Рассмотрим динамическую модель, зависящую от параметра $\alpha$,
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)
\]

для простоты считая параметр $\alpha$ скалярной величиной. До сих. пор мы считали значение $\alpha$ постоянным. Однако в реальных ситуациях параметры системы часто изменяются в зависимости от времени. Рассмотрим очень медленное изменение параметра $\alpha$ со временем $t$, задаваемое либо соотношением
\[
\alpha=\alpha(t), \quad\left|\alpha^{\prime}(t)\right| \ll 1,
\]

либо как решение дифференциального уравнения
\[
\frac{d \alpha}{d t}=\psi(t, \alpha)
\]

В обоих случаях мы предполагаем, что параметр $\alpha$ меняется со временем гораздо медленнее переменных состояния х. Возникающее в результате поведение системы мы называем квазистационарным ${ }^{2}$. Обычно мы считаем, что правые части уравнения (5.10.3) не зависят от $\mathbf{x}$, хотя включение $\mathbf{x}$ в описание изменений $\alpha$ не вызвало бы никаких затруднений.

Поясним это понятие для случая, когда в момент времени $t=0$ мы находимся очень близко к устойчивому стационарному решению $\overline{\mathbf{x}}(\alpha(0))$ )системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha}(0)) \quad(\mathbf{x}(0)] \approx \overline{\mathbf{x}}(\alpha(0)))$. Тогда решение $\mathbf{x}(t)$ системы
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha(t)), \quad \mathbf{x}(0)=\overline{\mathbf{x}}(\alpha(0))
\]

мало отличается от функции $\overline{\mathbf{x}}(\alpha(t))$, где $\overline{\mathbf{x}}(\alpha)$ – устойчивое стационарное решение уравнения (5.10.1) при фиксированном $\alpha^{3}$ ).

Рассмотрим теперь частный случай общей эволюционной задачи, часто встречающейся в физических и биологических

приложениях. Решение в данном случае изменяется со временем в малой окрестности устойчивых ветвей на диаграмме решений, в малой окрестности аттракторов. Процесс эволюции системы можно представить в форме так называемой эволюционной диаграммы, на которой из диаграммы решений выделяются устойчивые части и на которой стрелками изображается эволюция установившегося решения во времени. Наряду с этими медленными изменениями отмечаются также быстрые переходы от решения, которое потеряло устойчивость, к следующему аттрактору. Для описания изменений параметра во времени чаще всего используются два вида зависимостей $\alpha(t)$, а именно, линейный рост
\[
\alpha=\alpha_{0}+\alpha_{1} t
\]

и экспоненциальный рост
\[
\alpha=\alpha_{0} \cdot e^{c t} .
\]

Расчет эволюционной диаграммы осуществляется сравнительно просто, однако требует довольно много времени. Для интегрирования уравнений (5.10.1) с параметром $\alpha$, изменяющимся согласно формулам (5.10.5) или (5.10.6), можно использовать некоторые из методов, описанных в § 5.7. При этом необходимо применять методы с автоматическим изменением шага интегрирования, поскольку при динамическом моделировании ситуации, когда решение меняется весьма медленно, чередуются с ситуациями, когда имеют место быстрые переходы к другому режиму. Поскольку изменение параметра $\alpha$ происходит очень медленно, то приходится проводить интегрирование на большом временно́м промежутке, с тем чтобы значение параметра $\alpha$ изменилось достаточно заметным образом. Довольно часто приходится повторять процесс интегрирования с разными начальными условиями, особенно если характер квазистационарного поведения меняется в зависимости от выбора начального условия, что, как правило, имеет место для моделей с несколькими совместно существующими аттракторами.

Следующей проблемой является выбор скорости роста, т. е. фактически констант $\alpha_{1}$ или $c$. Если выбрать их большими, то уже нельзя будет говорить о квазистационарном поведении системы, а изменение $\alpha$ будет происходить в тех же временных масштабах, что и изменение $\mathbf{x}$. Если же выбрать $\alpha_{1}$ и с слишком малыми, то непомерно возрастет время вычислений. Обыкновенно при выборе констант приходится останавливаться на некоторых компромиссных значениях, которые не оказывают влияния на поведение ветвей стационарных и периодиче-

ских решений ${ }^{1)}$, но которые могут влиять на скачки решений при переходе через точки бифуркации. При этом в зависимости от скорости изменения $\alpha$ мы можем получать различные продолжения решений на эволюционной диаграмме.

5.10.1. Типичные эволюционные диаграммы

Наиболее часто встречающимся типом квазистационарного. поведения является перемещение решения вдоль выбранной устойчивой ветви решений (стационарных, периодических, квазипериодических, хаотических (2) на диаграмме решений. В указанных случаях поведение системы предсказуемо-в нем не наблюдаются качественные изменения, скачки, быстрые переходы и т. п. Такого рода переходы (скачки) могут появляться только в точках бифуркации. Возможные способы перехода через эти точки изображены на рис. 5.35. Более сложные бифуркации периодических решений (например, удвоение периода, возникновение хаотических режимов) на рисунке не показаны. Обсудим теперь отдельные типичные случаи, изображенные на рис. 5.35.

Случай а) соответствует точке ветвления на диаграмме стационарных решений. Решение $\mathbf{x}(t)$ системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha(t))$ мало отличается от функции $\overline{\mathbf{x}}(\alpha(t))$, где $\overline{\mathbf{x}}(\alpha)$ – стационарное решение системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha$ ) (при постоянном $\alpha$ ). После критического значения параметра $\alpha$ решение продолжается вдоль устойчивой ветви стационарных решений $\overline{\mathbf{x}}(\alpha)$. Зависимость $\overline{\mathbf{x}}(\alpha)$ в точке $\alpha^{* *}$ претерпевает излом. Однако при построении. эволюционной диаграммы с помощью динамического моделирования (численного решения системы $\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha(t))$ ) можно не: заметить, что произошел переход (перескок) на другую ветвь. стационарных решений. В случае b) (бифуркация типа вилки) решение продолжается по одной из последующих устойчивых. ветвей, выбранных случайным образом в зависимости от погрешностей аппроксимации и округления. В реальных физических или биологических проблемах удобно рассматривать соответствующую задачу как стохастическую; характер распределения флуктуаций переменных состояния определяет тогда вероятности выбора отдельных ветвей решения.

Случай с) представляет особый интерес, поскольку мы не можем предсказать поведение системы без дополнительных сведений. После перехода $\alpha$ через критическое значение $\alpha^{*}$ состояние системы сравнительно быстро изменяется, притягиваясь к «наиболее близкому» устойчивому состоянию. Этот притягивающий режим может описываться устойчивым стационарным, периодическим или хаотическим решением системы $\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)$.

Рис. 5.35. Схематическое изображение перехода через критические точки при квазистационарном поведении.

Иначе говоря, по окончании переходного периода решение $\mathbf{x}(t)$ может быть близко к некой ветви стационарных решений системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)$, но может также совершать колебания, близкие к периодическим (или имеющие стохастический характер).

Случай d) соответствует бифуркации Андронова-Хопфа на устойчивой ветви стационарных решений. Случай е) аналогичен случаю с). При переходе $\alpha$ через критическое значение $\alpha$ ж для ветви периодических решений (случай f)) поведение системы также аналогично случаю с): она «эволюционирует» по направлению к «ближайшему» аттрактору системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)$.

Рассмотренные случаи представляют собой наиболее типичные участки эволюционной диаграммы. Ситуация может оказаться более сложной при появлении квазипериодических и хаотических решений.

При переходе с одной ветви решения на другую мы можем спрогнозировать следующую ветвь в представленных на рис. 5.35 случаях a) и d). Такие случаи мы будем называть детерминист-

скими. Остальные случаи, в которых последующая ветвь выбирается с локальной точки зрения случайно (случаи b), c), e), f) на рис. 5.35), мы будем называть стохастическими переходами. Отметим, что стохастический переход может давать в той или иной степени детерминированное продолжение. Это, например, имеет место в случае с) на рис. 5.35 , если при $\alpha>\alpha^{*}$ существует единственный аттрактор системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)$.

Переходы в стохастическом случае могут быть очень быстрыми, однако могут происходить и в течение достаточно долгого времени. При этом переменные состояния не обязаны меняться монотонно.

Если одновременно существует несколько устойчивых решений задачи, то в инженерной практике мы часто сталкиваемся с проблемой реализации выбранного стационарного решения: путем соответствующего медленного изменения параметра (для которого такое изменение удается осуществить). Принимая во внимание то, что начальные условия для переменных состояния часто с трудом поддаются регулированию, этот вопрос оказывается чрезвычайно важным. Типичным примером здесь служит проблема перевода химического реактора в режим с высокой степенью конверсии с помощью изменения того или иного параметра, например, времени задержки.

5.10.2. Примеры эволюционных диаграмм

Рассмотрим теперь на примерах некоторые наиболее характерные типы эволюции системы при медленном изменении параметра, т. е. соответствующие эволюционные диаграммы. На рис. 5.36 представлены шесть случаев, когда при переходе через точку поворота или точку бифуркации Андронова–Хопфа происходит резкое изменение (скачок) решения. На рисунках изображены перескоки при увеличении или уменьшении значений параметра со временем. На рис. 5.36a и 5.36b приведены наиболее типичные случаи так называемого явления гистерезиса. Случай двух петель гистерезиса представлен на рис. 5.36c. Общим для всех трех случаев является то, что с помощью соответствующих изменений параметра здесь можно получить все устойчивые стационарные решения. Иначе обстоит дело в случае, изображенном на рис. $5.36 \mathrm{~d}$ : здесь нельзя с помощью изменения параметра $\tau$ во времени достигнуть верхнего устойчивого стационарного состояния, отправляясь от нижнего (при изменении $\tau$ решение остается на нижней устойчивой ветви). Верхнего же состояния можно достигнуть путем изменения начальных условий или какого-либо другого параметра задачи. Аналогичная ситуация имеет место на рис. $5.36 \mathrm{e}$, f. Читатель может

Рис. 5.36. Скачки в точках поворота и точках бифуркации Андронова – Хопфа на диаграммах решений при изменении параметра; сплошные линии устойчивые стационарные решения, штриховые – неустойчивые стационарные решения. а) Задача $6, V=12, c_{\mathrm{x} 0}=0.005, c_{\mathrm{s} 0}=5, \hat{\mu}=0,5, K_{\mathrm{s}}=0,03$, $K_{\mathrm{i}}=5, S_{\mathrm{xs}}=0,5$. b) Задача 5, см. параметры в табл. 4.1. c) Задача $1, \gamma=$ $=20, B=10, \Lambda=1, \theta_{c}=-5, k_{0}=1, a=1$. d) Задача $1, \gamma=20, B=10$, $\Lambda=1, \Theta_{c}=-5, k_{0}=1, a=2,5$. e) Задача 2, $\gamma=20, B=10, \Theta_{c 1}=\Theta_{c 2}=-5$, $a=1, k_{0}=0,5$. f) Задача 2, $\gamma=20, B=10, \Theta_{c 1}=\Theta_{c 2}=-5, a=1, k_{0}=0,6$.

легко установить, какие именно устойчивые состояния могут быть достигнуты путем медленного изменения параметра $\tau^{1)}$.

На рис. 5.37 изображена эволюционная диаграмма для задачи 2 , где существуют устойчивые периодические решения. На нем видно влияние выбора величины $\alpha_{1}$ в формуле (5.10.4) (скорости изменения параметра $\alpha$ во времени) при $\alpha_{0}=$ $=\mathrm{Da}_{10}=0$. В случае, представленном на рис. 5.37а, эта скорость была выбрана слишком большой, так что процесс не смог достаточно стабилизироваться.

Рис. 5.37. Эволюционная диаграмма задачи 2. $\gamma=1000, B=12, \beta_{1}=\beta_{2}=$ $=2, \quad \Theta_{c 1}=\Theta_{c 2}=0, \Lambda=1, \quad \mathrm{Da}_{2}=0,2, A_{4}=$ амплитуда переменной $\Theta_{2}$; a) $\mathrm{Da}_{1}=0,0007 t, \mathrm{Da}_{1}=0,000035 t$.
Поучительно сравнить эволюционную диаграмму рис. $5.37 \mathrm{~b}$ с бифуркационной диаграммой по параметрам $\mathrm{Da}_{1}$ и $\mathrm{Da}_{2}$ на рис. $5.20 \mathrm{c}$, где видны точки бифуркации Андронова-Хопфа. На рис. $5.37 \mathrm{~b}$ показано резкое нарастание амплитуды колебаний вблизи $\mathrm{Da}_{1}^{+} \approx 0,1574$. Обращаясь к рис. 5.28, мы видим, что этому значению $\mathrm{Da}_{1}^{+}$отвечает бифуркация Андронова-Хопфа с жесткой потерей устойчивости стационарного режима (ветвь периодических решений отходит в сторону $\mathrm{Da}_{1}<\mathrm{Da}_{1}^{+}$).

Интересное поведение решения можно наблюдать в случае системы двух связанных между собой реакторов (задача 8). Выберем значения параметров из диаграммы стационарных решений на рис. 5.6, а именно, положим $A=2, B=6, D_{1} / D_{2}=0,1$. Исследуем поведение системы при изменении параметра $D_{1}$,

выбрав начальные условия в виде
\[
t=0: X_{1}=2,1, \quad Y_{1}=2,9, \quad X_{2}=1,9, \quad Y_{2}=3 .
\]

При этом параметр $D_{1}$ будем изменять во времени по формуле
\[
D_{1}=D_{10} 2^{ \pm a t} \text {. }
\]

Эволюционные диаграммы приведены на рис. 5.38. В случае возрастающих $D_{1}$ (рис. 5.38a) при $D_{1} \sim 0,01$ мы имеем однородное периодическое решение ( $X_{1}=X_{2}, Y_{1}=Y_{2}$ ), получаю-

Рис. 5.38. Эволюционная диаграмма задачи 8. $N=2, A=2, B=6, \rho=$ $=D_{1} / D_{2}=0,1$ a) $D_{1}=0,006 \cdot 2^{t / 50}$, b) $D_{1}=1,5 \cdot 2^{-t / 50}$. T5X – точка бифуркации Андронова – Хопфа, НСР’ неоднородное стационарное решение, ОСР – однородное стационарное решение, $\otimes$ – однородное периодическое решение, $\mathrm{O}$ – неоднородное периодическое решение, $\mathrm{S}$ – старт при $t=0$.

щееся вследствие симметрии системы. При дальнейшем увеличении $D_{1}$ происходит перескок на неоднородное стационарное решение, затем в точке комплексной бифуркации появляется неоднородное устойчивое периодическое решение. Это решение через каскад бифуркаций, удваивающих период, порождает хаотическое решение, которое в конце концов утрачивает устойчивость 1), и мы вновь получаем однородное периодическое решение. При уменьшении $D_{1}$ (см. рис. 5.38b) однородное периодическое решение переходит прямо на неоднородное стационарное

решение, затем в точке комплексной бифуркации на неоднородное периодическое решение и, наконец, вновь на однородное периодическое решение.

На рис. 5.39 изображена эволюционная диаграмма для задачи 10. В случае а) параметр $r$ (число Рэлея) возрастает со временем в области, где стационарное решение в точке субкритической бифуркации Андронова-Хопфа ( $r \sim 33,45$ ) теряет устойчивость, и система переходит в хаотический режим. Из

Рис. 5.39. Эволюционные диаграммы задачи $10, \sigma=16, b=4$. $a) \quad r(t)=$ $=32+0,0005 t$. Приведены значения переменной $x$. В заштрихованной области траектория идет по хаотическому аттрактору, причем эта область представляет собой приближенную проекцию указанного аттрактора на ось $x$. b) $r(t)=400-0,1 t$. Показаны величины проекции орбит отображения Пуанкаре на ось $x$. Сечение $\Sigma$ определяется уравнением $y=0$. В заштрихованных областях траектория системы идет по хаотическому аттрактору.

рисунка видно, что система еще некоторое время, зависящее от скорости изменения $r$, следует ветвью неустойчивых (для $r>$ $>33,45$ ) стационарных решений, прежде чем ее поведение станет хаотическим.

На рис. 5.39 b параметр со временем убывает. Сначала система устанавливается (приближенно) на периодическом решении, затем происходит удвоение периода, потом следующее удвоение и так далее – до тех пор, пока поведение системы не станет хаотическим. Хаотическое поведение наблюдается до значения $r$, приблизительно соответствующего точке поворота на ветвь устойчивых периодических движений ( $r \sim 248)$ (ср. рис. 5.26a). После этого поведение системы становится (приближенно) периодическим и «хаотический аттрактор перестает

быть аттрактором». При $r \sim 230$ возникает бифуркация с потерей симметрии (излом на соответствующей кривой), затем опять происходит каскад бифуркаций удвоения периода и, наконец, вновь наступает хаотический режим. Указанная ситуация, т. е. движение системы вдоль ветви устойчивых периодических решений, возникает еще раз при $r \sim 198$. При дальнейшем уменьшении $r$ система вновь ведет себя хаотически.