В предыдущем параграфе было показано, как находить стационарные решения системы (5.1.1) при фиксированных значениях параметров. Если мы хотим изучить поведение динамической модели в целом, то обычно оказывается недостаточно знать ее характеристики только при одном конкретном значении того или иного параметра – нужно иметь представление о характере поведения модели в зависимости от значений параметров, изменяющихся в некотором диапазоне.

В этом параграфе мы займемся построением зависимости стационарных решений от одного (скалярного) параметра $\alpha$, входящего в систему (5.1.3). Найденные зависимости, представленные в виде соответствующих графиков, мы будем называть диаграммой решений (см. гл. $3, \$ 3.1$ ).

Простейший метод построения диаграммы заключается в последовательном использовании итерационной процедуры, описанной в §5.1. Так, например, выберем в интервале изменения значений параметра $\alpha$ узловые точки $\alpha^{0}<\alpha^{1}<\ldots<\alpha^{k}$ и применим последовательно метод Ньютона для указанных значений $\alpha$. В качестве начального приближения для нашего итерационного процесса при $\alpha=\alpha^{i}$ мы будем выбирать решение $\mathbf{x}$, найденное при $\alpha=\alpha^{i-1}$, т. е. $\mathbf{x}\left(\alpha^{i-1}\right)$. Если сетка значений параметра $\alpha$ достаточно густа и на полученных зависимостях отсутствуют точки бифуркации, то для обеспечения сходимости метода Ньютона при каждом значении $\alpha$ оказывается достаточным одной-двух итераций. Указанная методика не позволяет, однако, переходить через точки поворота на диаграмме решений (см. § 3.1), а в окрестности точек ветвления процесс может даже расходиться. Поскольку метод последовательных шагов не является универсальным, были развиты методики, с помощью которых построение зависимости решения от параметра в целом происходит более или менее автоматически. Основные принципы этих методик будут рассмотрены в последующих пунктах.

5.2.1. Отображение параметра

Во многих случаях оказывается возможным использовать некоторые специальные свойства системы (5.1.3), которые позволяют разработать тот или иной неитерационный алгоритм (или же, при необходимости, итерационный, но в пространстве существенно меньшей размерности). Рассмотрим, например, случай, когда система (5.1.3) нелинейна лишь по одной переменной $x_{k}$ и линейна по всем другим переменным, а также по параметру $\alpha$. Тогда для построения диаграммы решений мы можем использовать следующий подход. Выберем последовательность значений переменной $x_{k}$ (достаточно близких друг к другу). Для каждого выбранного значения переменной $x_{k}$ решим систему линейных алгебраических уравнений (5.1.3) относительно неизвестных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_{n}, \alpha$ (например, методом исключения Гаусса) – в результате мы получим одну из точек диаграммы решений. Существуют и другие возможности отображения параметра, когда, например, мы пользуемся тем, что умеем решать квадратное уравнение, можем построить соответствующую обратную функцию и т. д. Используемый при этом

подход всегда зависит от конкретного вида уравнений, и мы продемонстрируем указанную методику, на нескольких примерах.

Рассмотрим задачу 1 (см. гл. 4, п. 4.2.1). Стационарное состояние в данном случае описывается уравнениями
\[
\begin{array}{c}
-\Lambda x+\mathrm{Da}(1-x) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)=0, \\
-\Lambda \Theta+B \mathrm{Da}(1-x) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)-\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right)=0,
\end{array}
\]

где $x$ и $\boldsymbol{\Theta}$-переменные состояния. Умножая уравнение (5.2.1) на параметр $B$ и вычитая полученный результат из уравнения (5.2.2), после простых преобразований мы получаем соотношение
\[
x=\frac{\Theta}{B}+\frac{\beta\left(\theta-\Theta_{c}\right)}{B \Lambda},
\]

которое позволяет свести систему двух уравнений (5.2.1) и (5.2.2) к одному нелинейному уравнению для переменной $\Theta$ :
\[
-\Delta \Theta+\mathrm{Da}\left(B-\Theta-\frac{\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right)}{\Lambda}\right) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)-\beta\left(\Theta+\Theta_{c}\right)=0 \text {. }
\]

Уравнение (5.2.4) зависит от переменной $\Theta$ нелинейно, тогда как параметры $\mathrm{Da}^{1)}, B, \boldsymbol{\beta}$ и $\Theta_{c}$ входят в него линейным образом. Параметр $\Lambda$ (после умножения обеих частей уравнения на $\Lambda$ ) входит в полученное уравнение квадратичным образом, а параметр $\gamma$ – нелинейно. Для нахождения зависимости решения от параметра Da (при фиксированных значениях остальных параметров) можно использовать следующую процедуру:
1. Выбираем значение $\Theta\left(\Theta>\Theta_{c}\right)$..
2. Из уравнения (5.2.4) подсчитываем значение параметра $\mathrm{Da}$.
3. Из уравнения (5.2.3) находим значение другой переменной состояния $x$.

Пример одного из вариантов расчета представлен в табл. 5.3. Читатель может легко построить соответствующие алгоритмы для отображения параметров $B, \beta$ и $\Theta_{c}$, а если воспользоваться решением соответствующего квадратного уравнения, то и для отображения параметра $\Lambda$.

Рассмотрим теперь задачу 1 в форме (P1-6), (P1-7), введя параметры $\tau$ (время задержки в реакторе) и а по формулам $\beta=a \tau, \mathrm{Da}=k_{0} \tau$. Совершенно аналогично можно построить ал-

Таблица 5.3. Отображение параметра Dа в задаче $1(\gamma=20, B=10$, $\left.\Lambda=1, \Theta_{c}=-5, \beta=0,6\right)$. 1)
1) См. п. 5.3.4 (S – седло, SU – устойчивый узел, NU – неустойчивый узел, SOустойчивый фокус, NO- неустойчивый фокус, $\lambda_{1,2}$ – собственные числа матрицы Якоби).

горитм для отображения параметра $\tau$. Фиксируя значение $\Theta$, мы получаем для т квадратное уравнение вида
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{-k_{0} a\left(\Theta-\Theta_{c}\right)}{\Lambda} \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)\right] \tau^{2}+} \\
\quad+\left[k_{0}(B-\Theta) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)-a\left(\Theta-\Theta_{c}\right)\right] \tau+[-\Lambda \Theta]=0 .
\end{array}
\]

Диаграмма решений, построенная с помощью этого уравнения для нескольких различных значений параметра $a$, представлена на рис. 5.2.

Читатель может легко вывести аналогичные алгоритмы для задач 5 и 6. В обоих случаях фиксируются значения концентрации субстрата $C_{S}$ и подсчитывается значение некоторого параметра задачи. В задаче 6 это могут быть параметры $\hat{\mu}, V / F$, $K_{\text {s, }} K_{\text {i. }}$ В случае же задачи 5 соответствующая процедура оказывается более сложной, и мы приведем лишь краткое ее описание.

0. Левые части соотношений (P5-1)-(P5-6) полагаем равными нулю. При этом для стационарных значений $c_{z}$ и $c_{\text {т }}$ мы получим $c_{\mathrm{z}}=c_{\mathrm{z} 0}, c_{\mathrm{r}}=c_{\mathrm{т} 0}$.
1. Выбираем значение $c_{\mathrm{s}}$.
2. Из уравнений (P5-1) и (Р5-2) вычисляем $c_{\mathrm{x}}$ и $\mu$.
3. Подставляя результат в уравнение (Р5-3), находим линейную зависимость $p_{c}$ от $c_{c}$, которую затем подставляем

Рис. 5.2. Диаграмма стационарных решений задачи $1, \gamma=20, B=10, \Lambda=1$, $\boldsymbol{\theta}_{c}=-5, k_{0}=1$; сплошные линии – устойчивые решения, штриховые – неустойчивые решения.
в соотношение (Р5-4). При этом мы получаем квадратное уравнение относительно $c_{c}$. Физически допустимые решения этого квадратного уравнения дают нам окончательные значения $c_{c}, p_{c}$.

4. Из уравнения (Р5-9) для $\mu$ (величину $\mu$ мы уже определили на этапе 2) можно найти теперь один из параметров $\hat{\mu}, K_{\mathrm{s}}, K_{\mathrm{i}}, K_{\mathrm{a}}, K_{1}$ в предположении, что остальные параметры заданы.

Как уже говорилось, метод отображения параметра не обладает достаточной общностью. В связи с этим были развиты методы общего характера, которые мы рассмотрим в следующих пунктах.

5.2.2. Метод дифференцирования по параметру

Пусть в точке ( $\mathbf{x}^{0}, \alpha^{0}$ ) выполнены условия теоремы о неявной функции: $\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{0}, \alpha^{0}\right)=\mathbf{0}$ и матрица Якоби $\mathbf{J}(\mathbf{x}, \alpha)=\left[\partial f_{i} / \partial x_{j}\right]$ невырожденная.
Тогда для функции $x(\alpha)$, задаваемой уравнением $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)=\mathbf{0}$,
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d \alpha}=-[\mathbf{J}(\mathbf{x}, \alpha)]^{-1} \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \alpha}(\mathbf{x}, \alpha) .
\]

Соотношение (5.2.6) можно трактовать как систему дифференциальных уравнений для нахождения функции $\mathbf{x}(\alpha)$ с начальным условием
\[
\mathbf{x}\left(\alpha_{0}\right)=\mathbf{x}^{0} .
\]

Если матрица $\mathbf{J}$ на промежутке $\left[\alpha^{0}, \alpha^{1}\right]$ оказывается регулярной (имеющей обратную), то зависимость решения от параметра $\mathbf{x}(\alpha)$, найденная путем интегрирования этой системы, будет удовлетворять соотношению
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}(\alpha), \alpha)=0, \quad \alpha \in\left[\alpha^{0}, \alpha^{1}\right],
\]

поскольку
\[
\frac{d}{d \alpha} \mathbf{f}(\mathbf{x}(\alpha), \alpha)=\mathbf{J}(\mathbf{x}(\alpha), \alpha) \cdot \frac{d \mathbf{x}}{d \alpha}+\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \alpha}(\mathbf{x}(\alpha), \alpha) \equiv \mathbf{0} .
\]

В критических точках диаграммы решений матрица $\mathbf{J}$ оказывается вырожденной, и потому указанный подход, т. е. численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (5.2.6), отказывает в тех же точках, что и процедура последовательного применения метода Ньютона 1). Однако этот метод можно модифицировать путем введения нового параметра. Обычно в качестве такого параметра выбирается длина дуги на кривой $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)=\mathbf{0}$ в $(n+1)$-мерном пространстве переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \alpha^{2)}$ Обозначим ее через $z$; тогда, дифференцируя тождество $\mathfrak{f}(\mathrm{x}(z), \alpha(z))=0$ по $z$, находим
\[
\frac{d f_{i}}{d z}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} \frac{d x_{j}}{d z}+\frac{\partial f_{i}}{\partial \alpha} \frac{d \alpha}{d z}=0, \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

При этом уравнение
\[
\left(\frac{d x_{1}}{d z}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{d x_{n}}{d z}\right)^{2}+\left(\frac{d \alpha}{d z}\right)^{2}=1
\]

определяет параметр $z$ как длину дуги кривой. Начальное условие (5.2.10) теперь принимает вид
\[
z=0: \mathbf{x}=\mathbf{x}^{0}, \quad \alpha=\alpha^{0} .
\]

Соотношения (5.2.8) можно рассматривать как систему $n$ линейных алгебраических уравнений относительно $n+1$ неизвестных $d x_{1} / d z, d x_{2} / d z, \ldots, d x_{n} / d z, d \alpha / d z$. Мы можем решить эту систему так, чтобы найти зависимость выбранных $n$ неизвестных от заданной неизвестной $d x_{k} / d z$, где $k$ фиксировано. В дальнейшем для упрощения записи будем обозначать
\[
x_{n+1}=\alpha \text {. }
\]

Для построения указанной зависимости необходимо, чтобы матрица
\[
\mathbf{J}_{k}=\left[\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k-1}}, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k+1}}, \ldots, \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n+1}} \\
\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial \dot{f}_{n}}{\partial x_{k-1}}, \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{k+1}}, \ldots, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n+1}}
\end{array}\right],
\]

которая получается из матрицы системы (5.2.8) $\tilde{\mathbf{J}}$ вычеркиванием $k$-го столбца (квадратная матрица размером $n \times n$ ), оказалась невырожденной.

В точке поворота всегда можно выбрать индекс $k$ так; чтобы матрица $\mathbf{J}_{k}$ была невырожденной; в точке ветвления, наоборот, все $\mathbf{J}_{k}$ вырождены. Если матрица $\mathbf{J}_{k}$ – невырожденная, то систему (5.2.8) можно представить в виде
\[
\frac{d x_{i}}{d z}=\beta_{i} \frac{d x_{k}}{d z}, \quad i=1,2, \ldots, k-1, k+1, \ldots, n+1,
\]

где коэффициенты $\beta_{i}$ подсчитываются методом исключения Гаусса. Выбор индекса $k$ представляет собой самостоятельную проблему. Мы либо фиксируем его заранее, либо видоизменяем алгоритм исключения Гаусса с выбором главного элемента для решения (неквадратной) системы $n$ линейных алгебраических уравнений (5.2.12) относительно $n+1$ неизвестных. При этом неизвестная, в столбце которой отсутствует главный элемент, есть неизвестная $x_{k}{ }^{11}$.

Подставим найденные зависимости (5.2.13) в уравнение (5.2.9) :
\[
\frac{d x_{k}}{d z}= \pm\left[1+\sum_{\substack{i=1 \\ i
eq k}}^{n+1} \beta_{i}^{2}\right]^{-1 / 2}
\]

Таким образом, мы определили производную $d x_{k} / d z$ с точностью до знака. Если индекс $k$ остается неизменным для всего продолжения, то знак в формуле (5.2.14) в процессе продолжения не меняется 1). Отсюда следует, что тогда $x_{k}$ во время всего процесса продолжения должно либо постоянно возрастать, либо постоянно убывать. Однако это не всегда бывает так, и тогда фиксированный выбор $k$ невозможен. Поэтому в практических ситуациях выбор $k$ осуществляется адаптивным образом – значение индекса $k$ получается в результате применения метода исключения Гаусса (см. выше). При этом знак в формуле (5.2.14) будет определяться тем, возрастает или убывает в этот момент выбранная величина $x_{k}$ вдоль кривой в направлении возрастания $z$. Поэтому мы введем «знаковые» переменные $N_{i}$, положив
\[
N_{i}=\operatorname{sign}\left(\frac{d x_{i}}{d z}\right), \quad i=1, \ldots, n+1 .
\]

Указанные «параметры направления» будут вычисляться на каждом шаге процесса продолжения. Выбор знака в формуле (5.2.14) определяется, следовательно, соответствующей величиной $N_{k}$, взятой с предыдущего шага. Отметим, что оставшиеся производные $d x_{i} / d z \quad(i
eq k)$ вычисляются по формуле (5.2.13), где коэффициенты $\beta_{i}$ известны. Затем после вычисления этих производных мы вновь вычисляем параметры направления $N_{i}$ и делаем шаг по параметру $z$. Соответствующая расчетная схема представлена на рис. 5.3, причем для интегрирования дифференциальных уравнений (5.2.13) и (5.2.14) в данном случае используется обычный метод Эйлера.

Проиллюстрируем использование описанного метода продолжения на примере нахождения зависимости стационарного решения задачи 1 от времени задержки $\tau$ (ср. рис. 5.2). Уравнения (5.1.3) в указанном случае переписываются в виде
\[
\begin{array}{l}
f_{1}(x, \theta, \tau)=-\Lambda x+k_{0} \tau(1-x) \exp \frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}=0, \\
f_{2}(x, \Theta, \tau)=-\Lambda \Theta+k_{0} \tau B(1-x) \exp \frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}-a \tau\left(\Theta-\Theta_{c}\right)=0 .
\end{array}
\]

Начальное условие (5.2.10) при $\tau=0$ принимает вид
\[
z=0: x=0, \quad \Theta=0, \quad \tau=0,
\]
1) Пока $\mathbf{J}_{k}$ невырожденна, $\beta_{i}$ конечны и $\frac{d x_{k}}{d z}$ не обращается в $0 .-$

Рис. 5.3. Схема метода дифференцирования по длине дуги и метода продолжения Эйлера.
Таблица 5.4. Результаты вычислений по методу продолжения с помощью алгоритма, представленного на рис. 5.3 (задача 1: $\gamma=20, B=10, \Lambda=1$. $\left.\Theta=-5, k_{0}=1, a=1\right)$. Исходные значения коэффициентов направления: $N_{1}=1, N_{2}=1, N_{3}=1$, масштабные коэффициенты в методе Гаусса ${ }^{1)}$ $p_{1}=1, p_{2}=0,1, p_{3}=1, \Delta z=0,01$.

1) При выборе «главного» элемента в строке 1 берется $\max _{j}\left(p ; a_{1 j}\right)$. Аналогично на следуюших шагах метода исключения.

a (расширенная) матрица Якоби $\widetilde{\mathbf{J}}$ системы (5.2.16) (если обозначить $E=\exp (\Theta /(1+\Theta / \gamma)))$ записывается как

Применим теперь вычислительный алгоритм, соответствующий расчетной схеме рис. 5.3, для случая различных шагов интегрирования $\Delta z$. Результаты вычислений представлены в табл. 5.4. Первая часть этой таблицы может быть использована для более глубокого уяснения метода. Читатель может легко сопоставить полученные результаты с данными рис. 5.2 для $a=1$. Вторая часть таблицы характеризует влияние погрешностей аппроксимации при выбранном методе интегрирования. При этом чем меньше шаг интегрирования, тем лучше найденные значения аппроксимируют реальную зависимость. Из таблицы видно, что даже в случае рассматриваемой простой задачи для получения достаточно точных результатов нам пришлось бы выбирать $\Delta z$ очень малым. Это обусловлено, конечно, в первую очередь низким порядком аппроксимации используемого метода Эйлера (погрешность аппроксимации в этом случае есть $O(\Delta z)$ ). Если выбрать более эффективный метод интегрирования, например метод Рунге – Кутты 4-го порядка, то результаты окажутся более точными. Полученное решение, однако, также, хотя и в меньшей степени, будет отличаться от истинной зависимости. Вследствие этого представляется необходимым после прохождения некоторого интервала изменения переменной $z$ всегда уточнять решение, т. е. корректировать его так, чтобы выполнялось исходное уравнение (5.1.3), или, для рассматриваемого случая, уравнения (5.2.16). Так появились методы продолжения типа предиктор-корректор, которые мы опишем в следующем пункте.

5.2.3. Алгоритм продолжения типа предиктор-корректор

В принципе существуют две возможности коррекции погрешностей аппроксимации, накапливающихся при продолжении решения с использованием простого предиктора. Первая из них заключается в том, чтобы контролировать, как отличается решение от истинного, например, по норме $\|\mathbf{f}\|$, и когда это отличие превышает некоторый заранее заданный допуск, использовать для уточнения результатов какой-либо итерацион-

ный метод (например, метод Ньютона). При другом подходе также используется метод Ньютона, но после каждого шага предиктора. При этом в методе Ньютона осуществляется лишь такое число итераций, чтобы приращение $\Delta \mathbf{x}$ по соответствующей норме оказалось бы меньше заданной точности вычислений. В обоих подходах уточняются выбранные $n$ из $n+1$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}=\alpha$.

Выбор неизменяемой переменной (ее индекса $k$ ) не является произвольным: например, в окрестности предельной точки это не может быть $\alpha$, а в окрестности экстремума $x_{i}$ это не может быть $x_{i}$. Поэтому алгоритм выбирает ее сам, причем одной из возможностей является использование того же самого механизма, что в п. 5.2.2. Диаграмма вычислений для описанного алгоритма продолжения типа предиктор-корректор представлена на рис. 5.4. В работе [5.5] этот алгоритм расписан на языке Фортран, соответствующая подпрограмма называется DERPAR. В данной книге мы будем использовать это название. Отметим, что в этой подпрограмме вместо метода Эйлера в предикторе используются варианты многошагового метода АдамсаБашфорта переменного порядка.

Приведенный алгоритм продолжения беспрепятственно преодолевает точки поворота на зависимостях решения от параметра. В точках же ветвления он обычно дает продолжение первоначальной ветви решения. Продолжение может не удаться, если очередная вычисленная точка окажется слишком близкой к точке ветвления. Сигналом, указывающим, что мы перешли за точку ветвления, может служить изменение знака $\operatorname{det} \mathbf{J}_{k}$ определителя матрицы $\mathbf{J}_{k}$. Таким образом, указанный алгоритм формирует зависимость решения от параметра, представляющую собой непрерывную кривую в $(n+1)$-мерном пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}=\alpha$. Разумеется, алгоритм DERPAR не приспособлен для того, чтобы с его помощью построить всю диаграмму решений целиком. Для каждой изолированной ветви кривой $f(x, \alpha)=0$ ему нужна новая начальная точка, которую можно получить, например, методом случайного перебора начальных приближений для схемы Ньютона (см. § 5.1). Наконец, отметим, что описанный алгоритм не рассчитан на точное нахождение бифуркационных точек в пространстве $(x, \alpha)$. Обнаружив такую точку, ее координаты можно точно вычислить с помощью алгоритмов, описанных в п. 5.4.1, и определить затем соответствующие начальные значения для процесса продолжения на остальных ветвях решения (см. п. 5.4.2).

В последнее время был разработан целый ряд методов и алгоритмов, связанных с процессом продолжения (см., например,

работы [5.24], [5.25]), где большей частью используется практически тот же подход, что и в алгоритме DERPAR.
Рис. 5.4. Схема алгоритма продолжения DERPAR.

Результат применения алгоритма продолжения DERPAR для задачи 2 [5.5] представлен на рис. 5.5. При этом вся кривая целиком была построена путем одного обращения к алгоритму. Отметим, что на диаграмме решений имеется 6 точек поворота и отсутствуют точки ветвления. Точка пересечения трех ветвей на рисунке не является точкой бифуркации, по-

Рис. 5.5. Диаграмма стационарных решений задачи $2, \gamma=1000, B=22$, $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\beta}=2, \Theta_{c_{1}}=\Theta_{c_{2}}=0: \boldsymbol{\Lambda}=1, \boldsymbol{\alpha} \equiv \mathrm{Da}_{1}=\mathrm{Da}_{2} ;$ сплошные линии – устойчивые решения, штриховые – неустойчивые решения.

Рис. 5.6. Диаграммы стационарных решений некоторых задач из главы 4; сплошные линии – устойчивые решения, штриховые линии – неустойчивые решения. a) Задача 8, каскад из двух реакторов с однонаправленным течением, уравнения (P8-2a), (P8-3a), (P8-4), (P8-5); $A=2, B=4, D_{2}=$ $=10 D_{1}$. b) Задача 4; $\gamma=3, \beta=1,5 ; v_{0}=0,01$. c) Задача $10 ; \sigma=16$, $b=4 . d$ ) Задача 8; $N=2$, уравнения (P8-2)-(P8-5); $A=2, B=6, D_{2}=$ $\left.=10 D_{1} . e\right)$ Задача 8; $N=3$, уравнения (P8-7)-(P8-12); $A=2, B=6$. $D_{2}=10 D_{1} . f$ ) Задача 8; $N=4$, уравнения (P8-7)-(P8-10), (P8-14)-(P8-17), $\left.A=2, B=6, D_{2}=10 D_{1} . g\right)$ Задача $2 ; \gamma=20, \Lambda=1, \Theta_{c_{1}}=\theta_{c_{2}}=-5$, $\beta_{1}=\beta_{2}=1, B=15, \mathrm{Da}=\mathrm{Da}_{1}=\mathrm{Da}_{2}$. h) задача $1 ; \gamma=20 ; B=9, \boldsymbol{\theta}_{c}=0$, $\mathrm{Da}=0,02$. $i$ ) Задача 5 ; значения параметров см. в табл. 4.1.
、
скольку значения трех других переменных состояния на каждой из ветвей оказываются разными.

Построение диаграммы решений представляет собой важнейшую задачу анализа нелинейной динамической системы1). Читателю, который хочет практически освоить эту проблематику, мы советуем рассчитать несколько диаграмм решений самостоятельно. На рис. 5.6 изображены 9 диаграмм решений для различных задач, рассмотренных в гл. 4. Диаграммы решений, представленные на рис. $5.6 \mathrm{~b}, \mathrm{~h}, \mathrm{i}$, можно получить с помощью отображения соответствующего параметра. Диаграмму на рис. 5.6c можно построить аналитически. Начальные значения для продолжения решений на рис. $5.6 \mathrm{~d}$, e, f читатель найдет в табл. 5.1 при $D_{1}=0,4$.