Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В этом параграфе мы рассмотрим итерационные методы для нахождения точек ветвления стационарных решений распределенных систем. В п. 6.3.1 мы будем находить так называемые точки первичной бифуркации. Пункт 6.3.2 посвящен более сложным (вторичным) бифуркациям. 6.3.1. Первичные бифуркации Некоторые задачи обладают так называемыми тривиальными решениями, не зависящими от части параметров. K ним, в частности, относятся системы типа «реакция — диффузия», описанные в гл. 4. Тривиальное стационарное решение для такой двухкомпонентной системы (4.3.5), (4.3.6) однородно по пространству, т. е. имеет вид Оно не зависит от величины параметра Значения В этом пункте мы рассмотрим бифуркации тривиальных решений, нарушающие пространственную однородность и связан- ные с изменением параметра Устойчивость тривиального решения (6.3.1) определяется собственными числами при соответствующих (однородных) граничных условиях (типа ГУ2 или ГУ1). Здесь Тривиальное решение ( Обсудим теперь устойчивость тривиального решения в зависимости от величины параметра лежат в левой (комплексной) полуплоскости, тривиальное решение будет устойчивым в случае ГУ 2 при С ростом ной или комплексной бифуркации (бифуркации Андронова Хопфа) может появиться новое решение (нелинейной) задачи. Значение параметра В рассматриваемом случае (тривиального стационарного решения) оператор Подставив эти выражения в равенство которая имеет один и тот же вид для ГУ1 и ГУ2;2) вектор где Для того, чтобы Для точки первичной комплексной бифуркации должно выполняться условие Значение Мы можем получить два, одно или ни одного значения если для обеих групп бифуркационных длин (определяемых индексами 1 и 2 в выражении (6.3.13)). Величину Рис. 6.10. Бифуркационная диаграмма первичных бифуркаций; а) общая схема, ментарной бифуркационной длиной; остальные бифуркационные длины оказываются кратными элементарным бифуркационным длинам. Для значения Формула (6.3.14) остается справедливой и в этом случае, т. е. Условия существования бифуркационных длин в зависимости от величины отношения Рассмотрим теперь две группы методов нахождения точек вторичных вещественных бифуркаций. (Эти методы, разумеется, пригодны и для нахождения точек первичной бифуркации, однако для этого случая выше описан более простой подход.) Первую группу составляют разностные методы, тогда как методы второй группы основываются на методе стрельбы. 6.3.2.1. Разностные методы Рассмотрим для простоты краевую задачу (6.2.1), (6.2.2). Необходимым условием существования вещественной бифуркации является требование, чтобы линеаризованное уравнение с граничными условиями имело ненулевое решение. Если такое решение в случае, когда Другую возможность применения разностных методов можно продемонстрировать при нахождении точек поворота в задаче Продифференцировав уравнения (Р17-16)-(P17-18) по переменной В точке поворота (по параметру Таким образом мы получаем систему шести дифференциальных уравнений (P17-16), (P17-17), (P17-18), (6.3.21a), (6.3.21b), (6.3.21c) (имеющую суммарно десятый порядок) и двенадцать граничных условий (Р17-19), (P17-20), (6.3.21d), (6.3.22). На первый взгляд задача переопределена; на самом деле это не так, поскольку кроме Для решения указанной нелинейной краевой задачи использовались стандартные разностные замены на сетке с узлами а уравнению (6.3.21c) — соотношения вида Если ввести вектор неизвестных величин и подходящим образом упорядочить разностные уравнения, то мы получим систему с матрицей размещения, близкой к 15-диагональной. Для решения системы (6.3.24) можно снова воспользоваться методом Ньютона, а для решения систем линейных уравнений на каждой итерации использовать специальные алгоритмы для структурированных матриц. Размерность решаемых задач оказывается достаточно большой. На рис. 6.11 приведена бифуркационная диаграмма в плоскости параметров Опишем кратко этот метод на примере системы «реакция диффузия» (6.1.1), (6.1.2) с граничными условиями типа 2 , т. е. с условиями (6.1.4). Выбирая то, в соответствии с п. 5.4.1, необходимым условием вещественной бифуркации будет выполнение соотношения Преимуществом метода стрельбы является то обстоятельство, что бифуркационное условие (6.3.26) записывается в пространстве меньшей размерности. Используя теперь формулу (6.1.29), перепишем (6.3.26) в виде можно воспользоваться, например, методом Ньютона. Матрица Якоби для метода Ньютона вычисляется следующим образом. Из соотношений (6.1.29), (6.2.37) найдем значения производных Дифференцируя уравнения в вариациях (6.1.27) по Рис. 6.12. Бифуркационная диаграмма для задачи Для нахождения точки ветвления (см. п. 5.4.1) потребуем, помимо выполнения соотношений (6.2.32), (6.3.27), чтобы было выполнено также уравнение где матрица (6.2.32), (6.3.27), (6.3.28), так же как в п. 5.4.1, используется метод Гаусса — Ньютона. Приложение указанного подхода к задаче 11 читатель может найти в работе [5.10]. Продемонстрируем использование этого метода для нахождения точек поворота в задаче 14 в случае, когда параметром является число Da. Таким образом, нас будет интересовать нахождение Результаты, полученные при решении этих 3 уравнений методом Ньютона (с использованием уравнений второго порядка в вариациях), приведены в табл. 6.10. Читатель может сравнить координаты полученных точек поворота с данными рис. 6.8. Если продолжить теперь полученные координаты точек поворота в зависимости от какого-либо другого параметра задачи, то мы получим соответствующую бифуркационную диаграмму. Пример такого продолжения по параметру представлен на рис. 6.12 в плоскости параметров 6.3.3. Нахождение точек комплексной бифуркации (бифуркации Андронова — Хопфа) Таблица 6.10. Метод Ньютона для определения точек поворота в задаче 14 метод имитации динамического поведения для последовательности значений исследуемого параметра. Начальные условия при этом выбираются в достаточно малой окрестности стационарногорешения. При таком подходе можно обнаружить потерю устойчивости стационарного решения в процессе продолжения этогорешения по параметру. Ясно, что указанным способом можно находить только те точки комплексной бифуркации, в которых. (при продвижении вдоль ветви стационарных решений) стационарное решение теряет устойчивость. альных уравнений, методы анализа которых рассматривались в гл. 5. Рассмотрим, к примеру, систему типа «реакция — диффузия» (4.3.7) с граничными условиями типа 1 (см. (4.3.9)). Выберем равномерную сетку узловых точек ( Апроксимируем теперь производные по координате Граничные условия (4.3.9) дают Таким образом, мы имеем систему 6.3.3.2. Прямой итерационный метод Третьим подходом к определению точек комплексной бифуркации, который мы здесь рассмотрим, является прямой итерационный метод. Этот метод (при подходящей его реали- зации) позволяет находить точку комплексной бифуркации гораздо точнее. Результаты, полученные с помощью первых двух подходов, удобно использовать в качестве начального приближения для прямого итерационного метода. Обратимся вновь к системе (4.3.7) с граничными условиями типа 1, т. е. условиями В точке комплексной бифуркации оператор Положим или, более подробно, Граничные условия для функций Собственная функция ными примерами такого выбора могут служить условия или Читатель сам может предложить другие комбинации. Разностный подход. Заменим вторые производные простейшими трехточечными центрально-разностными соотношениями. В результате вместо уравнений (6.1.1), (6.1.2) и (6.3.34) мы получим следующую систему (ср. с (6.3.31)): где Тем самым мы получим систему В качестве двух недостающих условий можно, например, взять соотношения (6.3.37a). Полученную в результате систему В п. 6.3.3.1 мы рассмотрели аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода прямых. Точку комплексной бифуркации для этой аппроксимирующей системы (6.3.31) можно найти с помощью одного из методов, описанных в параграфе 5.5. При этом, если воспользоваться для решения указанной системы прямым итерационным методом в его несокращенной версии, которая была описана в п. 5.5.3, то нетрудно показать, что получающаяся нелинейная (алгебраическая) система имеет тот же самый вид, что и система (6.3.38), если подходящим образом выбрать для нее граничные условия Метод стрельбы. Этот подход мы продемонстрируем на примере задачи 14, т. е. уравнений (Р14-7), (Р14-8) с граничными условиями (P14-9), (P14-10). Правые части этих уравнений отличаются от правых частей уравнений (4.3.7) членами с первой производной; кроме того, имеются различия и в граничных условиях (представляющих собой комбинацию граничных условий 1 -го и 2 -го рода). В качестве бифуркационного параметра выберем параметр Обозначим Граничные условия при этом имеют вид Уравнения (6.3.33) для этого случая (в компонентах Граничные условия для функций Для решения системы шести дифференциальных уравнений второго порядка (6.3.39), (6.3.41) воспользуемся методом стрельбы. Недостающие начальные условия выберем в точке Вместе с условиями (6.3.40b) и (6.3.42b) мы получаем 12 начальных условий, необходимых для интегрирования уравнений (6.3.39) и (6.3.41). Поскольку собственная функция определена с точностью до ненулевого комплексного множителя, для функций Таблица 6.11. Пример сходимости метода Ньютона к точке комплексной бифуркации для задачи
|
1 |
Оглавление
|