Поведение траекторий в окрестности состояния равновесия для уравнения
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}
\]

мы описываем с помощью собственных чисел матрицы линеаризации. Для описания поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории служат ее мультипликаторы. Для исследования поведения траекторий в окрестности произвольной

траектории удобно использовать показатели Ляпунова, которые представляют собой аналоги мультипликаторов периодических траекторий.

2.5.1. Основные свойства показателей Ляпунова

Пусть $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ – траектория уравнения (2.5.1), соответствующая решению $\mathbf{p}(t)=\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$. Асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$, определяется поведением фундаментальной матрицы $\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$ уравнения в вариациях для решения $\mathbf{p}(t)$. Показатели Ляпунова являются инструментом, служащим для описания асимптотического поведения матрицы $\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$.

Рис. 2.35. Деформация параллелепипеда $P^{k}$ при движении вдоль траектории.
Рассмотрим $n$ линейно независимых векторов $\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \ldots, \mathbf{b}_{n}$, выходящих из точки $\mathbf{x}_{0}$. Выберем из них $k$ векторов $(1 \leqslant$ $\leqslant k \leqslant n)$, которые обозначим как $\mathbf{e}_{1}=\mathbf{b}_{i_{1}}, \mathbf{e}_{2}=\mathbf{b}_{i_{2}}, \ldots, \mathbf{e}_{k} \equiv$ $=\mathbf{b}_{i_{k}}$. Векторы $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{k}$ задают в фазовом пространстве $\mathbf{R}^{n}$ некоторый $k$-мерный параллелепипед $P^{k}$ (см. рис. 2.35, где $k=3$ ) и определяют натянутое на них $k$-мерное подпространство $\mathbf{e}^{(k)}$.

Фазовый поток перемещает точку $\mathbf{x}_{0}$ за время $t$ в точку $\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$;ри этом векторы $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \ldots, \mathbf{e}_{k}$ отображаются на векторы $\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{U}_{\mathbf{x}_{n}}(t) \mathbf{e}_{k}{ }^{1)}$, которые в свою очередь образуют параллелепипед $\varphi^{t}\left(P^{k}\right)$. Нас будет интересовать изменение объема параллелепипеда $P^{k}$, точнее, отношение объемов $\varphi^{t}\left(P^{k}\right)$ и $P^{k}$. Обозначим объем параллелепипеда $P^{k}$ через $\left\|\mathbf{e}_{1} \wedge \mathbf{e}_{2} \wedge \ldots \wedge \mathbf{e}_{k}\right\|$. Этот объем вычисляется следующим образом.
1) Здесь введено (стандартное) определение того, как действует (при каждом $t$ ) преобразование $\varphi^{t}$ сдвига по траекториям $\mathbf{x} \rightarrow \varphi_{\mathbf{x}}(t)$ на векторы, «прикрепленные» в точке $\mathbf{x}_{0}$. – Прим. ред.

Обозначим через ( $\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}$ ) скалярное произведение векторов $\mathbf{e}_{i}$ и $\mathbf{e}_{j}, i, j=1,2, \ldots, k$. Тогда
\[
\left\|\mathbf{e}_{1} \wedge \ldots \wedge \mathbf{e}_{k}\right\|=[\operatorname{det} \mathbf{A}]^{1 / 2},
\]

где матрица $\mathbf{A}=\left(a_{i j}\right), a_{i j}=\left(\mathbf{e}_{i}, \mathrm{e}_{j}\right), i, j=1, \ldots, k$. Выражение $\left\|\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}_{1} \wedge \ldots \wedge \mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}_{k}\right\|$ обозначает объем параллелепипеда $\varphi^{t}\left(P^{k}\right)$.
Определение. Предел (если он существует)
\[
\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}^{(k)}\right)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \ln \frac{\left\|\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}_{k}\right\|}{\left\|\mathbf{e}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{k}\right\|}
\]

называется $k$-мерным показателем Ляпунова траектории $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$. Этот показатель представляет собой «меру» скорости изменения объема параллелепипеда $P^{k}$ при его перемещении вдоль траектории $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$.

Условиями существования предела (2.5.2) мы здесь заниматься не будем ${ }^{1)}$. Нетрудно показать, что $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathrm{e}^{(k)}\right)$ зависит лишь от подпространства $\mathrm{e}^{(k)}$, а не от конкретного выбора векторов базиса. Наиболее важная информация, касающаяся показателей Ляпунова, содержится в следующей теореме.

Теорема.

1. Одномерные показатели Ляпунова могут иметь не более $n$. различных значений $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \lambda_{3} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n}$.
2. $k$-мерные показатели Ляпунова могут иметь $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ различных значений, причем каждый из них представляет собой сумму $k$ одномерных показателей Ляпунова.
3. Если линейно независимые векторы $\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{n}$ выбраны случайным образом, то выражение в правой части формулы (2.5.2) с вероятностью 1 сходится ${ }^{2}$ к максимальному $k$-мерному показателю Ляпунова $\lambda_{\text {max }}^{(k)}$.

Замечания

1. Рассмотрим понятие одномерного показателя Ляпунова несколько подробнее. Пусть $\mathbf{e} \in \mathbf{R}^{n}$. Формула (2.5.2) при $k=1$ принимает вид
\[
\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{\left\|\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{e}\right\|}{\|\mathbf{e}\|} .
\]

Показатель Ляпунова $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}\right)$ описывает поведение траекторий, проходящих через точки $\mathrm{x}_{0}+\varepsilon \mathrm{e},|\varepsilon| \ll 1$, по отношению к траектории $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ (см. рис. 2.36).

Если $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}\right)<0$, то это означает, что указанные траектории приближаются к $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ при $t \rightarrow+\infty$, а если $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{e}\right)>0$, то удаляются. [6]

Если в этом случае изменить начальное состояние $\mathbf{x}_{0}$ на $\mathbf{x}_{0}+\varepsilon \mathbf{e}, \varepsilon \ll 1$, то разность $\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}+\varepsilon \mathrm{e}}(t)-\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$ будет расти со временем с экспоненциальной скоростью: поведение динамической системы очень чувствительно к изменению начальных условий.
Рис. 2.36. Поведение близких траекторий.
2. Если в формуле (2.5.3) положить $\mathbf{e}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}_{0}\right)$, т. е. выбрать вектор, касательный к $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$, то вектор $\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t)$ е будет касательным все время: имеет место соотношение $\mathbf{U}_{\mathbf{x}_{0}}(t) \mathbf{f}\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{f}\left(\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{x}_{0}}(t)\right)$. Если векторное поле $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ ограничено ( $\|\mathbf{f}(\mathbf{x})\|<K$ для всех $\mathbf{x} \in R^{n}$ ), то из (2.5.3) вытекает, что $\lambda\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{f}\left(\mathbf{x}_{0}\right)\right)=0$. (Для того чтобы один одномерный показатель Ляпунова траектории $\Gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ был равен нулю, достаточно, чтобы функция $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ была ограничена в некоторой окрестности ее $\omega$-предельного множества ${ }^{11}$.)
3. Второе утверждение теоремы мы проиллюстрируем на примере траектории в $\mathrm{R}^{3}$. Согласно п. 1 этой теоремы, существует три одномерных показателя Ляпунова. Согласно п. 2 этой же теоремы, число двумерных показателей Ляпунова равно $\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=3$ и их можно найти с помощью одномерных показателей Ляпунова:
\[
\lambda_{1}^{(2)}=\lambda_{1}+\lambda_{2}, \quad \lambda_{2}^{(2)}=\lambda_{1}+\lambda_{3}, \quad \lambda_{3}^{(2)}=\lambda_{2}+\lambda_{3} ;
\]

трехмерный показатель Ляпунова будет всего один:
\[
\lambda_{1}^{(3)}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} .
\]

4. Третий пункт теоремы указывает на возможность вычисления всех одномерных показателей Ляпунова следующим способом. Выберем случайным образом базис $\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \ldots, \mathbf{b}_{n}$ и затем с помощью ЭВМ найдем максимальные $k$-мерные показатели Ляпунова, $k=1,2, \ldots, n$; обозначим их $\lambda(1), \lambda$ max,$\ldots$, …, $\lambda_{\max }^{(n)}$. Тогда все одномерные показатели Ляпунова можно определить с помощью следующих соотношений:
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=\lambda_{\max }^{(1)}, \\
\lambda_{2}=\lambda_{\max }^{(2)}-\lambda_{\max }^{(1)}, \\
\lambda_{3}=\lambda_{\max }^{(3)}-\lambda_{\max }^{(2)}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\lambda_{n}=\lambda_{\max }^{(n)}-\lambda_{\max }^{(n-1)} .
\end{array}
\]
5. Одномерные показатели Ляпунова $\lambda_{j}^{(1)}$ для стационарного решения ( $\left.\mathbf{p}(t) \equiv \mathbf{x}_{0}\right)$ связаны с собственными значениями $\mu_{j}$ матрицы Якоби $\mathbf{J}=\mathbf{f}^{\prime}\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ соотношениями: $\lambda_{j}=\operatorname{Re} \mu_{j}$. Показатели $\lambda_{j}^{(1)}$ для периодического решения $\mathbf{p}(t)$ периода $T$ выражаются через его мультипликаторы $\mu_{i}$ :
\[
\lambda_{j}^{(1)}=\frac{1}{T} \ln \left|\mu_{i}\right| .
\]

2.5.2. Инвариантные множества

Множество $\mathrm{M} \subset \mathrm{R}^{n}$ мы называем инвариантным множеством дифференциального уравнения $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}$, если любая его траектория, имеющая хотя бы одну общую точку с множеством М, целиком лежит в множестве М.

C простейшими инвариантными множествами потока $\varphi(t, \mathbf{x})$ мы уже встречались в $\S 2.1$ – это были положения равновесия и замкнутые траектории.

Изучение свойств замкнутых инвариантных множеств проводится с помощью специальных методов, описание которых выходит за рамки данной книги. Ниже мы лишь кратко коснемся этой темы.
Определения
1. Замкнутое инвариантное множество $\mathbf{M}$ потока $\varphi$ называется устойчивым (по Ляпунову), если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta \in(0, \varepsilon]$, что если $\rho(\mathbf{x}, \mathbf{M}) \leqslant \delta$, то $\rho\left(\varphi_{\mathbf{x}}(t), \mathbf{M}\right) \leqslant$ $\leqslant \boldsymbol{\varepsilon}$ для всех $t \geqslant 0$.
2. Замкнутое инвариантное множество $\mathscr{A}$ мы называем аттрактором, если существует открытое множество Uつ $\mathscr{A}$,

такое, что для всякой точки $\mathbf{x} \in \mathbf{U}$ выполняется требование
\[
\rho\left(\varphi_{\mathrm{x}}(t), \mathscr{A}\right) \xrightarrow[t \rightarrow+\infty]{ } 0 .
\]

При этом множество $U$ называется областью притяжения аттрактора $\mathscr{A}$.

Некоторые авторы требуют дополнительно, чтобы в аттракторе $\mathscr{A}$ существовала траектория $\gamma$, которая его плотно заполняет ${ }^{1)}$. Простейшими примерами аттракторов могут служить (асимптотически) устойчивые положения равновесия и устойчивые замкнутые траектории. У инвариантных множеств обычно изучают их зависимость от параметров, а также их внутреннюю структуру.

Инвариантное множество М называется внутренне неустойчивым (или хаотическим), если любая траектория, которая лежит в М, является неустойчивой по Ляпунову и имеет по крайней мере один положительный одномерный показатель Ляпунова, так что траектории, лежащие в М, разбегаются друг от друга с экспоненциальной скоростью. Мы будем требовать, кроме того, чтобы хаотическое множество плотно заполняла бы какая-нибудь траектория системы.

Определенную информацию на интуитивном уровне о $\omega$-предельном множестве данной ограниченной траектории $\gamma$ дают ее показатели Ляпунова. Так, если все показатели Ляпунова оказываются отрицательными, то можно ожидать, что $\mathbf{M}=\omega(\gamma)$ состоит из одной точки – устойчивого положения равновесия. Размерность такого множества М равна нулю. Если один показатель Ляпунова равен нулю, а остальные отрицательны, то это указывает на наличие одномерного аттрактора, например устойчивого предельного цикла. Существование одного положительного показателя Ляпунова означает наличие двумерного аттрактора, и т. д. ${ }^{2)}$

2.5.3. Явление Фейгенбаума

В этом пункте мы опишем один из возможных механизмов возникновения хаотического множества в фазовом пространстве.

Пусть у нас имеется однопараметрическая система дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}, \alpha \in \mathrm{R}^{1} .
\]

Фейгенбаум впервые отметил следующее явление (см. замечание в конце этого пункта). Пусть при $\alpha<\alpha_{1}$ система (2.5.4) имеет устойчивое периодическое решение с траекторией $\gamma_{\alpha}$. При $\alpha=\alpha_{1}$ происходит бифуркация удвоения периода, причем траектория $\gamma_{\alpha}$ при $\alpha>\alpha_{1}$ теряет устойчивость и от нее (при $\alpha>\alpha_{1}$ ) ответвляется траектория $\gamma_{\alpha}^{(2)}$ с двойным периодом. Далее, при $\alpha=\alpha_{2}$ происходит бифуркация удвоения периода для
Рис. 2.37. Последовательность бифуркаций удвоения периода.

траектории $\gamma_{\alpha}^{(2)}$. Затем этот процесс продолжается, и мы получаем бесконечную последовательность значений параметра $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$, при которых происходят бифуркации удвоения периода (рис. 2.37).

Фейгенбаум показал, что для последовательности $\left\{\alpha_{j}\right\}_{i=1}^{\infty}$ имеет место соотношение
\[
\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{\alpha_{i+1}-\alpha_{j}}{\alpha_{j+2}-\alpha_{i+1}}=4,6692016 \ldots
\]

Число в правой части формулы (2.5.5) представляет собой универсальную постоянную, одинаковую для всех уравнений вида (2.5.4), у которых при увеличении параметра возникает вышеописанный каскад бифуркаций удвоения периода и которые удовлетворяют еще некоторым дополнительным условиям. Из

формулы (2.5.5) вытекает существование конечного предела вида
\[
\lim _{i \rightarrow \infty} \alpha_{j}=\alpha_{\infty} .
\]

В результате описанного каскада бифуркаций возникает хаотическое множество, поскольку при $\alpha \rightarrow \alpha_{\infty}$ в некоторой области фазового пространства возникает бесконечно много неустойчивых периодических траекторий. Между этими траекториями «блуждают» остальные траектории, которые вместе с первыми образуют хаотическое инвариантное множество системы (2.5.4).

Замечание. Строго говоря, описанное явление было обнаружено Фейгенбаумом при исследовании поведения неподвижных точек итераций $f_{\alpha}^{n}$ одномерного отображения $f_{\alpha}:[0,1] \rightarrow[0,1]$ (например, $f_{\alpha}(x)=\alpha x(1-x)$ ) в зависимости от изменения параметра $\alpha$.

С помощью отображения Пуанкаре бифуркационные процессы для отображения $\mathbf{f}_{\alpha}$ можно переформулировать для уравнения (2.5.4). При этом отображение $\mathbf{f}_{\alpha}$ можно рассматривать как проекцию отображения Пуанкаре на некоторую координатную ось в сечении $\Sigma$.

Указанный переход от описания явлений бифуркации для неподвижных точек итераций $\mathbf{f}^{n}$ к описанию бифуркационных процессов для фазового потока в окрестности замкнутой траектории с математической точки зрения не является строгим; скорее речь идет здесь об эвристических рассуждениях. С другой стороны, имеется много численных экспериментов, которые указывают на существование описанного выше каскада бифуркаций удвоения периода и определенную закономерность в поведении последовательности $\alpha_{j}$ (см. §5.8).