Рассмотрим нелинейную динамическую модель (5.1.1) с двумя параметрами
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \alpha, \beta\right), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Будем исследовать поведение стационарных состояний системы (5.6.1) и их устойчивость в «параметрической плоскости $\beta$ – $»$. В частности, нас будут интересовать критические значения этих параметров, при которых возникают бифуркации – изменения числа решений или изменения характера устойчивости отдельных решений.

B $\$ 5.4$ мы научились определять координаты точки поворота $\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}, \alpha^{*}=\alpha_{0}\right)$ при выбранном значении параметра $\beta=\beta_{0}$. Используя алгоритм продолжения, можно найти зависимость координат точки поворота от параметра $\beta$. Таким образом, в параметрической плоскости ( $\beta-\alpha$ ) мы получаем некоторую кривую, которую в дальнейшем мы будем называть кривой точек поворота или линией кратности. Схематически эта кривая изображена на рис. 5.15. Если мы непрерывно изменяем значения параметров $\alpha$ и $\beta$, то при каждом переходе через линию кратности число стационарных решений изменяется на два. Следовательно, если известны все линии кратности, то они

делят параметрическую плоскость $\beta-\alpha$ на некоторые области, в каждой из которых число стационарных решений остается постоянным. Точно так же, как и кривые точек поворота, мы можем построить кривую точек ветвления.

Аналогично мы можем находить точки комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа) ( $x_{1}^{+}, \ldots, x_{n}^{+}, \boldsymbol{\alpha}^{+}$) при изменении значений параметра $\beta$ (см. рис. 5.16). Построенную таким образом кривую в параметрической плоскости $\beta-\alpha$ мы будем

Рис. 5.15. Схематическое изображение процесса построения кривой точек поворота на бифуркационной диаграмме.

называть кривой точек комплексной бифуркации, или бифуркации Хопфа (их называют также «линии нейтральности». Ред.). Наиболее интересными представляются те точки комплексной бифуркации, в которых (при изменении одного параметра) меняется устойчивость стационарного решения. Если мы изменяем параметры $\beta$ и $\alpha$ таким образом, что пересекаем указанную кривую точек комплексной бифуркации, то при этом изменяется устойчивость одного из имеющихся стационарных решений задачи. Мы можем построить также кривые точек комплексной бифуркации, в которых устойчивость стационарного решения не меняется – эти кривые позволяют судить о рождении неустойчивых периодических решений.

Построив в параметрической плоскости $\beta-\alpha$ кривые точек поворота и кривые точек комплексной бифуркации, мы получаем так называемую бифуркационную диаграмму. При этом

плоскость $\beta-\alpha$ оказывается разделенной на области, в которых число стационарных решений и их устойчивость остаются неизменными. [12]

Рассмотрим сначала построение бифуркационной диаграммы в простом случае, когда мы могли воспользоваться методом

Рис. 5.16. Схематическое изображение процесса построения кривой точек комплексной бифуркации (бифуркации Андронова – Хопфа) на бифуркационной диаграмме; $\mathrm{s}$ – устойчивое стационарное решение, $\mathrm{n}$ – неустойчивое.

отображения параметра. Так, для задачи 1, согласно формуле (5.2.4) из $§ 5.2$, мы имели
\[
\mathrm{Da}=\frac{\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right)+\Lambda \Theta}{\left(B-\Theta-\frac{\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right)}{\Lambda}\right) \exp \frac{\bar{\Theta}}{1+\Theta / \gamma}} .
\]

Далее, в § 5.4 для нахождения точки поворота на зависимости $\Theta(\mathrm{Da})$ из условия $d \mathrm{Da} / d \Theta=0$ мы получили квадратное уравнение относительно $\Theta$ следующего вида:
\[
a\left(\Lambda, \gamma, B, \beta, \Theta_{c}\right) \Theta^{2}+b\left(\Lambda, \gamma, B, \beta, \Theta_{c}\right) \Theta+c\left(\Lambda, \gamma, B, \beta, \Theta_{c}\right)=0 .
\]

Таким образом, для нахождения точки поворота ( $\Theta^{*}, \mathrm{Da}^{*}$ ) мы имеем два уравнения (5.6.2) и (5.6.3). Для построения бифуркационной диаграммы в плоскости параметров $B$-Dа нам нужно было бы теперь продолжить решение ( $\Theta, D \mathrm{D}$ ) уравнений (5.6.2) и (5.6.3) в зависимости от параметра B. Однако здесь

мы можем воспользоваться следующим более простым способом:
a) Выберем значение $\Theta \in\left(\Theta_{c}, B\right)$.
b) Из уравнения (5.6.3) найдем значение параметра $B$ (это уравнение линейно относительно $B$ ).
c) Из уравнения (5.6.2) подсчитаем значение параметра Da.

Рис. 5.17. Бифуркационная диаграмма задачи $1 ; \gamma \rightarrow \infty, \Lambda=0,5, \beta=0,8$, $\Theta_{c}=0$; сплошная линия – кривая точек поворота, штриховая линия – кривая точек бифуркации Андронова – Хопфа. В отдельных областях указано число стационарных решений.

Если мы получим физически разумные значения параметров $B$ и $\mathrm{Da}$ (в данном случае положительные), то найденная пара чисел будет задавать точку на линии кратности (кривой точек поворота) бифуркационной диаграммы (см. рис. 5.17). На рис. 5.18 приведены несколько различных диаграмм решений.

Для нахождения точки комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа) в случае задачи 1 в § 5.5 мы вывели уравнение (5.5.15), которое в общем виде записывается как
\[
B \varphi_{1}\left(\Theta, \Lambda, \beta, \gamma, \Theta_{c}\right)+\varphi_{2}\left(\Theta, \Lambda, \beta, \gamma, \Theta_{c}\right)=0 .
\]

Конкретный вид функций $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ читатель легко может найти из формулы (5.5.15). Это уравнение вновь оказывается линей-

Рис. 5.18. Диаграмма стационарных решений задачи 1 для нескольких значений параметра $B, \gamma \rightarrow \infty, \Lambda=0,5, \beta=0,8, \Theta_{c}=0 ;$ сплошные линии устойчивые решения, штриховые линии – неустойчивые решения.

ным относительно параметра $B$, в связи с чем мы можем применить использованный выше подход и для построения линии нейтральности (кривой точек комплексной бифуркации). Полученная кривая также изображена на бифуркационной диаграмме (рис. 5.17). Читатель может сопоставить кривую точек комплексной бифуркации и точки потери устойчивости на диаграммах решений, представленных на рис. 5.18. Далее, на рис. 5.19 изображены фазовые портреты системы двух дифференциальных уравнений (P1-6), (Р1-7) задачи 1 для нескольких выбранных значений параметров $B$ и $\mathrm{Da}$ с диаграммы бифуркаций. Здесь рассмотрены следующие качественно различные случаи:

a) предельный цикл вокруг одного неустойчивого стационарного состояния;
b) предельный цикл вокруг трех неустойчивых стационарных состояний;
c) три стационарных состояния, одно из которых устойчиво, а также предельный цикл вокруг неустойчивого стационарного состояния;

Рис. 5.19. Фазовые портреты задачи $1, \gamma \rightarrow \infty, \beta=0,8, \Lambda=0,5, \Theta_{c}=0$. a) $B=10, \mathrm{Da}=0,08, b) B=10,6, \mathrm{Da}=0,0653, c) B=12,5, \mathrm{Da}=0,0505$, d) $B=12,6 ; \mathrm{Da}=0,0475, e) \quad B=14, \mathrm{Da}=0,04$; сплошная линия – траектория, штриховая линия – предельный цикл, штрихпунктирная линия – сепаратриса.
d) три стационарных состояния, одно из которых устойчиво;
е) три стащионарных состояния, два из которых устойчивы. Эти примеры были выбраны нами для того, чтобы читатель мог более четко уяснить зависимость между бифуркационной диаграммой, диаграммой решений и динамическим поведением системы (её фазовым портретом).

На рис. 5.20 приведены бифуркационные диаграммы для некоторых задач из гл. 4. При этом бифуркационная диаграмма для модели Лоренца (задача 10, рис. 5.20a) может быть построена аналитически.

Бифуркационная диаграмма для задачи 3 представлена на рис. $5.20 \mathrm{~b}$. Здесь изображены лишь кривые точек поворота, которые ограничивают область трех решений. Отметим, что точка возникновения изол (п. 5.4.3) отвечает «крайней» точке Р на кривой точек поворота. Тот же вывод можно сделать из сравнения бифуркационной диаграммы с геометрической схемой, изображенной на рис. 5.10 .

На рис. 5.20c приведена бифуркационная диаграмма для задачи 2. На ней изображены лишь кривые комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа), причем стационарное решение остается единственным во всей плоскости параметров $\mathrm{Da}_{1}-\mathrm{Da}_{2}$. Выделенные точки на бифуркационной диаграмме соответствуют точкам бифуркации Хопфа, вычисленным в $\$ 5.5$ (см. также табл. 5.13). При этом стационарное решение оказывается устойчивым в областях II и IV и, наоборот, неустойчивым в областях I и III, в которых, как мы увидим в § 5.8, существуют устойчивые периодические решения (предельные циклы).

На рис. $5.20 \mathrm{~d}$ изображена бифуркационная диаграмма для задачи 6. Кривую точек поворота (линию кратности) можно вновь построить с помощью метода отображения параметра, как это сделано для рис. 5.17. Указанная кривая ограничивает область возникновения трех стационарных решений; вне этой области существует одно стационарное решение.

Бифуркационная диаграмма для задачи 4 представлена на рис. $5.20 \mathrm{e}$ в плоскости параметров $\delta-\alpha$. В области, ограниченной кривыми вещественных бифуркаций, существует три решения, вне этой области – одно решение. Қривые комплексной бифуркации указывают нам на ответвление периодических решений и изменение характера устойчивости стационарных решений. В области единственности стационарных решений эти кривые выделяют область существования устойчивых предельных циклов.

На рис. $5.20 f$ изображена бифуркационная диаграмма для задачи 8 в плоскости параметров $B-D_{1}$. Ввиду симметрии системы некоторые кривые являются фактически сдвоенными. поскольку бифуркация возникает одновременно у двух взаимно симметричных решений при тех же самых значениях параметров (сравните с диаграммой решений на рис. 5.6d). Для каждой области на бифуркационной диаграмме указано общее число стационарных решений.

Рис. 5.20. Бифуркационные диаграммы для отдельных задач; сплошная линия – кривая предельных точек, штриховая линия – кривая точек комплексной бифуркации (бифуркации Андронова – Хопфа). Числа в отдельных областях указывают число стационарных решений. a) задача $10, b=4$. b) Задача $3, \mu=8,4 \cdot 10^{-6}, g=2, \varepsilon=6,6667 \cdot 10^{-4}, \varepsilon^{\prime}=1,7778 \cdot 10^{-5}$. Точки P и $\mathrm{Q}-$ см. рис. 5.10 и 5.12. с) Задача 2, $\gamma=1000, B=12, \beta_{1}=\beta_{2}=2, \Theta_{c_{1}}=$ $\left.=\theta_{c_{2}}=0, \Lambda=1 . d\right)$ Задача 6, $c_{\mathrm{s} 0}=5, c_{\mathrm{x} 0}=0,005, S_{\mathrm{xs}}=0,5, K_{\mathrm{s}}^{2}=0,03, \hat{\mu}=$ $=0,5$. е) Задача 4, $\gamma=3, \beta=1,5 . v_{0}=0,01$. f) Задача $8, N=2$, уравнения (P8-2)-(P8-5), $A=2, D_{2}=10 D_{1}$, штрихпунктирная линия – кривая точек бифуркации Андронова – Хопфа на ветви неустойчивых стационарных решений. g) Задача $\gamma=20, \Theta_{c_{1}}=\Theta_{c_{2}}=-5, \Lambda=1, B=10, \beta_{1}=\beta_{2}=0,2$.

Более сложная бифуркационная диаграмма имеет место для задачи 2 (рис. $5.20 \mathrm{~g}$ ). Здесь также в каждой области параметрической плоскости $\mathrm{Da}_{1}-\mathrm{Da}_{2}$ указано общее число стационарных решений.

В случае более сложных задач основная проблема заключается в том, чтобы простроить полную бифуркационную диаграмму, т. е. найти ее кривые точек поворота и точек комплексной бифуркации. Если мы сумеем построить такую диаграмму, то тем самым получим полную информацию о поведении стационарных решений системы в зависимости от двух параметров исходной задачи.