В гл. 6 будут описаны численные методы, используемые для нахождения точек бифуркации стационарных решений дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) параболического типа и, в частности, уравнений типа «реакция диффузия».

Последующее изложение призвано облегчить понимание этих бифуркационных явлений. Мы покажем, как можно пере нести некоторые методы теории ОДУ на уравнения с частными производными параболического типа. Ради простоты мы огра-

ничимся рассмотрением одного уравнения вида
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}+f(u),
\]

где $u=u(z, t)$ есть функция времени $t$ и одной пространственной переменной $z$.

Рассмотрим, в частности, трубчатый (цилиндрический) реактор, учитывая из его размеров только длину (т. е. пренебрегая зависимостью всех величин от радиальной координаты $r$ и угловой $\theta$. – Ред.). Если уравнение (2.6.1) описывает процессы в таком реакторе, то функцию $u(z, t)$ можно интерпретировать как концентрацию некого вещества в момент $t$ в сечении с координатой $z$ (рис. 2.38).
Рис. 2.38. Профили концентрации.
Пусть общая длина реактора равна $L$. Тогда при фиксированном $t$ функция $u(z, t)$ представляет собой функцию переменной $z$, определенную на промежутке $[0, L]$. График этой функции мы называем профилем концентрации в момент $t$. Изменение профилей концентрации в зависимости от времени описывает временну́ю эволюцию данной системы.

Обычно для уравнения (2.6.1) задаются граничные и начальные условия. Начальное условие имеет вид
\[
u(z, 0)=\varphi(z), \quad z \in[0, L] ;
\]

оно задает распределение концентрации в момент времени $t=0$. Граничные условия для уравнения (2.6.1) будут рассмотрены в следующем пункте.

2.6.1. Фазовое пространство уравнения (2.6.1)

В первых пяти параграфах этой главы мы рассматривали системы, состояние которых в данный момент времени $t$ можно описать с помощью набора $n$ чисел $\mathbf{x}(t)=\left(x_{1}(t), \ldots\right.$

$\left.\ldots, x_{n}(t)\right)$. Фазовым пространством такой системы является пространство $\mathrm{R}^{n}$ или его часть, а эволюцию системы во времени можно описать движением фазовой точки по соответствующей траектории.

В случае упомянутого выше трубчатого реактора состояние системы в момент времени $t$ описывается функцией, заданной на промежутке $[0, L]$.

Следовательно, фазовым пространством уравнения (2.6.1) является пространство функций, определенных на промежутке $[0, L]$, или его часть. «Точки» этого фазового пространства суть функции.

Функцию $u(z, t)$ двух переменных $z, t$ можно рассматривать как отображение, которое каждому $t \geqslant 0$ ставит в соответствие функцию $u^{t}(\cdot)=u(\cdot, t)$ переменной $z$. Тем самым мы получаем некоторую кривую в подходящем образом выбранном пространстве функций. Эту кривую можно назвать траекторией уравнения (2.6.1). Введенное выше пространство функций в дальнейшем мы будем обозначать символом E. При этом правую часть уравнения (2.6.1) можно рассматривать как оператор на пространстве $\mathbf{E}$, т. е. отображение $\mathbf{F}: \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{E}$.

Пример. Положим в уравнении (2.6.1) $f(u)=u\left(1-u^{2}\right)$, $D=1$. Тогда правая часть (2.6.1) ставит в соответствие, например, функции $u(z)=\sin \pi z$ функцию
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}(u(z)) & =(\sin \pi z)^{\prime \prime}+\sin \pi z\left(1-\sin ^{2} \pi z\right)= \\
& =-\pi^{2} \sin \pi z+\sin \pi z \cdot \cos ^{2} \pi z .
\end{aligned}
\]

Если рассматривать функцию $u(z, t)$ как кривую в пространстве E, т. е. как отображение $t \rightarrow u^{t}\left(u^{t}(z)=u(z, t)\right)$, то частную производную $\frac{\partial u}{\partial t}(z, t)$ можно представить следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial t}(z, t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{u(z, t+h)-u(z, t)}{h} & = \\
& =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{u^{t+h}(z)-u^{t}(z)}{h}=\frac{d u^{t}(z)}{d t},
\end{aligned}
\]
т. е. как вектор, касательный к кривой $t \rightarrow u^{t}$.

Уравнение с частными производными (2.6.2) можно теперь записать в виде обыкновенного дифференциального уравнения
\[
\frac{d u^{t}}{d t}=\mathbf{F}\left(u^{t}\right)
\]

фазовым пространством которого является бесконечномерное функциональное пространство $E$.

Для уравнения (2.6.3) (а тем самым и для уравнения (2.6.1)) можно использовать большинство результатов, представленных в $\$ \$ 2.1-2.5$.

Если к уравнению (2.6.1) добавлены граничные условия, например условия вида
\[
u(0, t)=u(L, t)=0
\]

для любых $t \geqslant 0$, то вместо пространства $E$ мы должны взять подпространство
\[
\mathrm{D}_{0}^{L}=\{u \in \mathrm{E}, \quad u(0)=u(L)=0\} .
\]

Это подпространство будет фазовым пространством уравнения (2.6.3), т. е. уравнения (2.6.1) при условиях (2.6.4).

2.6.2. Устойчивость стационарного решения

Если решение $u=u(z, t)$ уравнения (2.6.1) не зависит от времени, то мы называем его стационарным решением. Профили концентрации стационарного решения не зависят от времени.

Стационарному решению $u_{0}(z)$ уравнения (2.6.1) отвечает состояние равновесия уравнения (2.6.3): для него выполняется условие
\[
\mathbf{F}\left(u_{0}\right)=0 .
\]

Соотношение (2.6.5) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение $D u_{0}^{\prime \prime}+f\left(u_{0}\right)=0$.
Пример 2.10. Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}
\]

с граничными условиями вида
\[
u(0, t)=u(\pi, t)=0 .
\]

Стационарными решениями уравнения (2.6.6) являются решения обыкновенного дифференциального уравнения
\[
u^{\prime \prime}(z)=0,
\]
т. е. функции вида $u(z)=a z+b$, где $a, b$ суть произвольные постоянные. Из этих функций мы должны выбрать те, которые удовлетворяют граничным условиям (2.6.7), т. е. условиям $u(0)=u(\pi)=0$. Отсюда $a=b=0$ : единственным стационарным решением уравнения (2.6.6), которое удовлетворяет условиям (2.6.7), является функция $u(z) \equiv 0$.
5 М. Холодниок в др.

Обратимся теперь к вопросу устойчивости стационарных решений дифференциальных уравнений в частных производных. В абстрактной записи (2.6.3) речь идет об устойчивости положений равновесия уравнения (2.6.3). Это означает, что стационарное решение $u_{0}(z)$ уравнения (2.6.1) является устойчивым лишь в том случае, если для всякого решения $u(z, t)$ уравнения (2.6.1) с начальным условием $u(z, 0)=\varphi(z)$, где функция $\varphi(z)$ достаточно близка к функции $u_{0}(z)$ в пространстве $D_{0}^{L}$, оказывается выполненным соотношение
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} u(z, t)=u_{0}(z)
\]

для любых $z \in[0, L]^{1)}$.
Иными словами, профили концентрации решения $u(z, t)$ «сходятся» при $t \rightarrow+\infty$ к графику стационарного решения $u_{0}(z)$. Устойчивость положений равновесия уравнения (2.6.3) можно определять так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, мы находим собственные числа линеаризованного уравнения, и если эти собственные числа располагаются слева от мнимой оси, то соответствующее состояние равновесия устойчиво. Этот подход продемонстрируем на примере.

Пример 2.10 (продолжение). Оператор $\mathbf{F}(u)=d^{2} u / d z^{2}$ в правой части уравнения (2.6.6) является линейным и можно непосредственно найти его собственные числа. Напомним, что число $\lambda \in \mathrm{C}$ является собственным числом линейного оператора $\mathbf{F}$, если существует не равная нулю функция $u \in \mathrm{D}_{0}^{\pi}$, для которой выполняется соотношение $\mathbf{F}(u)=\lambda u$, т. е. функция $u(z)$ представляет собой решение обыкновенного дифференциального уравнения
\[
u^{\prime \prime}-\lambda u=0
\]

с граничными условиями вида
\[
u(0)=u(\pi)=0 .
\]

Оператор $\mathbf{F}$ имеет в данном случае только вещественные собственные числа. При $\lambda \geqslant 0$ решение уравнения (2.6.10) записывается в виде
\[
u(z)=c_{1} e^{\sqrt{\bar{\lambda}} z}+c_{2} e^{-\sqrt{\lambda} z}, \quad c_{1}, \quad c_{2} \in \mathrm{R} .
\]

Поскольку должны выполняться условия $u(0)=u(\pi)=0$, то $c_{1}=c_{2}=0$ и, следовательно, функция тождественно равна нулю. Таким образом, оператор $\mathbf{F}(u)=d^{2} u / d z^{2}$ на пространстве $\mathrm{D}_{0}^{\mathfrak{\pi}}$ не имеет неотрицательных собственных чисел.
При $\lambda<0$ решением уравнения (2.6.10) является функция $u(z)=c_{1} \cos \sqrt{|\lambda|} z+c_{2} \sin \sqrt{|\lambda|} z$.

Из условий $u(0)=u(\pi)=0$ следует, что $\sqrt{\mid \overline{\lambda \mid}}=k$, т. е. что значения
\[
\lambda_{k}=-k^{2}, \quad k=1,2, \ldots
\]

суть собственные числа нашего оператора.
Итак, все собственные числа располагаются слева от мнимой оси, и, следовательно, стационарное решение $u(z) \equiv 0$ уравнения (2.6.6) устойчиво.

2.6.3. Периодические решения уравнения (2.6.1). Бифуркация Андронова – Хопфа для уравнений
с частными производными

Решение $u(z, t)$ уравнения с частными производными (2.6.1), удовлетворяющее условию
\[
u(z, t+T)=u(z, t)
\]

при любом $t \geqslant 0$ и $z \in[0, L]$, мы называем периодическим; число $T>0$ есть период этого решения. Периодическому решению уравнения (2.6.1) отвечает замкнутая траектория уравнения (2.6.3) в фазовом пространстве $\mathrm{D}_{0}^{L}$ (см. п. 2.6.1).

Положения равновесия уравнения (2.6.3) могут претерпевать бифуркации точно так же, как и положения равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, в случае бифуркации Андронова-Хопфа от положения равновесия уравнения (2.6.3) ответвляется замкнутая траектория; это означает, что от стационарного решения уравнения (2.6.1) ответвляется периодическое решение этого уравнения. Условия возникновения бифуркации Андронова – Хопфа для уравнений с частными производными аналогичны соответствующим условиям для ОДУ (см. § 2.3).

Рассмотрим однопараметрическое уравнение типа (2.6.3), которое мы запишем в виде
\[
\frac{d u^{t}}{d t}=\mathbf{F}\left(u^{t}, \alpha\right) .
\]

Если взаимно сопряженные комплексные собственные числа оператора ${ }^{1)} \mathbf{A}=d \mathbf{F}\left(u_{0}, \alpha\right)$ пересекают мнимую ось в точках $\pm i \omega$, то в этом случае от стационарного решения $u_{0}$ соответствующего уравнения с частными производными ответвляется периодическое решение, причем период этого решения асимптотически (при приближении $\alpha$ к критическому значению $\alpha^{*}$ ) равен $T=2 \pi / \omega$.

2.6.4. Волновые решения уравнений
с частными производными

Попытаемся выяснить принципиальные особенности волновых решений на том же примере одного дифференциального уравнения
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}+f(u)
\]

без граничных условий (рассматривая его при $t \geqslant 0$ и $z \in$ $\in(-\infty,+\infty))$.
Решение $u(z, t)$ будем искать в виде
\[
u(z, t)=\varphi(z-c t)=\varphi(\xi) .
\]

Подставляя выражение (2.6.13) в уравнение (2.6.12), мы получаем для $\varphi(\xi)$ обыкновенное дифференциальное уравнение 2 -го порядка
\[
-c \varphi^{\prime}=D \varphi^{\prime \prime}+f(\varphi), \quad ‘=\frac{d}{d \xi} .
\]

Перепишем уравнение (2.6.14) в виде системы двух уравнений, положив $x_{1}=\varphi, x_{2}=\varphi^{\prime}$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=x_{2}, \\
x_{2}^{\prime}=-\frac{c}{D} x_{2}-f\left(x_{1}\right) .
\end{array}\right.
\]

Фазовым пространством системы (2.6.15) является плоскость $x_{1}, x_{2}$.

A) Волновое решение типа импульса

Предположим, что система (2.6.15) при некотором значении параметра $c$ обладает гомоклинической траекторией, «выходящей» из точки $(0,0)$ (рис. 2.39) ${ }^{1)}$.
Рис. 2.39. Гомоклиническая траектория системы (2.6.15).
Решение $\mathbf{x}(\xi)=\left(x_{1}(\xi), x_{2}(\xi)\right)$, соответствующее этой траектории, удовлетворяет условию
\[
\lim _{\xi \rightarrow \pm \infty} \mathbf{x}(\xi)=0 .
\]

График функции $x_{1}(\xi)=\varphi(\xi)$ представлен на рис. 2.40. График функции $u(z, t)=\varphi(\xi)=\varphi(z-c t)$ как функции переменной $z$
Рис. 2.40. Решение $x_{1}(\xi)$, соответствующее гомоклинической траектории.

перемещается со скоростью $c$ вдоль оси $z$, причем при $c>0$ он движется вправо, а при $c<0$ влево (рис. 2.41). Решение уравнения с частными производными (2.6.12) с таким поведением называется волновым решением типа импульса, или бегущей волной типа импульса.

В) Волновое решение типа фронта

Если система (2.6.15) при некотором $c$ обладает гетероклинической траекторией (рис. 2.42), выходящей из состояния рав-

Рис. 2.41. Волновое решение типа импульса.
Рис. 2.42. Гетероклиническая траектория системы (2.6.15).

Рис. 2.43. Решение $x_{1}(\xi)$, соответствующее гетероклинической траектории_-
новесия $\mathbf{x}^{(0)}=(b, 0)$ и заканчивающейся в состоянии равновесия $\mathbf{x}^{(1)}=(a, 0)$, то решение $\mathbf{x}(\xi)=\left(x_{1}(\xi), x_{2}(\xi)\right)$, отвечающее: этой траектории, удовлетворяет соотношениям
\[
\lim _{\xi \rightarrow-\infty} \mathbf{x}(\xi)=\mathbf{x}^{(0)}, \quad \lim _{\xi \rightarrow+\infty} \mathbf{x}(\xi)=\mathbf{x}^{(1)} .
\]

Таким образом, для функции $x_{1}=\varphi(\xi)$ будут выполняться сле-дующие условия:
\[
\lim _{\xi \rightarrow-\infty} \varphi(\xi)=b, \lim _{\xi \rightarrow+\infty} \varphi(\xi)=a .
\]

График функции $x_{1}=\varphi(\xi)$ имеет вид, изображенный на рис. 2.43. Положив $u=\varphi(z-c t)$, мы получаем бегущую волну «типа фронта», перемещающуюся вдоль оси $z$ со скоростью $c^{11}$.