3.4.1. Нахождение касательных векторов

Пусть в критической точке ( $\mathbf{x}^{*}, \alpha^{*}$ ) множества $S(\mathbf{f})$ пересекаются две дуги этого множества (рис. 3.3a). Наша цель (это потребуется нам в гл. 5) состоит в том, чтобы найти в этой точке касательные векторы к обеим дугам, т. е. определить величины $\left(d x_{i} / d \alpha\right)\left(\alpha^{*}\right), i=1,2, \ldots, n$.
Дифференцируя формулу (3.3.9) по $\alpha$, получаем
\[
\frac{d x_{i}}{d \alpha}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{1}} \frac{d x_{1}}{d \alpha}+\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial \alpha}, \quad i=2,3, \ldots, n .
\]

Значения производных $\left(\partial \varphi_{i} / \partial x_{1}\right)\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right),\left(\partial \varphi_{i} / \partial \alpha\right)\left(x_{1}^{*}, \alpha^{*}\right)$, $i=2, \ldots, n$ можно определить следующим образом. Дифференцируя тождества (3.3.10) по $x_{1}$, находим
\[
\sum_{i=2}^{n} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{1}}=-\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{1}}, \quad j=1,2, \ldots, n-1,
\]

дифференцирование же по $\alpha$ дает
\[
\sum_{i=2}^{n} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial \Phi_{i}}{\partial \alpha}=-\frac{\partial f_{i}}{\partial \alpha}, \quad j=1,2, \ldots, n-1 .
\]

Положим в равенствах (3.4.2) и (3.4.3) $\mathbf{x}=\mathrm{x}^{*}$ и $\alpha=\alpha^{*}$. Мы получим две системы линейных алгебраических уравнений для нахождения искомых величин $\left(\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{1}}\right.$ и $\left.\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial \alpha}\right)$, имеющие одну и ту же матрицу коэффициентов $\mathbf{J}_{1}$. По предположению (см. (3.3.8)) матрица $\mathbf{J}_{1}$ невырожденна и, следовательно, эти системы однозначно разрешимы.

3.4.2. Устойчивость на диаграмме стационарных решений

На диаграмме стационарных решений обычно указывается и характер устойчивости этих решений, при этом сплошной линией мы изображаем ветви устойчивых стационарных решений, а пунктирной линией ветви неустойчивых стационарных решений. Изменение характера устойчивости происходит обыкновенно в точках поворота и в точках ветвления. Изменение характера устойчивости может произойти и в обыкновенной (регулярной) точке диаграммы стационарных решений, например

Рис. 3.4. Диаграмма стационарных решений.
в точке, отвечающей бифуркации Андронова-Хопфа. При этом на диаграмме стационарных решений мы символически обозначаем малыми кружками отделившиеся периодические решения (рис. 3.4). Черными кружками обозначаются устойчивые периодические решения, а белыми (незаштрихованными) кружками неустойчивые.

3.4.3. Диаграмма периодических решений

Диаграмма периодических решений строится аналогично диаграмме стационарных решений: на двумерной картинке отображается зависимость той или иной характеристики периодического решения от параметра. Обычно в качестве такой характеристики мы выбираем период или амплитуду периодического решения. Устойчивые и неустойчивые периодические решения на этих диаграммах мы обозначаем соответственно сплошными и пунктирными линиями.

Изменение характера устойчивости происходит обычно в точках поворота и в точках, где пересекаются две дуги диаграммы. Точки поворота на диаграмме периодических решений соответствуют бифуркациям, при которых с изменением параметра происходит слияние и исчезновение (или соответственно возникновение) пары периодических решений. Точке пересечения двух дуг соответствует обыкновенно бифуркация периодического решения с потерей симметрии. Изменение характера устойчивости происходит и в обыкновенных (регулярных) точках диаграммы периодических решений, а именно в точках, соответствующих бифуркации удвоения периода или бифуркации рождения инва-

Рис. 3.5. Диаграмма периодических решений: а) удвоение периода; b) рождение инвариантного тора.

риантного тора. Ветвь периодических решений с двойным периодом на диаграмме периодических решений обозначается способом, указанным на рис. 3.5a. Ответвление семейства инвариантных торов изображено графически на рис. $3.5 b$.