В этом параграфе мы вновь обратимся к анализу системы (3.1.1), см. [3.2]. Пусть $\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right) \in \mathbf{S}(\mathbf{f})$, т. е.
\[
\mathbf{f}\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)=\mathbf{0} \text {. }
\]

Введем обозначения
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\mathbf{J}}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_{\mathrm{t}}}{\partial x_{1}}, \ldots, & \frac{\partial \mathrm{f}_{1}}{\partial x_{n}}, & \frac{\partial f_{1}}{\partial \alpha} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}, \ldots, & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}, & \frac{\partial f_{2}}{\partial \alpha} \\
\cdot & \cdots & \cdot \cdot \cdot & \cdot \\
\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \ldots, & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, & \frac{\partial f_{n}}{\partial \alpha}
\end{array}\right] \\
\end{array}
\]

При этом все частные производные в формулах (3.3.2) и (3.3.3) вычисляются в точке $\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$.

Случай 1. Det $\mathbf{J}
eq 0$. Если $\operatorname{det} \mathbf{J}
eq 0$, то к системе (3.1.1) можно применить теорему о неявных функциях, согласно которой для всех $\alpha$, взятых в некоторой окрестности $U\left(\alpha^{*}\right)$, существует однозначная зависимость

причем
\[
\mathbf{x}=\mathbf{x}(\alpha),
\]
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}(\alpha), \alpha) \equiv \mathbf{0}
\]

для всех $\alpha \in U\left(\alpha^{*}\right)$. Таким образом, через точку ( $\left.\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$ проходит только одна ветвь решений системы (3.1.1).
Точку ( $\left.\mathrm{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$, для которой выполнено условие
\[
\operatorname{det} \mathbf{J}
eq 0 \text {, }
\]

мы будем называть регулярной точкой.
Cлучай II. Det $\mathbf{J}=0$ и ранг расширенной матрицы $\tilde{\mathbf{J}}$ равен $n: \operatorname{rank}(\widetilde{\mathbf{J}})=n$. В этом случае, заменив один из столбцов матрицы J последним столбцом матрицы $\tilde{\mathbf{J}}$, можно добиться того, чтобы полученная матрица имела ранг $n$.

Для удобства записи предположим, что заменен первый столбец матрицы $\mathbf{J}$ (этого всегда можно добиться с помощью подходящей нумерации столбцов), причем полученная матрица

имеет ранг $n$, т. e. $\operatorname{det} \mathbf{J}_{\alpha}
eq 0$.
Тогда, аналогично случаю I, к системе (3.1.1) можно вновь применить теорему о неявных функциях, с той лишь разницей, что роль $\alpha$ играет теперь переменная $x_{1}$. Таким образом, можно утверждать, что существуют функции $x_{j}=x_{j}\left(x_{1}\right), j=2, \ldots, n$, и $\alpha=\alpha\left(x_{1}\right)$, определенные в некоторой окрестности $\mathrm{U}\left(x_{1}^{*}\right)$, такие, что
\[
\begin{array}{c}
x_{j}\left(x_{1}^{*}\right)=x_{j}^{*}, \quad j=2, \ldots, n, \quad \alpha\left(x_{1}^{*}\right)=\alpha^{*}, \\
\mathbf{f}\left(x_{1}, x_{2}\left(x_{1}\right), \ldots, x_{n}\left(x_{1}\right), \alpha\left(x_{1}\right)\right)=\mathbf{0}
\end{array}
\]

для всех $x_{1} \in \mathrm{U}\left(x_{1}^{*}\right)$.
Можно показать, что
\[
\frac{d \alpha}{d x_{1}}\left(x_{1}^{*}\right)=0 .
\]

Тогда, если $d^{2} \boldsymbol{\alpha} / d x_{1}^{2}<0$, функция $\alpha\left(x_{1}\right)$ имеет в точке $x_{1}^{*}$ максимум — это означает, что при $\alpha>\alpha^{*}$ пара стационарных решений исчезает. Если же $d^{2} \alpha / d x_{1}^{2}>0$, то функция $\alpha\left(x_{1}\right)$ в точке $x_{1}^{*}$ имеет минимум и, значит, при $\alpha>\alpha^{*}$ возникает пара стационарных решений. Такую точку $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ мы будем называть точкой поворота.

Если ранг матрицы $\tilde{\mathbf{J}}\left(\mathrm{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$ меньше $n$, то точку $\left(\mathrm{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$ называют сингулярной точкой множества $\mathbf{S}(\mathbf{f})$.
Cлучай III. $\operatorname{rank}\left(\tilde{\mathbf{J}}\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)\right)=n-1$.
Предположим, что $\operatorname{rank}(\mathbf{J})=n-1$ (этим случаем мы и ограничимся). Тогда из матрицы $\mathbf{J}$ можно выбрать матрицу $\mathbf{J}_{1}$ порядка $n-1$, определитель которой отличен от нуля. Для упрощения записи будем предполагать, что матрица $\mathbf{J}_{1}$ получается из матрицы $\mathbf{J}$ вычеркиванием первого столбца и последней строки. Таким образом,

и
\[
\operatorname{det} \mathbf{J}_{1}\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)
eq 0 .
\]

Рассмотрим первые $n-1$ уравнений системы (3.1.1). Условие (3.3.8) позволяет применить к этой системе теорему о неявной функции. Из нее следует, что существуют функции
\[
x_{i}=\varphi_{i}\left(x_{1}, \alpha\right), \quad i=2,3, \ldots, n \text {, }
\]

определенные в некоторой окрестности $U$ точки ( $\left.x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right)$, такие, что для $\left(x_{1}, \boldsymbol{\alpha}\right) \in \mathrm{U}$ имеют место условия
\[
x_{i}^{*}=\varphi_{i}\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right), \quad i=2,3, \ldots, n
\]

и
\[
f_{j}\left(x_{1}, \varphi_{2}\left(x_{1}, \alpha\right), \ldots, \varphi_{n}\left(x_{1}, \alpha\right), \alpha\right) \equiv 0,
\]

где $j=1,2, \ldots, n-1$.
Подставим функции (3.3.9) в последнее уравнение системы (3.1.1), введя при этом обозначение
\[
F\left(x_{1}, \alpha\right)=f_{n}\left(x_{1}, \varphi_{2}\left(x_{1}, \alpha\right), \varphi_{3}\left(x_{1}, \alpha\right), \ldots, \varphi_{n}\left(x_{1}, \alpha\right), \alpha\right) .
\]

Мы получим
\[
F\left(x_{1}, \alpha\right)=0 .
\]

Теперь можно исследовать уравнение (3.3.11) с помощью методов, описанных в § 3.2. Таким образом, нам удалось (исходя из заданных предположений о ранге матрицы $\mathbf{J}$ ) свести $(n+1)$ мерную задачу к двумерной.

Можно убедиться, что в рассматриваемом случае, когда $\operatorname{rank}(\mathbf{J})=n-1$,
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}}\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right)=\frac{\partial F}{\partial \alpha}\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right)=0 .
\]

Таким образом, сингулярной точке $\left(\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}\right)$ множества $\mathbf{S}(\mathbf{f})$ в $\mathrm{R}^{n+1}$ отвечает сингулярная точка множества $\mathrm{S}(F)$ в $\mathrm{R}^{2}$.

Из уравнения $F\left(x_{1}, \alpha\right)=0$ (3.3.11) можно так же, как это сделано в § 3.2, найти угловые коэффициенты касательных к ветвям $S(F)$ (т. е. вычислить значения $\frac{d x_{1}}{d \alpha}$ в точке $\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right)$ ). Затем с помощью формулы
\[
\frac{d x_{i}}{d \alpha}=\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial x_{1}} \frac{d x_{1}}{d \alpha}+\frac{\partial \varphi_{j}}{\partial \alpha}, \quad j=2,3, \ldots, n
\]

можно найти направление ветвей $S(f)$, проходящих через точку $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ в $\mathrm{R}^{n+1}$. Это есть итог наших вычислений.