Систему $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{1}=f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
\dot{x}_{2}=f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{x}_{n}=f_{n}\left(x_{1}, \dot{x}_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\end{array}
\]

мы будем записывать также в векторной форме как
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}) \text {. }
\]

Векторное поле в правой части равенства (2.1.2) определено на пространстве $R^{n}$ или на его части. Независимую переменную, которой обычно является время, будем обозначать буквой $t$; кроме того, выше использованы обозначения $\dot{x}_{i}=d x_{i} / d t$, $i=1,2, \ldots, n$. (Эти обозначения будут использоваться и далее.) Решением системы (2.1.1) является совокупность функций
\[
\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots, \varphi_{n}(t),
\]

которые удовлетворяют исходным уравнениям. Для простоты в дальнейшем будем предполагать, что решение определено для всех $t \in \mathrm{R}$ (это условие не всегда выполняется в приводимых ниже примерах.- Peд.) и что функции, стоящие в правых частях уравнений (2.1.1), достаточно гладкие.
Решение (2.1.3) можно записать также в векторной форме
\[
\varphi(t)=\left(\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots, \varphi_{n}(t)\right) .
\]

Уравнения $x_{1}=\varphi_{1}(t), x_{2}=\varphi_{2}(t), \ldots, x_{n}=\varphi_{n}(t), t \in \mathrm{R}$ представляют собой параметрические уравнения кривой в $R^{n}$. Эту кривую мы называем траекторией системы ОДУ; в случае $n=$

$=1,2,3$ траектория дает наглядное представление о поведении соответствующего решения.

Множество всех траекторий системы (2.1.1) образует в $\mathrm{R}^{n}$ фазовый портрет системы. [l] При этом пространство $R^{n}$ мы называем фазовым пространством системы.

С помощью дифференциальных уравнений можно описывать. реальные системы и их изменение во времени. С помощью совокупности ОДУ можно описывать эволюцию во времени такой системы, состояние которой в каждый момент определяется набором из $n$ вещественных чисел, т. е. такой, что ее состояние можно отождествить с некоторой точкой $\mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}$. 1) В этом контексте можно говорить о пространстве $R^{n}$ как о пространстве состояний (множестве всех возможных состояний данной реальной системы). При этом векторное поле в (2.1.2) понимается как «сила», определяющая «направление» эволюции системы.

Решение $\varphi(t)$ системы (2.1.2) определяет собой эволюцию исследуемой системы во времени. Эта эволюция изображается движением фазовой точки по соответствующей траектории.

Состояние системы в момент $t$ зависит не только от указанного момента, но и от исходного состояния системы, т. е. состояния, в котором система находилась в момент времени $t=0$ :
\[
\mathbf{x}_{0}=\varphi(0) .
\]

Соотношение (2.1.5) мы называем начальным условием для решения системы (2.1.2), а решение, которое удовлетворяет этому условию, будем обозначать как
\[
\boldsymbol{\varphi}\left(t, \mathbf{x}_{0}\right) \text { или } \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(t) .
\]

Таким образом, решение (2.1.6) удовлетворяет соотношению $\boldsymbol{\varphi}\left(0, \mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{x}_{0}$ или, соответственно, $\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(0)=\mathbf{x}_{0}$. Функция $\boldsymbol{\varphi}(t, \mathbf{x})$, рассматриваемая как функция двух переменных $t \in \mathrm{R}$ и $\mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}$, называется фазовым потоком системы (2.1.1).

2.1.1. Качественная теория ОДУ

Большинство нелинейных систем дифференциальных уравнений мы «не в состоянии решить», т. е. мы не можем найти общее решение
\[
\varphi(t, \mathbf{x})=\left(\varphi_{1}(t, \mathbf{x}), \varphi_{2}(t, \mathbf{x}), \ldots, \varphi_{n}(t, \mathbf{x})\right),
\]

в котором функции $\varphi_{i}(t, \mathbf{x})$ заданы явными аналитическими выражениями.
1) Предполагается, что поведение системы при $t>t_{*}$ зависит лишь от ее состояния при $t=t_{*}$. Прим. ред.

Станем, однако, на точку зрения «потребителя» математики (физика, химика, биолога и т. п.), который построил данную совокупность ОДУ в качестве математической модели своей реальной системы. Как правило, математическая модель реальной системы не описывает ее точно. Поэтому если бы даже нам было известно решение вида (2.1.7), нет оснований предполагать, что значения $\varphi\left(t, \mathbf{x}_{0}\right)$ (при известном $\mathbf{x}_{0}$ ) будут точно соответствовать измеренным значениям. От математической модели разумно ожидать прежде всего качественного совпадения с поведением реальной системы; в частности, разумно требовать, чтобы обе системы обладали одним и тем же числом состояний равновесия, периодических решений и т. п.

Для этой цели нам достаточно знать фазовый портрет соответствующей математической модели, который находится обычно с помощью численных методов (см. § 5.7) 1).

Приведем теперь несколько типичных примеров фазовых портретов для случаев $n=1$ и $n=2$.
Рассмотрим одно дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x),
\]

где $x \in R$. Фазовое пространство этого уравнения представляет собой прямую. Траекториями уравнения (2.1.8) могут быть:
a) положения равновесия, т. е. одноточечные траектории (состоящие из одной точки);
b) отрезки ${ }^{2}$, концевые точки которых представляют собой положения равновесия;
c) полупрямые, «ограниченные» состоянием равновесия с одной стороны и «точкой» $+\infty$ или $-\infty$ с другой.

Направление прохождения траектории определяется знаком функции $f$ следующим образом:

Если $f(x)>0$, то фазовая точка пробегает траекторию слева направо, если же $f(x)<0$, то справа налево.

Пример 2.1. Фазовые портреты дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=x^{2} \quad \text { п } \quad \dot{x}=x^{3}
\]

изображены на рис. 2.1 и 2.2 вместе с графиками правых частей ${ }^{3}$.

1) Это слишком сильное утверждение (например, всегда интересны периоды периодических решений).-Прим. ред.
2) Точнее, интервалы.
3) Стрелки на всех рисунках показывают направление движения фазовой точки при возрастании $t$. – Прим. ред.

Рис. 2.1. Фазовый портрет уравнения $\dot{x}=x^{2}$.

Рис. 2.2. Фазовый портрет уравнения $\dot{x}=x^{3}$.

Пример 2.2. Фазовый портрет дифференциального уравнения
\[
\dot{x}=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)
\]

представлен на рис. 2.3. Положения равновесия уравнения
Рис. 2.3. Фазовый портрет уравнения (2.1.9).
(2.1.9) суть корни алгебраического уравнения $x^{2}-1=0$, т. е. точки $x^{(1)}=-1, x^{(2)}=+1$.
Рис. 2.4. Фазовый портрет уравнения (2.1.10).
Из рисунка видно, что состояние равновесия $x^{(1)}$ является устойчивым, а состояние равновесия $x^{(2)}$ – неустойчивым.

Рис. 2.5. $\dot{x}_{1}=3 x_{1}+4 x_{2}, \dot{x}_{2}=-3 x_{1}-3 x_{2}$.
Рис. 2.6. $\dot{x}_{1}=x_{1}, \dot{x}_{2}=x_{2}^{2}$.
Puc, 2.7. $\dot{x}_{1}=x_{2}^{2}, \dot{x}_{2}=x_{1}$.

Пример 2.3. Фазовый портрет уравнения
\[
\dot{x}=\sin x
\]

вместе с графиком функции $\sin x$ представлен на рис. 2.4.

Pис. 2.8. $\dot{x}_{1}=x_{1}^{2}, \dot{x}_{2}=x_{2}\left(2 x_{1}-x_{2}\right)$.
Рис. 2.9. $\dot{x}_{1}=-x_{1} x_{2}, \dot{x}_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.
Рис. 2.10. $\dot{x}_{1}=x_{1}\left(1-x_{2}\right), \quad \dot{x}_{2}=-x_{2}\left(2-x_{1}\right)$.
Пример 2.4. На рис. 2.5.-2.10 изображены фазовые портреты различных двумерных (линейных и нелинейных) систем оду.

2.1.2. Структурная устойчивость и бифуркация

Еще одна важная особенность анализа математических моделей реальных систем заключается в следующем. Исследуемый реальный процесс протекает обычно при определенных. внешних условиях, которые в общем случае можно характеризовать определенными значениями параметров системы. Эти параметры входят также и в соответствующую систему дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель. принимает вид
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha})
\]

где $\mathbf{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathrm{R}^{n}$ – вектор переменных состояния (фазовых переменных) и $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right) \in \mathrm{R}^{k}$ – вектор параметров системы.

Параметры системы в ходе процесса изменяются в некотором, обычно очень малом диапазоне, с тем чтобы не вызвать. качественных изменений поведения исследуемой системы. (Здесь. имеются в виду искусственно управляемые процессы.-Ред.) По отношению к этим малым изменениям (возмущениям) система является устойчивой.

Точно так же должна быть устойчивой относительно малых изменений параметров и соответствующая система ОДУ (2.1.11). Поясним теперь более подробно, что мы понимаем под устойчивостью, точнее под структурной устойчивостью дифференциального уравнения.

Если в уравнении (2.1.11) немного изменить параметр $\alpha$, то. немного изменится и векторное поле f. Если это малое изменение правой части не оказывает существенного влияния на фазовый портрет дифференциального уравнения (2.1.11) (новый фазовый портрет качественно не отличается от исходного), то мы говорим, что данное дифференциальное уравнение структурно устойчиво.

Два фазовых портрета мы называем качественно одинаковыми, если существует взаимно однозначное отображение одного фазового портрета (ф.п.) на другой, которое переводит траектории первого фазового портрета в траектории второго фазового портрета при сохранении направления их обхода.

В частности, одноточечным траекториям первого ф.п. соответствуют одноточечные траектории второго ф.п., замкнутым траекториям соответствуют замкнутые траектории, гомоклиническим – гомоклинические и т. д.

Относительно дифференциальных уравнений, которые обладают качественно одинаковыми фазовыми портретами, мы говорим, что они качественно эквивалентны 1).

Обратимся вновь к уравнению (2.1.11). Если изменять параметр $\boldsymbol{\alpha}$ в большом диапазоне, может случиться, что произойдет – качественное изменение соответствующего фазового портрета. Такое качественное изменение мы называем бифуркацией фазового портрета.

Значение параметра $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_{0}$, при котором происходит бифуркация, мы называем бифуркационным значением параметра (иногда также точкой бифуркации).

Замечание 2.1. При бифуркационном значении параметра $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_{0}$ дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathbf{x}}=f\left(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha}_{0}\right)
\]

не является структурно устойчивым.
Пример 2.5. Фазовые портреты дифференциального уравнения
\[
\dot{x}=\alpha x \quad(x, \alpha \in \mathrm{R})
\]

изображены на рис. 2.11. При любом $\alpha
eq 0$ уравнение (2.1.12) имеет одно состояние равновесия $x=0$; при $\alpha<0$ это состояние устойчиво, а при $\alpha>0$ – неустойчиво.
Рис. 2.11. Фазовые портреты уравнения (2.1.12).
При $\alpha=0$ всякая точка $x \in \mathrm{R}$ является состоянием равновесия уравнения $\dot{x}=0$. Значение $\alpha=0$ представляет собой бифуркационное значение параметра для уравнения (2.1.12).

Замечание 2.2. Дифференциальные уравнения типа (2.1.11), правые части которых зависят от $k$ параметров $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}$, мы будем кратко называть $k$-параметрической системой дифференциальных уравнений. В дальнейшем нам чаще всего будут встречаться 1 -параметрические и 2 -параметрические системы.

Пример 2.6. На рис. 2.12 изображена бифуркация фазового портрета 1-параметрической системы двух дифференциальных уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\alpha x_{1}, \\
\dot{x}_{2}=-x_{2} .
\end{array}\right.
\]

При $\alpha<0$ эта система имеет одно состояние равновесия $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0)$, которое представляет собой устойчивый узел. При $\alpha=0$ каждая точка оси $x_{1}$ является состоянием равновесия системы (2.1.13). При $\alpha>0$ система (2.1.13) вновь
Рис. 2.12. Фазовые портреты системы (2.1.13).

имеет одно состояние равновесия $\mathbf{x}=(0,0)$, которое теперь представляет собой седло. При переходе параметра $\alpha$ через нуль происходит бифуркация фазового портрета.

2.1.3. Глобальные и локальные задачи

В случае одномерного или двумерного фазового пространства построение глобального фазового портрета и исследование его бифуркаций, в общем, осуществляется достаточно легко. С увеличением размерности фазового пространства построение глобального фазового портрета, а тем самым и его бифуркаций, становится все более сложной задачей.

Исходя из этого, мы часто исследуем фазовый портрет только в определенной части фазового пространства, например, в окрестности состояния равновесия или вблизи замкнутой

траектории. Такие задачи мы называем локальными – они оказываются гораздо более легкими, нежели глобальные задачи. Главы 5 и 6 посвящены именно локальным задачам.