В § 5.8 мы исследовали случай, когда правые части системы дифференциальных уравнений (5.8.1) не зависели явно от $t$. Во многих задачах, однако, время $t$ в правых частях появляется, и система оказывается неавтономной:
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha}) ; \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}
\]

В приложениях чаще всего встречается случай периодического (внешнего) воздействия на динамическую систему, когда функция $\mathbf{f}$ представляет собой периодическую функцию переменной $t$ с периодом $T$, т. е. когда для любых $t, \mathbf{x}$ и $\alpha$ имеет место соотношение
\[
\mathbf{f}(t+T, \mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha})=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha}) .
\]

При этом периодическое решение системы (5.11.1) обычно удовлетворяет условию
\[
\mathbf{x}(t+k T)=\mathbf{x}(t),
\]

где $k$ – натуральное число. Такое решение мы будем называть $k$-периодическим.

Отметим, что могут существовать системы типа (5.11.1), для которых условие (5.11.2) выполняется, имеющие решение периода $\omega
eq k T$.
Примером такого рода служит система
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=y+\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \sin 2 \pi t, \\
\dot{y}=-x,
\end{array}
\]

для которой $T=1$, а ее периодическое решение $x=-\cos t$, $y=\sin t$ имеет период, равный $2 \pi$.

В данном случае в точках траектории указанного периодического решения (т. е. в точках окружности $x^{2}+y^{2}=1$ ) правые части системы не зависят явно от времени $t$. Оказывается, что подобная ситуация имеет место для любой периодической

системы, которая обладает решением с периодом, несоизмеримым с периодом правой части системы.

В п. 2.3.2 было введено определение отображения Пуанкаре для случая автономной системы. В случае периодической неавтономной системы ее решения определяют некоторое отображение $\mathbf{P}$, которое называется отображением за период; мы будем его иногда также называть отображением Пуанкаре.

Опишем, как возникает такое отображение P. Зафиксируем в системе (5.11.1), (5.11.2) некоторое конкретное значение параметра $\alpha$. Возьмем произвольную точку $\boldsymbol{x}_{0} \in \mathrm{R}^{n} ;$ пусть $\mathbf{x}\left(t ; \mathbf{x}_{0}\right.$ есть решение системы (5.11.1). Положим
\[
\mathbf{P}\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}\left(T ; \mathbf{x}_{0}\right) .
\]

Определенное таким образом отображение $\mathbf{P}$ обладает теми же свойствами, что и отображение Пуанкаре из п. 2.3.2. В частности:
1. Неподвижной точке $\mathbf{x}_{0}$ отображения $\mathbf{P}$ соответствует 1 -периодическое решение системы (5.11.1), так как $\mathbf{P}\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}_{0} \leftrightarrow$ $\leftrightarrow \mathbf{x}\left(T ; \mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}_{0}$.
2. Если система (5.11.1), (5.11.2) (при фиксированном $\alpha$ ) имеет $k$-периодическое решение, то $k$-я итерация отображения $\mathbf{P}$ имеет неподвижную точку, поскольку если $\mathbf{x}\left(k T ; \mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}_{0}$, то $\mathbf{P}^{k}\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}_{0}$.
3. Устойчивость периодического решения определяется устойчивостью соответствующей неподвижной точки отображения $\mathbf{P}$ или $\mathbf{P}^{k}$.

Так же, как в автономном случае, мы в принципе имеем две возможности для нахождения периодического решения при фиксированном $\alpha$, т. е. решения нелинейной краевой задачи (5.11.1), (5.11.3), где $k$ заранее фиксировано. Первая из этих возможностей связана с применением разностных методов (cр. с соотношением (5.8.6)). Другая возможность заключается в использовании метода стрельбы и связана с выбором начальных условий
\[
x_{i}(0)=\eta_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Решая уравнение (5.11.1) при условиях (5.11.5), находим при $t=k T$ (ищем $k$-периодическое решение):
\[
\left.x_{i}\right\}(k T)=\varphi_{i}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, \alpha\right), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Для выполнения граничных условий (5.11.3) потребуем, чтобы
\[
F_{i}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, \alpha\right)=\varphi_{i}\left(\eta_{i}, \ldots, \eta_{n}, \alpha\right)-\eta_{i}=0, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Полученная система представляет собой систему $n$ нелинейных уравнений с параметром $\alpha$, и для ее решения мы можем использовать методику, описанную в § 5.1, а для продолжения решения по параметру – алгоритм DERPAR, описанный в $§ 5.2$. В отличие от автономного случая, где период не был известен и поэтому одну составляющую $\eta_{k}$ мы считали фиксированной, здесь период $k T$ задается заранее, а все составляющие вектора $\eta$ неизвестны. Производные функций $F_{i}$ мы опять находим с помощью проварьированных переменных $p_{i j}=\partial x_{i} / \partial \eta_{i}, \quad q_{i}=$ $=\partial x_{i} / \partial \alpha$ и уравнений в вариациях
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p_{i j}}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{s}} p_{s j}, \quad p_{i j}(0)=\delta_{i j}, \\
\frac{{ }^{\prime} q_{i}}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{s}} q_{s}+\frac{\partial f_{i}}{\partial \alpha}, \quad q_{i}(0)=0 .
\end{array}
\]

Устойчивость найденного периодического решения определяется его мультипликаторами – собственными числами матрицы монодромии
\[
\mathbf{B}=\left[\partial \varphi_{i} / \partial \eta_{f}\right]=\left[p_{i j}(k T)\right] .
\]

Таким образом, изменение характера устойчивости периодического решения вновь оказывается возможным лишь при переходе мультипликатора через единичную окружность. Переход через +1 , так же как и в автономном случае, указывает на наличие точки поворота или точки бифуркации на зависимости решения от параметра. Переход через – 1 дает нам ответвление ветви периодических решений с двукратным периодом, т. е. периодом $2 x T$.

Отображение Пуанкаре P, определенное соотношением (5.11.4), при численном интегрировании системы (5.11.1) pеализуется с помощью отображения $\varphi$, задаваемого формулой (5.11.6) при $k=1$. Выбрав точку $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}^{0}$, мы (приближенно) получим траекторию отображения Пуанкаре $\boldsymbol{\eta}^{0}, \boldsymbol{\eta}^{1}, \ldots, \boldsymbol{\eta}^{l}, \ldots$ :
\[
\eta^{l+1}=\varphi\left(\eta^{l}, \alpha\right) .
\]

Изобразив на плоскости две выбранные координаты точек $\boldsymbol{\eta}^{l}$ $(l=0,1,2, \ldots$ ) траектории отображения $\mathbf{P}$, получим проекцию этой траектории на заданную плоскость. Так же, как в автономном случае, процесс может стабилизироваться, и мы будем последовательно (многократно) находить совокупность $k$ точек; этой совокупностью будет характеризоваться $k$-периодическое пешение системы (5.11.1). Если же эти точки образуют в пло-

скости замкнутую кривую, то скорее всего речь идет о квазипериодическом решении. Третья возможность состоит в том, что решение стабилизируется на хаотическом аттракторе; в этом случае траектория отображения Пуанкаре имеет более сложную структуру. Проиллюстрируем сказанное на примере задачи о реакторе с перемешиванием, в котором происходит реакция типа «брюсселятор» (ср. задачи 7,9), находящаяся под влиянием некоторого внешнего воздействия. Предположим, что из-

Рис. 5.40. Траектории периодических решений системы (5.11.12); $A=2$; $B=6, \omega=3, a) a=0, b) \quad a=1,7084$

менение концентраций при этом описывается дифференциальными уравнениями вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d t}=A-(B+1) X+X^{2} Y+a \sin \omega t, \\
\frac{d Y}{d t}=B X-X^{2} Y,
\end{array}
\]

где $a$-амплитуда и $\omega$ – частота внешнего воздействия. Выберем значения параметров (концентраций подаваемых компонентов), полагая $A=2$ и $B=6$. Читатель может легко убедиться, что система (5.11.12) при $a=0$ (при отсутствии внешнего возбуждения) имеет- неустойчивое стационарное решение $X=A, Y=B / A$, около которого существует устойчивое периодическое решение с периодом $T=5,0953$ (собственная частота $\omega_{0}=2 \pi / T=1,23313$ ). Траектория этого решения изображена на рис. $5.40 \mathrm{a}$. На рис. $5.40 \mathrm{~b}$ представлено 1 -периодическое решение для случая, когда имеет место синхронизация с внешним воздействием.

На рис. $5.41 \mathrm{a}$ – $\mathrm{d}$ приведены траектории отображений Пуанкаре установившихся периодических решений, а также квазипериодического решения. В случае $k$-периодического решения здесь отмечено $k$ точек траектории отображения Пуанкаре. На рис. $5.41 \mathrm{e}, \mathrm{f}$ представлены примеры траекторий отображения Пуанкаре, которые определяют хаотический аттрактор. При сильном увеличении отдельного участка рис. 5.41e (или f) можно было бы увидеть сложную структуру хаотического аттрактора.

На рис. 5.42 изображены зависимости 1- и 2-периодических решений от параметра a (амплитуды внешнего возбуждения). При этом на графике зависимости $X(0)$ от параметра а каждое 2-периодическое решение изображено дважды. В точках

Рис. 5.41. Орбиты отображения Пуанкаре системы (5.11.12); $A=2, B=6$. a) $a=0,7, \omega=3: 7$ – периодическое решение, $b$ ) $a=0,8, \omega=3: 8$-периодическое решение, $c$ ) $a=0,9, \omega=3$ : 9 -периодическое решение, $d$ ) $a=0,5$, $\omega=6$ : квазипериодическое решение, $e$ ) $a=0,6, \omega=3$ : хаотический аттрактор, f) $a=1, \omega=3$ : хаотический аттрактор.

Рис. 5.42. Диаграмма 1- и 2-периодических решений системы (5.11.12); $A=2$, $B=6, \omega=3$; сплошные линии – устойчивые решения, штриховые – неустойчивые решения, – точка бифуркации удвоения периода.

бифуркации «-1» от 2-периодического решения ответвляется 4-периодическое (на рисунке оно не изображено). Отмеченный недостаток изображения на диаграмме решений проявляется

Рис. 5.43. Диаграммы $k$-периодических решений для системы (5.11.12); $A=2$, $B=6, \omega=3, A_{x}$ – амплитуда переменной $\left.X . a\right) k=7$, точками обозначены решения, отличающиеся лишь сдвигом на $1 / 7$ периода; $b$ ) $k=6, c$ ) $k=7$, ср. рис. $a)$.

еще более заметно у $k$-периодических решений, где $k$ достаточно велико. Примером служит диаграмма 7 -периодического решения (рис. 5.43a), на которой каждое решение изображено семикратно (см., например, решение, обозначенное жирными точками). Если вместо $X(0)$ по оси ординат откладывать амплитуду периодического решения, то мы получим диаграмму

решений, представленную на рис. 5.43c. На рис. 5.43b приведена диаграмма 6 -периодических решений.

При анализе периодических решений неавтономных систем мы сталкиваемся с проблемой, как найти какое-либо $k$-периодическое решение, которое в дальнейшем могло бы служить для запуска алгоритма продолжения. При достаточно больших $k$ вероятность «наугад» найти такое решение мала. Это утверждение иллюстрирует табл. 5.32, в которой приведены результаты применения метода Ньютона для системы уравнений (5.11.12) при случайном выборе начальных значений для переменных

Таблица 5.32. Применение метода Ньютона для нахождения $k$-периодического решения системы (5.11.12), $A=2, B=6, \omega=3$. Начальные значения выбирались случайным образом из указанных промежутков, для каждого $k$ было выбрано 500 начальных точек

Таблица 5.33. Некоторые $k$-периодические решения системы (5.11.12), $A=2$, $B=6, \omega=3$

$\eta_{1}=X(0), \eta_{2}=Y(0), a$. В случае больших $k$ ситуация осложняется тем, что мы можем, задав $k$, найти $m$-периодическое решение, где $k$ делится на $m$ (табл. 5.32 это подтверждает). В табл. 5.33 приведены найденные значения переменных для различных $k$-периодических решений.

Нахождение точек бифуркации «+1» и «-1» производится совершенно аналогично тому, как это делалось в случае автономной системы. Ответвление $2 k$-периодических решений в точке бифуркации «-1» от семейства $k$-периодических решений можно приближенно рассчитать с помощью метода, описанного в п. 5.4.2.