Анализ стационарных решений (состояний равновесия) однопараметрических семейств дифференциальных уравнений приводит к необходимости исследования множества решений следующей системы:
\[
\begin{array}{c}
f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \boldsymbol{\alpha}\right)=0, \\
f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \boldsymbol{\alpha}\right)=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \boldsymbol{\alpha}\right)=0 .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы будем предполагать, что функции $f_{i}\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, \alpha\right), i=1,2, \ldots, n$, достаточно гладкие, $\alpha$ — вещественный параметр, а $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — неизвестные. Систему (3.1.1) можно кратко записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)=0, \\
\mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}, \quad \alpha \subseteq \mathrm{R}^{1} .
\end{array}
\]

Множество всех решений системы (3.1.1) обозначим $S$ (f):
\[
\mathrm{S}(\mathbf{f})=\left\{(\mathbf{x}, \alpha) \in \mathrm{R}^{n} \times \mathrm{R}^{1}, \quad \mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha)=0\right\} .
\]

Множество S(f) обычно представляет собой объединение нескольких кривых в $\mathrm{R}^{n+1}$, хотя может включать в себя и отдельные изолированные точки (рис. 3.1).

При $n>1$ множество $\mathbf{S}$ (f) удобно изображать на двумерной плоскости. Такое двумерное представление множества $\mathbf{S}(\mathbf{f})$ мы будем называть диаграммой стационарных решений. При этом мы обыкновенно проектируем множество $\mathbf{S}(\mathbf{f}$ ) на выбранную
Рис. 3.1. Множество S (f).

плоскость $x_{i}-\alpha$. При проектировании может оказаться, что на двумерной картинке имеет место пересечение кривых, хотя нат самом деле в $\mathrm{R}^{n+1}$ эти кривые не пересекаются.

Точки фактического и кажущегося пересечения кривых из: $\mathbf{S}$ (f) на диаграмме решений мы можем различать способом, показанным на рис. $3.2 a, b$. В дальнейшем последовательных различий между множеством $\mathbf{S}(\mathbf{f})$ и диаграммой стационарных решений проводиться не будет; из контекста всегда будет ясно, какой из этих объектов имеется в виду.

Дадим теперь формальную классификацию точек множества $\mathbf{S}(\mathbf{f})$, начав со случая $n=1$. В этом случае множество реше-ний $S(f)$ можно изобразить на плоскости $x-\alpha$ (рис. 3.1).
1. Предположим, что $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right) \in \mathbf{S}(f)$ и пусть
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, a_{0}\right)
eq 0 .
\]

Тогда согласно теореме о неявных функциях существуют $\varepsilon>0$ и единственная функция $g(\alpha) \quad\left(g\left(\alpha_{0}\right)=x_{0}\right)$, такая что $f(g(\alpha), \alpha)=0$ для всех $\alpha \in\left(\alpha_{0}-\varepsilon, \alpha_{0}+\varepsilon\right)$. При этом множество $\mathbf{S}(f)$ в окрестности точки ( $x_{0}, \alpha_{0}$ ) задается графиком функции $g$.

Точку $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right) \in \mathrm{S}(f)$, для которой выполнено условие (3.1.4), мы называем регулярной точкой. Как видно из рисунка, «большинство» точек кривой принадлежат именно к этому типу.
Рис. 3.2. Точки пересечения на диаграмме решений.
2. Пусть теперь в точке $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right) \in \mathrm{S}(f)$
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, \alpha_{0}\right)=0 \text {. }
\]

В данном случае мы не можем воспользоваться теоремой о неявных функциях. Однако если
\[
\frac{\partial f}{\partial \alpha}\left(x_{0}, \alpha_{0}\right)
eq 0,
\]

то, поменяв $x$ и $\alpha$ местами, можно построить в окрестности точки ( $x_{0}, \alpha_{0}$ ) функциональную зависимость $\alpha=\alpha(x), \quad \alpha_{0}=$ $:=\alpha_{0}\left(x_{0}\right)$. Из соотношения (3.1.5) следует, что $\alpha^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$. На рис. 3.1 такой точкой является точка В.

Точку $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right) \in \mathrm{S}(f)$, в которой одновременно выполняются условия (3.1.5) и (3.1.6), а производная $d \alpha / d x$ меняет знак ${ }^{1}$, мы называем (простой) точкой поворота. ${ }^{[8]}$

При переходе $\alpha$ через значение $\alpha_{0}$ происходит бифуркация: появляется или исчезает пара решений. Значение $\alpha_{0}$ мы называем бифуркационным значением параметра.
3. Если в точке $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right) \in \mathrm{S}(f)$
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, \alpha_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial \alpha}\left(x_{0}, \alpha_{0}\right)=0,
\]

то точка $\left(x_{0}, \alpha_{0}\right)$ называется сингулярной точкой множества $S(f)$. Обозначим через $\sigma(f)$ множество всех точек поворота и

сингулярных точек множества $S(f)$. Точки множества $\sigma(f)$ мы называем критическими точками $S(f)$. Критические точки разбивают множество $S(f)$ на ветви стационарных решений ${ }^{11}$. Каждая ветвь состоит из регулярных точек и определяет однозначную зависимость $x(\alpha)$.

Во всякой точке поворота заканчиваются две ветви решения.. В особой точке могут оканчиваться несколько ветвей (в точке С. на рис. 3.1 — четыре).

Замечание. Множество S (f) в общем случае состоит из не-скольких «кусков»-компонент связности (на рис. 3.1 их три).-

Может случиться, что какая-либо компонента $\mathscr{P}$ представляет собой замкнутую кривую, не имеющую самопересечений. Такую компоненту множества $S(f)$ мы будем называть изолой. Изола состоит из двух (или более) ветвей, разделенных точками поворота.