}_{1}} \mathrm{~B} \underset{k_{2}}{\stackrel{\mathrm{E}_{2}}{\longrightarrow}} \mathrm{Z}
\]
со скоростями, учитывающими ингибирование субстратом, можно представить в виде (системы) трех дифференциальных
уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d c_{\mathrm{A}}}{d t^{\prime}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{A} 0}-c_{\mathrm{A}}\right)+R_{\mathrm{A}}, \\
\frac{d c_{\mathrm{B}}}{d t^{\prime}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{B} 0}-c_{\mathrm{B}}\right)+R_{\mathrm{B}}, \\
\frac{d c_{Z}}{d t^{\prime}}=\frac{F}{V}\left(c_{Z 0}-c_{Z}\right)+R_{Z},
\end{array}
\]
где
\[
\begin{array}{l}
R_{\mathrm{A}}=-k_{1} c_{\mathrm{E} 1} \frac{c_{\mathrm{A}}}{K_{\mathrm{s} 1}+c_{\mathrm{A}}+c_{\mathrm{A}}^{2} / K_{i 1}}, \\
R_{\mathrm{B}}=-k_{2} c_{\mathrm{E} 2} \frac{c_{\mathrm{B}}}{K_{\mathrm{s} 2}+c_{\mathrm{B}}+c_{\mathrm{B}}^{2} / K_{\mathrm{i} 2}}-R_{\mathrm{A}}, \\
R_{\mathrm{Z}}=-R_{\mathrm{A}}-R_{\mathrm{B}} .
\end{array}
\]
Вводя переменные
\[
\begin{array}{c}
a=\frac{c_{\mathrm{A}}}{c_{\mathrm{A} 0}}, \quad b=\frac{c_{\mathrm{B}}}{c_{\mathrm{A} 0}}, \quad z=\frac{c_{Z}}{c_{\mathrm{A} 0}}, \quad t=\frac{t^{\prime} k_{1} c_{\mathrm{E} 1}}{c_{\mathrm{A} 0}}, \\
\vec{K}_{\mathrm{S} j}=\frac{K_{\mathrm{S} j}}{c_{\mathrm{A} 0}}, \quad \vec{K}_{\mathrm{i} j}=\frac{K_{i j}}{c_{\mathrm{A} 0}}, j=1,2, K=\frac{k_{1} c_{\mathrm{E} 1}}{k_{2} c_{\mathrm{E} 2}}, \tau=\frac{k_{1} c_{\mathrm{E} 1} V}{F c_{\mathrm{A} 0}},
\end{array}
\]
перепишем исходную систему в безразмерной форме
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\frac{1}{\tau}(1-a)+r_{a}, \\
\frac{d b}{d t}=\frac{1}{\tau}\left(b_{0}-b\right)+r_{b}, \\
\frac{d z}{d t}=\frac{1}{\tau}\left(z_{0}-z\right)+r_{z},
\end{array}
\]
где
\[
\begin{array}{c}
r_{a}=-\frac{a}{\bar{K}_{\mathrm{S} 1}+a+a^{2} / \bar{K}_{\mathrm{i} 1}}, \\
r_{b}=-\frac{1}{K} \frac{b}{\bar{K}_{\mathrm{S} 2}+b+b^{2} / \bar{K}_{\mathrm{i} 2}}-r_{a}, \\
r_{z}=-r_{a}-r_{b}, \quad b_{0}=c_{\mathrm{B} 0} / c_{\mathrm{A} 0}, \quad z_{0}=c_{\mathrm{Z} 0} / c_{\mathrm{A} 0} .
\end{array}
\]
Рассчитайте диаграмму стационарных решений в зависимости от параметра $\tau$ для следующих значений остальных параметров: $\vec{R}_{\mathrm{s} 1}=\bar{K}_{\mathrm{s} 2}=0,1 ; b_{0}=z_{0}=0$ и
a) $K_{\mathrm{i} 1}=0,1, K=3, \bar{K}_{\mathrm{i} 2}=0,01 ; 0,1 ; \infty$;
b) $\bar{K}_{\mathrm{i} 1}=\bar{K}_{12}=0,1, K=0,366 ; 1 ; 3$;
c) $R_{11}=0,1, R_{12}=0,01, K=0,3$.
Используйте алгоритм продолжения, описанный в п. 5.2.3, либо метод отображения параметра (п. 5.2.1) по следующей схеме: выберите $a$, из первого уравнения (5.12.4d) подсчитайте $\tau$ (положив $\dot{a}=0$ ), затем из второго уравнения (при $\dot{b}=0$ ) найдите значение параметра $b$, последовательно подставляя ряд значений $b$ и используя метод Ньютона. Покажите, что существует несколько решений для некоторых интервалов значений параметра $\tau$ (например, для $\tau=3$ в случае с)). Определите характер устойчивости отдельных ветвей решения. Продумайте способ, как находить точки поворота. Попытайтесь построить соответствующую бифуркационную диаграмму в плоскости параметров $(K-\tau)$.
5.12.5. Модель проточного реактора с перемешиванием, в котором происходят последовательные экзотермические реакции типа $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$, можно описать с помощью системы трех дифференциальных уравнений (см. п. 4.2.1):
\[
\begin{aligned}
\frac{d Y}{d t}=1-Y-\mathrm{Da} Y \exp \frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}, \\
\frac{d W}{d t}=-W+\text { Da } Y \exp \frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}-\mathrm{Da} S W \exp \frac{k \Theta}{1+\Theta / \gamma}, \\
\frac{d \Theta}{d t}=-\Theta-\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right)+\text { Da } B Y \exp \frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}+ \\
\quad+\mathrm{Da} B \alpha S W \exp \frac{k \Theta}{1+\Theta / \gamma} .
\end{aligned}
\]
Здесь $\Theta$ – безразмерная температура, $Y$ и $W$ – безразмерные концентрации компонентов А и В. При этом предполагается, что рассматриваемые реакции имеют первый порядок.
Для построения диаграммы стационарных решений по параметру Da (остальные параметры фиксированы) можно воспользоваться следующим методом отображения параметра (при этом мы рассматриваем уравнения, у которых вместо левых частей стоят нули):
1. Из уравнения (5.12.5a) представим $Y$ как функцию от $\boldsymbol{\Theta}$.
2. Умножим уравнение (5.12.5b) на $B \alpha$ и сложим с уравнением (5.12.5c). Из полученного соотношения определим $W$ как функцию от $\Theta$, используя при этом уже найденную зависимость $Y(\Theta)$.
3. Обе эти зависимости подставим в уравнение (5.12.5c) и получим уравнение следующего типа:
\[
a(\Theta) \mathrm{Da}^{2}+b(\Theta) \mathrm{Da}+c(\Theta)=0 .
\]
4. Для каждого заданного значения $\Theta$ из квадратного уравнения (5.12.6) найдем Da.
Постройте указанным способом соответствующую диаграмму решений при $\gamma \rightarrow \infty, B=10, \alpha=b=k=1, \Theta_{c}=0, S=0,013$. Покажите, что при $\mathrm{Da}=0,06$ существует пять стационарных решений задачи (5.12.5). Укажите на диаграмме характер устойчивости стационарных решений. Используйте также для построения диаграммы метод продолжения типа предикторкорректор и сравните полученные результаты. Найдите пять стационарных состояний исходной задачи при $\gamma \rightarrow \infty ; \alpha=\beta=$ $=k=1, S=0,01 ; \Theta_{c}=0 ; B=10,05 ; \mathrm{Da}=0,0705$ и выясните характер их устойчивости (значения $\Theta$ для отдельных решений должны выбираться следующим образом: 0,$55 ; 3,05 ; 5,15 ; 6,55$; $9,6)$. Покажите, что три из этих решений являются устойчивыми, и с помощью динамического моделирования (численного интегрирования) уравнений (5.12.5) проверьте, что решение на них стабилизируется.
Далее, путем динамического моделирования уравнений (5.12.5) покажите, что для значений параметров $\gamma \rightarrow \infty ; B=14$; $\beta=3 ; \Theta_{c}=0 ; k=1 ; \alpha=S=0,03$ и значений Dа, выбираемых из интервала $(0,165 ; 0,33)$, в данной задаче существует некоторый предельный цикл. Более подробные результаты, которые можно использовать для сравнения, приведены в работе: Hlaváček V., Kubiček M., Višňák K.: Chem. Engng. Sci. 27(1972), $719-742$.
5.12.6. Постройте бифуркационную диаграмму в плоскости параметров $\beta$ и Da для задачи 1. Выберите следующие значения остальных параметров: $\gamma=20, \Lambda=1, \Theta_{c}=0, \mathrm{~B}=6 ; 8 ; 10$; 12. Для построения бифуркационной диаграммы воспользуйтесь методом отображения параметра; после преобразования уравнений выберите последовательность значений $\Theta$, для каждого из них найдите значения $\mathrm{Da}$ и $\beta$ из условий для точки поворота (бифуркации слияния) или условий для бифуркации Хопфаa.
5.12.7. Постройте бифуркационную диаграмму в плоскости параметров $\beta=\beta_{1}=\beta_{2}$ и $\mathrm{Da}=\mathrm{Da}_{1}=\mathrm{Da}_{2}$ для задачи 2. Значения остальных параметров выберите следующими:
a) $\gamma=1000, \Theta_{c 1}=\Theta_{c 2}=0, B=22, \Lambda=1$,
b) $\gamma=20, \Theta_{c 1}=\Theta_{c 2}=-5, B=8(B=10), \Lambda=1$.
Далее, для нескольких значений параметра $\beta$ постройте диаграмму решний как функцию параметра $\mathrm{Da}$.
5.12.8. Модифицированная модель Лотки ${ }^{1)}$ может быть описана системой трех дифференциальных уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=1-b x-x y^{2}-g x y+z, \\
\dot{y}=a\left(x y^{2}+d-y\right), \\
\dot{z}=f(g x y-z) .
\end{array}
\]
1) Одна из многочисленных модификаций уравнений Лотки – Вольтерры.
Выберите значения параметров равными $a=4, b=0,35, d=0,1$, $f=0,2$. У данной модели существуют периодические решения, для некоторых значений параметра $g$ они представлены в следующей таблице (для каждого решения указана одна точка на траектории. – Peд.):
Найдите периодические решения для этой модели как функции параметра $g$ и постройте диаграмму периодических peшений:
(Литература: Schulmeister Th. Chaos in a Lotka-Scheme with Depot. Stud. Biophys., 72(1978), 205-206; Хибник А. И. Периодические решения системы $n$ дифференциальных уравнений. – НЦБИ АН СССР, Пущино, 1979.)
5.12.9. Одна из моделей «хищник-жертва», используемых в математической экологии, может быть описана системой трех дифференциальных уравнений вида
\[
\begin{aligned}
\dot{x}_{1} & =x_{1}\left(x_{1}-\beta\right)\left(1-x_{1}\right)-x_{1} y-\alpha\left(x_{1}-x_{2}\right), \\
\dot{x}_{2} & =x_{2}\left(x_{2}-\beta\right)\left(1-x_{2}\right)-x_{2} y-\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right), \\
\dot{y} & =y\left(x_{1}+x_{2}-p-\mu y\right) .
\end{aligned}
\]
Параметры задачи выбираются следующими: $\beta=0,25 ; \alpha=$ $=-0,02 ; \mu=0 ; p$. У такой модели существуют периодические решения ( $T$ – период), например,
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|l}
\hline$p$ & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $y$ & $T$ & \\
\hline 1,24 & 0,62 & \begin{tabular}{l}
0,62 \\
0,6245
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
0,2191 \\
0,3519
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
15,6222 \\
23,3750
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
неустойчиво \\
устойчиво
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
Продолжите эти периодические решения по параметру $p$.
5.12.10. Исследуйте уравнение Дюффинга специального вида:
\[
\ddot{x}+\frac{1}{25} \dot{x}-\frac{1}{5} x+\frac{8}{15} x^{3}=\frac{2}{5} \cos \omega t,
\]
где точка означает дифференцирование по $t$. Перепишите это уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка. Покажите, что для некоторых $\omega$ из интервала $(0,1 ; 2)$ существует несколько устойчивых периодических решений данной задачи (их можно найти с помощью динамического моделирования). Постройте диаграмму периодических решений в зависимости от параметра $\omega$.
(Литература: Rüdiger Seydel. From Equilibrium to Chaos. Practical Bifurcation and Stability Analysis. Elsevier, New York – Amsterdam – London, 1988.)
5.12.11. Проанализируйте математическое описание задачи 6 с запаздыванием во времени в функции роста, задаваемой формулой (P6-4). Выберите следующие значения параметров: $\hat{\mu}=0,5 ; V / F=3 ; c_{\mathrm{x} 0}=0,005, c_{\mathrm{s} 0}=5, K_{\mathrm{s}}=0,03, K_{\mathrm{t}}=5, S_{\mathrm{xs}}=$ $=0,5$. В случае $t_{\mathrm{L}}=0$ задача имеет два устойчивых стационарных решения, одно с низкой конверсией субстрата ( $c_{\mathrm{s}} \sim 5$ ), другое – с высокой конверсией субстрата ( $c_{\mathrm{s}} \sim 0$ ). При возрастании величины запаздывания $t_{\mathrm{L}}$ устойчивость первого решения не меняется, в то время как второе решение при $t_{\mathrm{L}}>t_{\mathrm{L}}^{*} \sim 0,19$ становится неустойчивым и возникает установившееся периодическое решение. Используя стандартное программное обеспечение для интегрирования уравнений с запаздыванием, исследуйте указанную выше потерю устойчивости. Если в вашем распоряжении нет соответствующей стандартной программы, то воспользуйтесь методом Эйлера с интерполяцией по таблице значений (см. п. 5.7.4.4).
