В этом параграфе мы рассмотрим ряд физических проблем, анализ которых приводит к необходимости исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти проблемы будут представлены в форме, удобной для иллюстрации численных методов исследования нелинейных систем в гл. 5.

Системы дифференциальных уравнений мы будем записывать в виде
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{p}),
\]

Рассмотрим реакцию 1-го порядка, для которой $r=k c_{\mathrm{A}}=$ $=k_{\infty} c_{\mathrm{A}} \exp (-E / R T)$.
Определим следующие безразмерные величины: конверсию
\[
x=\frac{c_{\mathrm{A} 0}-c_{\mathrm{A}}}{c_{\mathrm{A} 0}},
\]

температуру
\[
\Theta=\frac{E}{R T_{0}^{2}}\left(T-T_{0}\right),
\]

число Дамкёлера
\[
\mathrm{Da}=k_{0} \frac{V}{F}, \quad\left(k_{0}=k\left(T_{0}\right)\right),
\]

параметр тепловыделения
\[
B=\frac{\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) c_{\mathrm{A} 0}}{C_{p} T_{0}} \cdot \frac{E}{R T_{0}},
\]

энергию активации
\[
\gamma=E / R T_{0},
\]

температуру хладагента
\[
\Theta_{c}=\frac{E}{R T_{0}^{2}}\left(T_{c}-T_{0}\right),
\]

параметр теплоотвода
\[
\beta=\frac{U S}{F C_{p}},
\]

безразмерное время
\[
t=t^{\prime} F / V .
\]

Тогда уравнения баланса массы и энтальпии переписываются в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=-\Lambda x+\operatorname{Da}(1-x) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right), \\
\frac{d \Theta}{d t}=-\Lambda \Theta+\operatorname{Da} B(1-x) \exp \left(\frac{\Theta}{1+\Theta / \gamma}\right)-\beta\left(\Theta-\Theta_{c}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (Р1-6), (Р1-7) могут быть представлены в форме (4.2.1), где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{x}=(x, \Theta), \\
\mathbf{p}=\left(\Lambda, \text { Da, } \gamma, B, \beta, \Theta_{c}\right) .
\end{array}
\]

Обозначим через $\tau$ «время задержки»: $\tau=V / F$. Тогда
\[
\mathrm{Da}=k_{0} \tau, \beta=a \tau, \quad \text { где } \quad a=U S / V C_{p} .
\]

реакция служит моделью при исследовании нелинейных явлений в химической кинетике. Филд, Кёрёш и Нойес [4.26] разработали подробную схему механизма этой реакции, состоящую из одиннадцати основных реакций между двенадцатью компонентами. Позднее Филд и Нойес [4.27] предложили упрощенную схему, состоящую из пяти основных этапов. Обозначим компоненты реакции следующим образом: $\mathrm{A}=\mathrm{BrO}_{3}^{-}, \quad \mathrm{B}=\mathrm{BrMA}$, $\mathrm{P}=\mathrm{HOBr}, \quad \mathrm{X}=\mathrm{HBrO}_{2}, \quad \mathrm{Y}=\mathrm{Br}^{-}, \mathrm{Z}=\mathrm{Ce}^{4+} \quad$ и запишем эту реакцию в виде следующей схемы:
Константа скорости реакции
(1) $\mathrm{A}+\mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{X}+\mathrm{P}$ $k_{1}$
(2) $\mathrm{X}+\mathrm{Y} \rightarrow 2 \mathrm{P}$
(3) $A+X \rightarrow 2 X+2 Z$
$k_{2}$
(4) $2 \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{P}$
(5) $\mathrm{B}+\mathrm{Z} \rightarrow h \mathrm{Y}$
Предположим, что компоненты А и В находятся в большом избытке и что их концентрации не зависят от времени. Тогда изменение во времени концентраций остальных компонентов в замкнутой системе можно описать с помощью уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d c_{\mathrm{X}}}{d t^{\prime}}=k_{1} c_{\mathrm{A}} c_{\mathrm{Y}}-k_{2} c_{\mathrm{X}} c_{\mathrm{Y}}+k_{3} c_{\mathrm{A}} c_{\mathrm{X}}-2 k_{4} c_{\mathrm{X}}^{2}, \\
\frac{d c_{\mathrm{Y}}}{d t^{\prime}}=-k_{1} c_{\mathrm{A}} c_{\mathrm{Y}}-k_{2} c_{\mathrm{X}} c_{\mathrm{Y}}+h k_{5} c_{\mathrm{B}} c_{\mathrm{Z}}, \\
\frac{d c_{\mathrm{Z}}}{d t^{\prime}}=2 k_{3} c_{\mathrm{A}} c_{\mathrm{X}}-k_{5} c_{\mathrm{B}} c_{\mathrm{Z}}
\end{array}
\]
(здесь $c_{i}$ означает концентрацию компоненты $j$ ). Введем новые переменные
\[
x=\omega c_{\mathrm{X}}, \quad y=\eta c_{\mathrm{Y}}, \quad z=\gamma c_{\mathrm{Z}}, \quad t=\delta t^{\prime} .
\]

Тогда кинетические уравнения (Р3-2) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\frac{\omega}{\delta}\left(k_{1} c_{\mathrm{A}} \frac{y}{\eta}-k_{2} \frac{x y}{\omega \eta}+k_{3} c_{\mathrm{A}} \frac{x}{\omega}-2 k_{4} \frac{x^{2}}{\omega^{2}}\right), \\
\frac{d y}{d t}=\frac{\eta}{\delta}\left(-k_{1} c_{\mathrm{A}} \frac{y}{\eta}-k_{2} \frac{x y}{\omega \eta}+h k_{5} c_{\mathrm{B}} \frac{z}{\gamma}\right), \\
\frac{d z}{d t}=\frac{\gamma}{\delta}\left(2 k_{3} c_{\mathrm{A}} \frac{x}{\omega}-k_{5} c_{\mathrm{B}} \frac{z}{\gamma}\right) .
\end{array}
\]

Выберем теперь $\omega, \eta, \gamma, \delta$ так, чтобы полученные уравнения имели максимально простой вид. Положим
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{k_{5} c_{\mathrm{B}}}{k_{3} c_{\mathrm{A}}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}^{\prime}=\boldsymbol{\varepsilon} \frac{\omega}{\eta}, \\
\mu=\frac{2 k_{1} k_{4}}{k_{2} k_{3}}, \quad g=2 h, \\
\omega=\frac{2 k_{4}}{k_{3} c_{\mathrm{A}}}, \quad \eta=\frac{k_{2}}{k_{3} c_{\mathrm{A}}}, \quad \gamma=\frac{k_{4} k_{5} c_{\mathrm{B}}}{\left(k_{3} c_{\mathrm{A}}^{2}\right)}, \quad \delta=k_{5} c_{\mathrm{B}} .
\end{array}
\]

Уравнения (Р3-3) при этом переписываются в следующем безразмерном виде:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \frac{d x}{d t}=\mu y-x y+x-x^{2}, \\
\boldsymbol{\varepsilon}^{\prime} \frac{d y}{d t}=-\mu y-x y+g z, \\
\frac{d z}{d t}=x-z .
\end{array}
\]

Уравнения (Р3-5) описывают процесс реакции в реакторе с полностью загруженной активной зоной (т. е. без подачи и отвода соответствующих компонент).

Таким образом, скорости образования отдельных компонент можно записать как
\[
\begin{array}{l}
r_{x}=\left(\mu y-x y+x-x^{2}\right) / \varepsilon, \\
r_{y}=(-\mu y-x y+g z) / \mathbf{e}^{\prime}, \\
r_{z}=x-z .
\end{array}
\]

Тогда уравнения баланса компонент $\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}$ в реакторе проточного типа с перемешиванием для случая установившегося режима принимают вид ( $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – соответствующие концентрации на входе)
\[
\begin{array}{l}
F\left(x_{0}-x\right)+V r_{x}=0, \\
F\left(y_{0}-y\right)+V r_{y}=0, \\
F\left(z_{0}-z\right)+V r_{z}=0 .
\end{array}
\]

Компоненты реакции $\mathrm{X}\left(\mathrm{HBrO}_{2}\right)$ и $\mathrm{Z}$ ( $\left.\mathrm{Ce}^{4+}\right)$ представляют собой промежуточные продукты, возникающие в ходе реакции. При этом в реактор проточного типа с перемешиванием подается только компонента Y $\left(\mathrm{Br}^{-}\right)$.

Если $x_{0}=z_{0}=0$, то, полагая $F / V=\beta, y_{0}=\alpha$ и вводя затем обозначения $x=x_{1}, y=x_{2}$ и $z=x_{3}$, уравнения (Р3-7)

с учетом формул (Р3-6) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
\left(\mu x_{2}-x_{1} x_{2}+x_{1}-x_{1}^{2}\right) / \varepsilon-\beta x_{1}=0, \\
\left(-\mu x_{2}-x_{1} x_{2}+g x_{3}\right) / \varepsilon^{\prime}+\beta\left(\alpha-x_{2}\right)=0, \\
x_{1}-x_{3}-\beta x_{3}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, для уравнения в форме (4.2.1) в данном случае мы имеем $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbf{p}=\left(\mu, \varepsilon, \varepsilon^{\prime}, \beta, g, \alpha\right)$.

Более подробно кинетические модели реакции Белоусова Жаботинского обсуждаются в работах $[4.28,4.29]$.

4.2.4. Задача 4. SH-модель метаболизма тиолов

Химические процессы, происходящие при окислении низкомолекулярных тиолов (глютатион, цистеин и т. д.) в клеточных белках, могут быть описаны схемой реакций, представленной на рис. 4.5 .
Рис. 4.5. Упрощенная схема реакций метаболизма тиолов.
Для изменения во времени концентраций $\mathrm{S}-\mathrm{H}$ и $\mathrm{S}-\mathrm{S}$ групп в низкомолекулярных тиолах при использовании ряда упрощающих предположений можно получить следующую модель $[4.30-4.32]$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d t}=\alpha\left(v_{0}+X^{\gamma}\right) /\left(1+X^{\gamma}\right)-X(1+Y), \\
\frac{d Y}{d t}=X(\beta+Y)-\delta Y .
\end{array}
\]

Здесь $X, Y$-безразмерные концентрации $\mathrm{S}-\mathrm{H}$ и $\mathrm{S}-\mathrm{S}$ групп, $t$-время, а $\alpha, \beta, \gamma, \delta, v_{0}$ – положительные параметры, причем $\beta, \gamma>1$.

Уравнения (P4-1) – (P4-2) можно записать в форме (4.2.1), положив $\mathbf{x}=(X, Y), \mathbf{p}=\left(\alpha, \beta, \gamma, \delta, v_{0}\right)$.

4.2.5. Задача 5. Модель анаэробного разложения

Рассмотрим теперь пример реальной задачи с большим числом параметров. По нему читатель сможет составить себе представление о сложности достаточно реалистических моделей.
Рис. 4.6. Схема анаэробного разложения органических веществ.
Обычно принято считать, что анаэробное разложение органических веществ происходит по схеме, представленной на рис. 4.6 [4.33]. Подробная модель этого процесса была разработана Эндрюсом и его сотрудниками [4.34]. В указанной модели в качестве управляющего звена используется последняя ступень анаэробного процесса (получение метана). Предполагается, что в резервуаре, содержащем газовую и жидкую фазы, происходит полное перемешивание смеси. Недиссоциирующие летучие кислоты (представленные на схеме уксусной кислотой) рассматриваются, с одной стороны, как субстрат (вещество, потребляемое бактериями), ограничивающий рост микроорганизмов, а с другой стороны, как ингибитор, причем их превращение представляет собой элементарную стадию реакции, лимитирующую скорость всего процесса. Кроме того, предполагается, что в постоянном потоке смеси на входе $F$ содержатся

катионы. Объемы жидкой смеси $V$ и газовой смеси $V_{\mathrm{G}}$ в реакторе также считаются постоянными. При указанных допущениях уравнения баланса (вещества) для концентрации субстрата в жидкой фазе $c_{\mathrm{s}}$, концентрации двуокиси углерода в: жидкой $\left(c_{c}\right.$ ) и газовой ( $p_{c}$ ) фазах, концентрации микроорганизмов $c_{\mathrm{x}}$, концентрации катионов $c_{\mathrm{z}}$ и концентрации токсичных веществ $c_{\text {T }}$ в жидкой фазе можно записать в следующем виде (точка означает здесь дифференцирование по времени, ${ }^{\circ}=d / d t$ ):
\[
\begin{array}{c}
\dot{c}_{\mathrm{x}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{x} 0}-c_{\mathrm{x}}\right)+\mu c_{\mathrm{x}}-K_{\mathrm{T}} c_{\mathrm{T}}, \\
\dot{c}_{\mathrm{s}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{s} 0}-c_{\mathrm{s}}\right)-\mu c_{\mathrm{x}} / S_{\mathrm{xs}}, \\
\dot{c}_{\mathrm{c}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{c} 0}-c_{\mathrm{c}}\right)+\mu c_{\mathrm{x}} S_{\mathrm{cx}}+\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{H} 0}-c_{\mathrm{H}}\right)+\dot{c}_{\mathrm{s}}-\dot{c}_{\mathrm{z}}+K_{\mathrm{L}} a\left(K p_{\mathrm{c}}-c_{\mathrm{c}}\right),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{\mathrm{c}}=-p S_{\mathrm{p}} \frac{V}{V G} K_{\mathrm{L}} a\left(K p_{\mathrm{c}}-c_{\mathrm{c}}\right)-p_{\mathrm{c}}\left[S_{\mathrm{p}} V S_{\mathrm{Mx}} \mu c_{\mathrm{x}}-\right. \\
\left.-S_{\mathrm{p}} V K_{\mathrm{L}} a\left(K p_{\mathrm{c}}-c_{\mathrm{c}}\right)\right] / V_{\mathrm{G}} \\
\dot{c}_{\mathrm{Z}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{Z} 0}-c_{\mathrm{Z}}\right) \\
\dot{c}_{\mathrm{T}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{T} 0}-c_{\mathrm{T}}\right)
\end{array}
\]

Здесь
\[
\begin{array}{c}
c_{\mathrm{H} 0}=c_{\mathrm{Z} 0}-c_{\mathrm{s} 0}, \quad c_{\mathrm{H}}=c_{\mathrm{Z}}-c_{\mathrm{s}}, \\
c_{\mathrm{HS}}=\frac{K_{\mathrm{I}} c_{\mathrm{c}} c_{\mathrm{s}}}{K_{\mathrm{a}}\left(c_{\mathrm{Z}}-c_{\mathrm{s}}\right)} .
\end{array}
\]

Функция роста микроорганизмов $\mu$ выражается при этом в виде-
\[
\mu=\frac{\hat{\mu}}{1+K_{\mathrm{s}} / c_{\mathrm{HS}}+c_{\mathrm{HS}} / K_{\mathrm{i}}} .
\]

Определения отдельных параметров вместе с их характерными для лабораторной практики значениями приведены в: табл. 4.1 (эти значения используются в примерах гл. 5). Характеристики переменных представлены в табл. 4.2.

Систему уравнений (Р5-1)-(Р5-6), учтя определения (P5-7)-(Р5-9), можно записать в форме (4.2.1), положив

$\mathbf{x}=\left(c_{\mathrm{x}}, c_{\mathrm{s}}, c_{\mathrm{c}}, p_{\mathrm{c}}, c_{\mathrm{z}}, c_{\mathrm{T}}\right)$ и взяв в качестве компонент вектора $\mathbf{p}$ параметры, перечисленные в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Задача 5. Параметры

Подобные нелинейные задачи с большим числом параметров обычно исследуют, выбирая некоторый основной (эталонный) вариант задачи и затем оценивая влияние изменений отдельных параметров; при этом мы всегда меняем лишь один или несколько параметров. Эталонный вариант может соответствовать, к примеру, условиям полупромышленного эксперимента.

Таблица 4.2. Задача 5. Переменные

4.2.6. Задача 6. Упрощенная модель анаэробного разложения
При рассмотрении предыдущей задачи мы видели, что модельные уравнения, описывающие процесс анаэробного разложения в двухфазной системе (жидкость-газ), достаточно сложны и содержат большое число различных параметров. Поэтому для получения предварительных выводов о поведении системы обычно используется упрощенная модель, учитывающая лишь жидкую фазу. При этом модельные уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{c}_{\mathrm{x}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{x} 0}-c_{\mathrm{x}}\right)+\mu c_{\mathrm{x}} \\
\dot{c}_{\mathrm{s}}=\frac{F}{V}\left(c_{\mathrm{s} 0}-c_{\mathrm{s}}\right)-\mu c_{\mathrm{x}} / S_{\mathrm{x} \mathrm{s}} .
\end{array}
\]

Уравнения (P6-1) и (P6-2) представляют собой уравнения баланса микроорганизмов и субстрата, причем влиянием катионов: в растворе мы пренебрегаем. Функция роста $\mu$ имеет вид, аналогичный представлению (Р5-9), т. е.
\[
\mu=\frac{\hat{\mu}}{1+K_{\mathrm{s}} / c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s}} / K_{\mathrm{i}}} .
\]

Формула (Р6-3) получается из соотношения для скорости роста микроорганизмов в виде
\[
\dot{v}_{\mathrm{x}}=\hat{\mu} c_{\mathrm{x}} c_{\mathrm{s}} /\left(K_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{s}}^{2} / K_{\mathrm{i}}\right) .
\]

Физический смысл параметров здесь тот же, что в предыдущей задаче. При записи системы (Р6-1), (P6-2) в форме (4.2.1) $\mathbf{x}=\left(c_{\mathrm{x}}, c_{\mathrm{s}}\right), \mathbf{p}=\left(V / F, c_{\mathrm{x} 0}, c_{\mathrm{s} 0}, \hat{\mu}, K_{\mathrm{s}}, K_{\mathrm{i}}, S_{\mathrm{xs}}\right)$.

Присутствующие в системе микроорганизмы, откликаясь на изменяющиеся внешние условия, например на изменение концентрации субстрата, реагируют на них не сразу, а с некоторым запаздыванием. Подобная реакция с временны́м запаздыванием $t_{\mathrm{L}}$ может быть описана с помощью модифицированной функции роста [4.35]
\[
\mu=\frac{\hat{\mu}}{1+K_{\mathrm{s}} / c_{\mathrm{s}}\left(t-t_{\mathrm{L}}\right)+c_{\mathrm{s}}\left(t-t_{\mathrm{L}}\right) / K_{\mathrm{l}}} .
\]

Замечание: Уравнения (P6-1), (P6-2) описывают также реактор проточного типа с полным перемешиванием в случае ферментативной реакции, ингибируемой субстратом.

4.2.7. Задача 7. Реактор с модельной реакцией типа «брюсселятор»
В теории диссипативных структур в качестве теоретического примера нелинейной химической реакции чаще всего используется схема реакции типа «брюсселятор» [4.36]. В этой схеме исходные вещества А и В превращаются в продукты реакции $\mathrm{D}$ и $\mathrm{E}$ с возникновением промежуточных продуктов $\mathrm{X}$ и $\mathrm{Y}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A} \xrightarrow{k_{1}} \mathrm{X}, \\
\mathrm{B}+\mathrm{X} \xrightarrow{k_{2}} \mathrm{Y}+\mathrm{D}, \\
2 \mathrm{X}+\mathrm{Y} \xrightarrow{k_{3}} 3 \mathrm{X} \text {, } \\
\mathrm{X} \xrightarrow{k_{4}} \mathrm{E} . \\
\end{array}
\]

Если концентрации входных веществ (А и В) постоянны, а константы скоростей реакций $k_{i}, i=1,2,3,4$, равны единице, то изменение концентраций промежуточных продуктов в реакторе проточного типа с перемешиванием описывается соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\frac{d X}{d t}=A-(B+1) X+X^{2} Y, \\
\frac{d Y}{d t}=B X-X^{2} Y .
\end{array}
\]

Обратите внимание на то, что в приведенных уравнениях баланса не учитываются входные и выходные потоки. Тем самым мы предполагаем, что в реактор поступают только

компоненты А и В, концентрации которых остаются постоянными, а выводятся из реактора продукты D и E, которые не вхо-. дят в уравнения из-за необратимости реакций.

Два дифференциальных уравнения (P7-1), (P7-2) можно записать в форме (4.2.1), положив $\mathbf{x}=(X, Y)$ и $\mathbf{p}=(A, B)$.

4.2.8. Задача 8. Каскад реакторов с взаимным массообменом и реакцией типа «брюсселятор»

Рассмотрим $N$ изотермических реакторов проточного типа с полным перемешиванием в случае наличия взаимного массообмена между соседними реакторами. Тогда уравнение баланса массы для системы, в которой происходит $R$ независимых реакций между $S$ компонентами ( $S>R$ ), можно представить в виде
\[
V_{k} \frac{d x_{i k}}{d t}=F_{k} x_{i k}^{0}-F_{k} x_{i k}+\sum_{j=1}^{R} v_{i j} r_{j k} V_{k}+\sum_{l=1}^{N} h_{i l k}\left(x_{i l}-x_{i k}\right) \text {. }
\]

Здесь $i=1,2, \ldots, R, k=1, \ldots, N, V_{k}$ – постоянный объем $k$-го реактора, $F_{k}$ – постоянный расход, $x_{i k}^{0}$ – концентрация $i$-й компоненты на входе $k$-го реактора, $v_{i j}$ – соответствующий стехиометрический коэффициент, $r_{i k}$-скорость $i$-й реакции в $k$-м реакторе, $h_{i l k}$ – коэффициент массопередачи $i$-й компоненты между $l$-м и $k$-м реактором.

Для реакции типа «брюсселятор», где $R=2$, обычно предполагается, что результирующие приток и отток промежуточных продуктов равны нулю $\left(F_{k}=0\right)$, а концентрация поступающих компонентов поддерживается постоянной [4.36].

Рассмотрим каскад из двух одинаковых реакторов $(N=2$, $V_{1}=V_{2}$ ) и пусть $h_{1 l k}=$ const $=D_{1} h_{2 l k}=$ const $=D_{2}$ (рис. 4.7a). Тогда уравнения баланса массы для промежуточных продуктов $X$ и $Y$ можно представить в виде $(\cdot=d / d t)$
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}_{1}=A-(B+1) X_{1}+X_{1}^{2} Y_{1}+D_{1}\left(X_{2}-X_{1}\right), \\
\dot{Y}_{1}=B X_{1}-X_{1}^{2} Y_{1}+D_{2}\left(Y_{2}-Y_{1}\right), \\
\dot{X}_{2}=A-(B+1) X_{2}+X_{2}^{2} Y_{2}+D_{1}\left(X_{1}-X_{2}\right), \\
\dot{Y}_{2}=B X_{2}-X_{2}^{2} Y_{2}+D_{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right) .
\end{array}
\]

В качестве начальных условий можно взять, например, при $t=0 X_{1}=X_{2}=Y_{1}=Y_{2}=0$.

Эти четыре дифференциальных уравнения можно записать в форме (4.2.1), положив
\[
\mathbf{x}=\left(X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}\right), \mathbf{p}=\left(A, B, D_{1}, D_{2}\right) .
\]

Два реактора с взаимным массообменом можно рассматривать также в случае потока, текущего лишь в одном направлении, из реактора 1 в реактор 2 (рис. $4.7 b$ ). При этом уравнения (P8-4), (Р8-5) сохранят свой вид, а уравнения (P8-2) и (P8-3) заменятся следующими:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}_{1}=A-(B+1) X_{1}+X_{1}^{2} Y_{1}, \\
\dot{Y}_{1}=B X_{1}-X_{1}^{2} Y_{1} .
\end{array}
\]

Аналогичным образом, если рассматривать линейную цепочку из одинаковых реакторов $(N=4$ ), схема которой показана на
Рис. 4.7. Қаскад реакторов с взаимным массообменом.

рис. $4.7 c$, то уравнения баланса массы можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}_{1}=A-(B+1) X_{1}+X_{1}^{2} Y_{1}+D_{1}\left(X_{2}-X_{1}\right), \\
\dot{Y}_{1}=B X_{1}-X_{1}^{2} Y_{1}+D_{2}\left(Y_{2}-Y_{1}\right) \\
\dot{X}_{2}=A-(B+1) X_{2}+X_{2}^{2} \dot{Y}_{2}+D_{1}\left(X_{1}-2 X_{2}+X_{3}\right) \\
\dot{Y}_{2}=B X_{2}-X_{2}^{2} Y_{2}+D_{2}\left(Y_{1}-2 Y_{2}+Y_{3}\right) \\
\dot{X}_{3}=A-(B+1) X_{3}+X_{3}^{2} Y_{3}+D_{1}\left(X_{2}-2 X_{3}+X_{4}\right) \\
\dot{Y}_{3}=B X_{3}-X_{3}^{2} Y_{3}+D_{2}\left(Y_{2}-2 Y_{3}+Y_{4}\right) \\
\dot{X}_{4}=A-(B+1) X_{4}+X_{4}^{2} Y_{4}+D_{1}\left(X_{3}-X_{4}\right) \\
\dot{Y}_{4}=B X_{4}-X_{4}^{2} Y_{4}+D_{2}\left(Y_{3}-Y_{4}\right) .
\end{array}
\]

Эти дифференциальные уравнения можно представить в форме (4.2.1), положив
\[
\mathbf{x}=\left(X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, X_{3}, Y_{3}, X_{4}, Y_{4}\right), \mathbf{p}=\left(A, B, D_{1}, D_{2}\right) .
\]

Совершенно аналогично можно построить модели для систем реакторов, соединенных различными способами, например, для линейной цепочки из пяти и более реакторов, для замкнутого кольца из реакторов, для гексагональной структуры из шести реакторов, расположенных по окружности с одним центральным реактором, и т. д. Читатель может легко вывести соответствующие уравнения, используя формулу (P8-1).

4.2.9. Задача 9. Система типа «брюсселятор»
с изменяющимся во времени впуском

Схема модельной реакции «брюсселятор» может быть использована при исследовании свойств нелинейных неавтономных систем, т. е. систем, для которых время входит в правые части соответствующих дифференциальных уравнений явным образом [4.37].

Будем предполагать, что концентрация исходного вещества А не постоянна, а меняется во времени по следующему закону:
\[
c_{A}=A+a \sin \omega t .
\]

Тогда изменение концентраций промежуточных продуктов $X$ и $Y$ в одном реакторе описывается уравнениями, аналогичными (P7-1) и (P7-2):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d t}=X^{2} Y-(B+1) X+A+a \sin \omega t, \\
\frac{d Y}{d t}=B X-X^{2} Y,
\end{array}
\]

или
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}), \quad \mathbf{x}=(X, Y), \quad \mathbf{p}=(A, B, a, \omega) .
\]

4.2.10. Задача 10. Модель Лоренца

Рассмотрим слой жидкости, изображенный на рис. 4.8. В направлении вертикальной оси слой имеет толщину $H$, в горизонтальных направлениях размеры слоя считаются бесконечными. Будем предполагать, что жидкость имеет свободную поверхность и что тепло, возникающее за счет внутреннего трения в жидкости, пренебрежимо мало. Будем предполагать, далее, что распределения скоростей и температуры, возникающие из-за разности температур $\Delta T$, могут быть описаны системой дифференциальных уравнений с частными производными в приближении Буссинеска (в частности, являются постоянными плотность, коэффиџиенты вязкости и теплопроводности, см.

$[4.38,4.40,4.52])$. Эту систему можно аппроксимировать системой обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых в результате разложения полей температур и скоростей течения в ряды Фурье [4.52]. Лоренц [4.40] применил очень простую аппроксимацию, в которой используется всего три
Рис. 4.8. Слой жидкости, нагреваемый снизу (к модели Лоренца).

члена этих разложений. При этом он получил следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\sigma y-\sigma x, \\
\dot{y}=-x z+r x-y, \\
\dot{z}=x y-b z .
\end{array}
\]

Здесь переменная $x$ отвечает одной из компонент скорости, а переменные $y, z$ соответствуют членам разложения температуры в ряд Фурье. Параметр $\sigma$ представляет собой число Прандтля, а параметр $r$-число Рэлея. В векторной форме (4.2.1) мы имеем
\[
\mathbf{x}=(x, y, z), \quad \mathbf{p}=(\sigma, r, b) .
\]

Тривиальное стационарное решение системы (Р10-1), $x=$ $=y=z=0$, соответствует случаю передачи тепла с помощью теплопроводности, когда жидкость покоится и температурный профиль оказывается линейным. Два других стационарных решения системы (P10-1) имеют вид
\[
x=y= \pm[b(r-1)]^{1 / 2}, \quad z=r-1 .
\]

Эти решения соответствуют простому конвективному течению, изображенному на рис. 4.8.

За последние десять лет модель Лоренца превратилась в наиболее изученную модель возникновения хаотического движения жидкости [4.40]. При этом в большинстве работ исследуется обычно изменение характера решения (возникновение периодического решения определенного типа или же появление хаотического решения) в зависимости от изменения параметра $r$ (числа Рэлея).