Поведение траекторий в окрестности состояния равновесия для уравнения
$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in {\mathrm{R}}^n$$

мы описываем с помощью собственных чисел матрицы линеаризации. Для описания поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории служат ее мультипликаторы. Для исследования поведения траекторий в окрестности произвольной

траектории удобно использовать показатели Ляпунова, которые представляют собой аналоги мультипликаторов периодических траекторий.

2.5.1. Основные свойства показателей Ляпунова

Пусть $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$ — траектория уравнения (2.5.1), соответствующая решению $\mathbf{p}(t)={\mathit{\phi }}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$. Асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи $\gamma \left({\mathbf{x}}_0\right)$, определяется поведением фундаментальной матрицы ${\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$ уравнения в вариациях для решения $\mathbf{p}(t)$. Показатели Ляпунова являются инструментом, служащим для описания асимптотического поведения матрицы ${\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$.

Рис. 2.35. Деформация параллелепипеда $P^k$ при движении вдоль траектории.
Рассмотрим $n$ линейно независимых векторов ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_n$, выходящих из точки ${\mathbf{x}}_0$. Выберем из них $k$ векторов $(1⩽$ $⩽k⩽n)$, которые обозначим как ${\mathbf{e}}_1={\mathbf{b}}_{i_1},{\mathbf{e}}_2={\mathbf{b}}_{i_2},\dots ,{\mathbf{e}}_k\equiv$ $={\mathbf{b}}_{i_k}$. Векторы ${\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_k$ задают в фазовом пространстве ${\mathbf{R}}^n$ некоторый $k$-мерный параллелепипед $P^k$ (см. рис. 2.35, где $k=3$ ) и определяют натянутое на них $k$-мерное подпространство ${\mathbf{e}}^{(k)}$.

Фазовый поток перемещает точку ${\mathbf{x}}_0$ за время $t$ в точку ${\mathit{\phi }}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$;ри этом векторы ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_k$ отображаются на векторы ${\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t){\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_n}(t){\mathbf{e}}_k{}^{1)}$, которые в свою очередь образуют параллелепипед ${\phi }^t\left(P^k\right)$. Нас будет интересовать изменение объема параллелепипеда $P^k$, точнее, отношение объемов ${\phi }^t\left(P^k\right)$ и $P^k$. Обозначим объем параллелепипеда $P^k$ через $\Vert {\mathbf{e}}_1\wedge {\mathbf{e}}_2\wedge \dots \wedge {\mathbf{e}}_k\Vert$. Этот объем вычисляется следующим образом.
1) Здесь введено (стандартное) определение того, как действует (при каждом $t$ ) преобразование ${\phi }^t$ сдвига по траекториям $\mathbf{x}\to {\phi }_{\mathbf{x}}(t)$ на векторы, «прикрепленные» в точке ${\mathbf{x}}_0$. — Прим. ред.

Обозначим через ( ${\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j$ ) скалярное произведение векторов ${\mathbf{e}}_i$ и ${\mathbf{e}}_j,i,j=1,2,\dots ,k$. Тогда
$$\Vert {\mathbf{e}}_1\wedge \dots \wedge {\mathbf{e}}_k\Vert =[\det \mathbf{A}{]}^{1/2},$$

где матрица $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right),a_{ij}=({\mathbf{e}}_i,{\mathrm{e}}_j),i,j=1,\dots ,k$. Выражение $\Vert {\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t){\mathbf{e}}_1\wedge \dots \wedge {\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t){\mathbf{e}}_k\Vert$ обозначает объем параллелепипеда ${\phi }^t\left(P^k\right)$.
Определение. Предел (если он существует)
$$\lambda ({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{e}}^{(k)})=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}\ln \frac{\Vert {\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t){\mathbf{e}}_1\wedge \cdots \wedge {\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t){\mathbf{e}}_k\Vert }{\Vert {\mathbf{e}}_1\wedge \cdots \wedge {\mathbf{e}}_k\Vert }$$

называется $k$-мерным показателем Ляпунова траектории $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$. Этот показатель представляет собой «меру» скорости изменения объема параллелепипеда $P^k$ при его перемещении вдоль траектории $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$.

Условиями существования предела (2.5.2) мы здесь заниматься не будем ${}^{1)}$. Нетрудно показать, что $\lambda ({\mathbf{x}}_0,{\mathrm{e}}^{(k)})$ зависит лишь от подпространства ${\mathrm{e}}^{(k)}$, а не от конкретного выбора векторов базиса. Наиболее важная информация, касающаяся показателей Ляпунова, содержится в следующей теореме.

Теорема.

1. Одномерные показатели Ляпунова могут иметь не более $n$. различных значений ${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾{\lambda }_3⩾\dots ⩾{\lambda }_n$.
2. $k$-мерные показатели Ляпунова могут иметь $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ различных значений, причем каждый из них представляет собой сумму $k$ одномерных показателей Ляпунова.
3. Если линейно независимые векторы ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ выбраны случайным образом, то выражение в правой части формулы (2.5.2) с вероятностью 1 сходится ${}^2$ к максимальному $k$-мерному показателю Ляпунова ${\lambda }_{\text{max }}^{(k)}$.

Замечания

1. Рассмотрим понятие одномерного показателя Ляпунова несколько подробнее. Пусть $\mathbf{e}\in {\mathbf{R}}^n$. Формула (2.5.2) при $k=1$ принимает вид
$$\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{e})=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}\ln \frac{\Vert {\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t)\mathbf{e}\Vert }{\Vert \mathbf{e}\Vert }.$$

Показатель Ляпунова $\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{e})$ описывает поведение траекторий, проходящих через точки ${\mathrm{x}}_0+\epsilon \mathrm{e},|\epsilon |\ll 1$, по отношению к траектории $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$ (см. рис. 2.36).

Если $\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{e})<0$, то это означает, что указанные траектории приближаются к $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$ при $t\to +\mathrm{\infty }$, а если $\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{e})>0$, то удаляются. [6]

Если в этом случае изменить начальное состояние ${\mathbf{x}}_0$ на ${\mathbf{x}}_0+\epsilon \mathbf{e},\epsilon \ll 1$, то разность ${\mathit{\phi }}_{{\mathbf{x}}_0+\epsilon \mathrm{e}}(t)-{\mathit{\phi }}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$ будет расти со временем с экспоненциальной скоростью: поведение динамической системы очень чувствительно к изменению начальных условий.
Рис. 2.36. Поведение близких траекторий.
2. Если в формуле (2.5.3) положить $\mathbf{e}=\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)$, т. е. выбрать вектор, касательный к $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$, то вектор ${\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t)$ е будет касательным все время: имеет место соотношение ${\mathbf{U}}_{{\mathbf{x}}_0}(t)\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)=\mathbf{f}({\mathit{\phi }}_{{\mathbf{x}}_0}(t))$. Если векторное поле $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ ограничено ( $\Vert \mathbf{f}(\mathbf{x})\Vert <K$ для всех $\mathbf{x}\in R^n$ ), то из (2.5.3) вытекает, что $\lambda ({\mathbf{x}}_0,\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right))=0$. (Для того чтобы один одномерный показатель Ляпунова траектории $\mathrm{\Gamma }\left({\mathbf{x}}_0\right)$ был равен нулю, достаточно, чтобы функция $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ была ограничена в некоторой окрестности ее $\omega$-предельного множества ${}^{11}$.)
3. Второе утверждение теоремы мы проиллюстрируем на примере траектории в ${\mathrm{R}}^3$. Согласно п. 1 этой теоремы, существует три одномерных показателя Ляпунова. Согласно п. 2 этой же теоремы, число двумерных показателей Ляпунова равно $\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)=3$ и их можно найти с помощью одномерных показателей Ляпунова:
$${\lambda }_1^{(2)}={\lambda }_1+{\lambda }_2,{\lambda }_2^{(2)}={\lambda }_1+{\lambda }_3,{\lambda }_3^{(2)}={\lambda }_2+{\lambda }_3;$$

трехмерный показатель Ляпунова будет всего один:
$${\lambda }_1^{(3)}={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3.$$

4. Третий пункт теоремы указывает на возможность вычисления всех одномерных показателей Ляпунова следующим способом. Выберем случайным образом базис ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ и затем с помощью ЭВМ найдем максимальные $k$-мерные показатели Ляпунова, $k=1,2,\dots ,n$; обозначим их $\lambda (1),\lambda$ max,$\dots$, …, ${\lambda }_{max}^{(n)}$. Тогда все одномерные показатели Ляпунова можно определить с помощью следующих соотношений:
$$\begin{array}{l}{\lambda }_1={\lambda }_{max}^{(1)},\\ {\lambda }_2={\lambda }_{max}^{(2)}-{\lambda }_{max}^{(1)},\\ {\lambda }_3={\lambda }_{max}^{(3)}-{\lambda }_{max}^{(2)},\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ {\lambda }_n={\lambda }_{max}^{(n)}-{\lambda }_{max}^{(n-1)}.\end{array}$$
5. Одномерные показатели Ляпунова ${\lambda }_j^{(1)}$ для стационарного решения ( $\mathbf{p}(t)\equiv {\mathbf{x}}_0)$ связаны с собственными значениями ${\mu }_j$ матрицы Якоби $\mathbf{J}={\mathbf{f}}^{\prime }\left({\mathbf{x}}_0\right)$ соотношениями: ${\lambda }_j=\mathrm{Re}{\mu }_j$. Показатели ${\lambda }_j^{(1)}$ для периодического решения $\mathbf{p}(t)$ периода $T$ выражаются через его мультипликаторы ${\mu }_i$ :
$${\lambda }_j^{(1)}=\frac{1}{T}\ln \left|{\mu }_i\right|.$$

2.5.2. Инвариантные множества

Множество $\mathrm{M}\subset {\mathrm{R}}^n$ мы называем инвариантным множеством дифференциального уравнения $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in {\mathrm{R}}^n$, если любая его траектория, имеющая хотя бы одну общую точку с множеством М, целиком лежит в множестве М.

C простейшими инвариантными множествами потока $\phi (t,\mathbf{x})$ мы уже встречались в $\mathrm{\S }2.1$ — это были положения равновесия и замкнутые траектории.

Изучение свойств замкнутых инвариантных множеств проводится с помощью специальных методов, описание которых выходит за рамки данной книги. Ниже мы лишь кратко коснемся этой темы.
Определения
1. Замкнутое инвариантное множество $\mathbf{M}$ потока $\phi$ называется устойчивым (по Ляпунову), если для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta \in (0,\epsilon ]$, что если $\rho (\mathbf{x},\mathbf{M})⩽\delta$, то $\rho ({\phi }_{\mathbf{x}}(t),\mathbf{M})⩽$ $⩽\mathit{\epsilon }$ для всех $t⩾0$.
2. Замкнутое инвариантное множество $\mathcal{A}$ мы называем аттрактором, если существует открытое множество Uつ $\mathcal{A}$,

такое, что для всякой точки $\mathbf{x}\in \mathbf{U}$ выполняется требование
$$\rho ({\phi }_{\mathrm{x}}(t),\mathcal{A})\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

При этом множество $U$ называется областью притяжения аттрактора $\mathcal{A}$.

Некоторые авторы требуют дополнительно, чтобы в аттракторе $\mathcal{A}$ существовала траектория $\gamma$, которая его плотно заполняет ${}^{1)}$. Простейшими примерами аттракторов могут служить (асимптотически) устойчивые положения равновесия и устойчивые замкнутые траектории. У инвариантных множеств обычно изучают их зависимость от параметров, а также их внутреннюю структуру.

Инвариантное множество М называется внутренне неустойчивым (или хаотическим), если любая траектория, которая лежит в М, является неустойчивой по Ляпунову и имеет по крайней мере один положительный одномерный показатель Ляпунова, так что траектории, лежащие в М, разбегаются друг от друга с экспоненциальной скоростью. Мы будем требовать, кроме того, чтобы хаотическое множество плотно заполняла бы какая-нибудь траектория системы.

Определенную информацию на интуитивном уровне о $\omega$-предельном множестве данной ограниченной траектории $\gamma$ дают ее показатели Ляпунова. Так, если все показатели Ляпунова оказываются отрицательными, то можно ожидать, что $\mathbf{M}=\omega (\gamma )$ состоит из одной точки — устойчивого положения равновесия. Размерность такого множества М равна нулю. Если один показатель Ляпунова равен нулю, а остальные отрицательны, то это указывает на наличие одномерного аттрактора, например устойчивого предельного цикла. Существование одного положительного показателя Ляпунова означает наличие двумерного аттрактора, и т. д. ${}^{2)}$

2.5.3. Явление Фейгенбаума

В этом пункте мы опишем один из возможных механизмов возникновения хаотического множества в фазовом пространстве.

Пусть у нас имеется однопараметрическая система дифференциальных уравнений
$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\alpha ),\mathbf{x}\in {\mathrm{R}}^n,\alpha \in {\mathrm{R}}^1.$$

Фейгенбаум впервые отметил следующее явление (см. замечание в конце этого пункта). Пусть при $\alpha <{\alpha }_1$ система (2.5.4) имеет устойчивое периодическое решение с траекторией ${\gamma }_{\alpha }$. При $\alpha ={\alpha }_1$ происходит бифуркация удвоения периода, причем траектория ${\gamma }_{\alpha }$ при $\alpha >{\alpha }_1$ теряет устойчивость и от нее (при $\alpha >{\alpha }_1$ ) ответвляется траектория ${\gamma }_{\alpha }^{(2)}$ с двойным периодом. Далее, при $\alpha ={\alpha }_2$ происходит бифуркация удвоения периода для
Рис. 2.37. Последовательность бифуркаций удвоения периода.

траектории ${\gamma }_{\alpha }^{(2)}$. Затем этот процесс продолжается, и мы получаем бесконечную последовательность значений параметра ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$, при которых происходят бифуркации удвоения периода (рис. 2.37).

Фейгенбаум показал, что для последовательности ${\left\{{\alpha }_j\right\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ имеет место соотношение
$$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\alpha }_{i+1}-{\alpha }_j}{{\alpha }_{j+2}-{\alpha }_{i+1}}=4,6692016\dots$$

Число в правой части формулы (2.5.5) представляет собой универсальную постоянную, одинаковую для всех уравнений вида (2.5.4), у которых при увеличении параметра возникает вышеописанный каскад бифуркаций удвоения периода и которые удовлетворяют еще некоторым дополнительным условиям. Из

формулы (2.5.5) вытекает существование конечного предела вида
$$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_j={\alpha }_{\mathrm{\infty }}.$$

В результате описанного каскада бифуркаций возникает хаотическое множество, поскольку при $\alpha \to {\alpha }_{\mathrm{\infty }}$ в некоторой области фазового пространства возникает бесконечно много неустойчивых периодических траекторий. Между этими траекториями «блуждают» остальные траектории, которые вместе с первыми образуют хаотическое инвариантное множество системы (2.5.4).

Замечание. Строго говоря, описанное явление было обнаружено Фейгенбаумом при исследовании поведения неподвижных точек итераций $f_{\alpha }^n$ одномерного отображения $f_{\alpha }:[0,1]\to [0,1]$ (например, $f_{\alpha }(x)=\alpha x(1-x)$ ) в зависимости от изменения параметра $\alpha$.

С помощью отображения Пуанкаре бифуркационные процессы для отображения ${\mathbf{f}}_{\alpha }$ можно переформулировать для уравнения (2.5.4). При этом отображение ${\mathbf{f}}_{\alpha }$ можно рассматривать как проекцию отображения Пуанкаре на некоторую координатную ось в сечении $\mathrm{\Sigma }$.

Указанный переход от описания явлений бифуркации для неподвижных точек итераций ${\mathbf{f}}^n$ к описанию бифуркационных процессов для фазового потока в окрестности замкнутой траектории с математической точки зрения не является строгим; скорее речь идет здесь об эвристических рассуждениях. С другой стороны, имеется много численных экспериментов, которые указывают на существование описанного выше каскада бифуркаций удвоения периода и определенную закономерность в поведении последовательности ${\alpha }_j$ (см. §5.8).