Понятие квазистационарного поведения было введено в $\mathrm{\S }{5.10}^{\mathrm{t}}$. В этом параграфе мы рассмотрим лишь два типичных примера такого поведения для задач 11 и 13.

Прежде всего мы исследуем эволюцию стационарных структур в задаче 13 при предписанном изменении (увеличении со временем) длины системы $L$. Эволюционная диаграмма для случая ГУ2 изображена на рис. 6.21. Из сравнения рис. 6.21 с рис. 6.7 можно видеть, что речь идет о движении вблизи стационарных решений ${}^{1)}$ по устойчивым ветвям; скачки наблюдаются после перехода параметра $L$ через критические значения, отвечающие точкам поворота на рис. 6.7. Если выбрать коэффициент $a$, определяющий рост $L$, слишком большим (например, положив $L(t)=6+0,002t$ ), то связь между полученной эволюционной диаграммой и диаграммой стационарных решений на рис. 6.7 при малых $L$ уже не будет такой очевидной. Поэтому на выбор этого коэффициента требуется обратить особое внимание. Если мы, наоборот, выберем его слишком малым, то необходимое время вычислений окажется слишком большим.

Рис. 6.21. Эволюционная диаграмма для задачи 13 при ГУ $2,\mu =0,0035,v=$ $=0,0045,{\rho }_0=6\cdot {10}^{-4},c=0,05,c^{\prime }=0,025,D_{\mathrm{x}}=0,01,D_{\mathrm{y}}=0,45,\rho ={\rho }^{\prime }=$ $=3,2$. Величина $L$ изменялась по закону $L(t)=6+0,0002t$; схема (6.4.3), $w=1/2,n=48,\tau =125$. В верхней части рисунка приведены характерные профили концентрации $x$.
На рис. 6.22 представлена эволюционная диаграмма по параметру $L$ для задачи 13 в случае ГУ1 (остальные параметры выбираются такими же, как на рис. 6.21); соответствующая диаграмма стационарных решений не строилась. На этом рисунке, так же как и на предыдущем, приведены характерные профили переменной $x$ для избранных значений длины $L$. Қак и в случае ГУ2, здесь также при увеличении $L$ структура решения становится все более сложной (число максимумов и минимумов на пространственных профилях растет). Более подробно эти результаты обсуждаются в работе [6.32].

На рис. 6.23 изображена эволюционная диаграмма для задачи 11 с ГУ2 при таких значениях параметров, когда существуют устойчивые периодические решения $(A=2,B=5,45$,

Рис. 6.22. Эволюционная диаграмма для задачи 13 при ГУ1. Параметры выбирались такими же, как на рис. 6.21 ; схема (6.4.3), $⿰=1/2,n=80,\tau =$ $=125$; сплошные линии — симметричные профили, штриховые — асимметричные профили.
Рис. 6.23. Эволюционная диаграмма для задачи 11 при ГУ $2,A=2,B=5,45$, $D_{\mathrm{x}}=0,008,D_{\mathrm{y}}=0,004,L(t)=0,45+0,0055t;\mathrm{\Delta }x(0)=max[x(0,t)]-$ $-min[x(0.t)]$, где максимальное и минимальное значения оцениваются для $t$, меняющегося в пределах одного периода.
$D_{\mathrm{x}}=0,008,D_{\mathrm{y}}=0,004)$.
При малых значениях $L$ здесь существует устойчивое пространственно однородное периодическое решение, которое теряет устойчивость вблизи значения $L=2$. При бо́льших значениях $L$ сосуществует большое число устойчивых периодических решений; так, например, при $L=4,5$ их
уже минимум пятнадцать (для периодических решений и ГУ2 также действует принцип «суммирования» решений, см. п. 4.3.1). Bсе эти решения имеют примерно тот же период, что и однородное решение, т. е. $T\approx 3,8$. Эволюционная диаграмма, приведенная на рис. 6.23 , была построена следующим способом. При $L=0,45$ однородное периодическое решение является устойчивым. При изменении $L(t)$ в интервале $(0,45;2,2)$ в вычисления вводились случайные флуктуации (возмущения) значений решения с амплитудой 0,01 , в результате решение перешло из окрестности ветви однородных периодических решений на ветвь неоднородных решений. При этом последовательно (с ростом $L(t)$ ) возникают периодические решения ${}^1$ ) со все более и более сложной структурой (имеющие больше максимумов и минимумов). На оси ординат эволюционной диаграммы на рис. 6.23 откладывается величина $\mathrm{\Delta }x(0)$, которую можно рассматривать как амплитуду колебаний на границе системы. Қаждый минимум представленной на рисунке кривой отвечал возникновению более сложной структуры. Более подробный анализ периодических решений задачи 11 представлен в работе [6.33].

Подчеркнем, что построение эволюционных диаграмм для распределенных систем требует большого объема вычислений, особенно в случаях, когда в задаче возникают периодические решения. Особую роль при этом играет подходящий выбор коэффициента а в формуле $L=L_0+at$. $\mathrm{K}$ тому же сами эксперименты с указанной величиной (с тем, чтобы определить, какое наибольшее значение а мы можем выбрать) требуют довольно больших затрат машинного времени.