Рассмотрим уравнение
\[
f(x, \alpha)=0, \quad x \in \mathrm{R}^{1} .
\]

Далее, пусть $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right) \in \mathrm{S}(f)$ (т. е. $f\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)=0$ ) и
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)=\frac{\partial f}{\partial \alpha}\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)=0 .
\]

Предположим также, что по крайней мере одна частная производная второго порядка от функции $f$ в точке $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ отлична от нуля.

Разложим функцию $f$ с помощью формулы Тейлора в окрестности точки ( $\left.x^{*}, \alpha^{*}\right)$. Учитывая, что $f\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)=0$, а также соотношения (3.2.2), получаем
\[
\begin{array}{l}
f(x, \alpha)=\frac{1}{2}\left[A\left(x-x^{*}\right)^{2}+2 B\left(x-x^{*}\right)\left(\alpha-\alpha^{*}\right)+\right. \\
\left.\quad+C\left(\alpha-\alpha^{*}\right)^{2}\right]+o\left[\left(x-x^{*}\right)^{2}+\left(\alpha-\alpha^{*}\right)^{2}\right]=0,
\end{array}
\]

гдѐ
\[
A=\frac{\partial^{2} f\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)}{\partial x^{2}}, \quad B=\frac{\partial^{2} f\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)}{\partial x \partial \alpha}, \quad C=\frac{\partial^{2} f\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)}{\partial \alpha^{2}} .
\]

Разделим соотношение (3.2.3) на $\left(\alpha-\alpha^{*}\right)^{2}$ или $\left(x-x^{*}\right)^{2}$. и осуществим предельный переход $(x, \boldsymbol{\alpha}) \rightarrow\left(x^{*}, \boldsymbol{\alpha}^{*}\right),(x, \boldsymbol{\alpha}) \in$

$\in \mathrm{S}(f)$, см. [3.1]. При этом мы получим уравнение
\[
A\left(\frac{d x}{d \alpha}\right)^{2}+2 B \frac{d x}{d \alpha}+C=0,
\]

или
\[
A+2 B \frac{d \alpha}{d x}+C\left(\frac{d \alpha}{d x}\right)^{2}=0 .
\]

Здесь $d x / d \alpha$ – угловой коэффициент касательной к дуге, проходящей через точку $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$, если мы рассматриваем $x$ как функцию $\alpha$, или же $d \alpha / d x$ – угловой коэффициент касательной, если мы считаем $\alpha$ функцией от $x$.
Рис. 3.3. Поведение решений в окрестности критической точки.
Рассмотрим теперь уравнения (3.2.4) и (3.2.5).
Случай I. $A
eq 0$. Тогда решение уравнения (3.2.4) имеет вид
\[
\left(\frac{d x}{d \alpha}\right)_{1,2}=\frac{-B \pm \sqrt{B^{2}-A C}}{A} .
\]

Обозначим $D=B^{2}-A C$. Если $D<0$, то точка ( $x^{*}, \alpha^{*}$ ) является изолированной точкой множества $S(f)$ (из нее не выходит ни одна кривая). Если же $D>0$, то в этом случае уравнение (3.2.4) имеет два вещественных решения – это означает, что в окрестности точки ( $\left.x^{*}, \alpha^{*}\right)$ множество $S(f)$ состоит из двух пересекающихся дуг. Или: в точке $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ сходятся четыре ветви стационарных решений (см. рис. 3.3a).

Случай II. $A=0, C
eq 0$. Тогда уравнение (3.2.5) имеет два решения
\[
\left(\frac{d \alpha}{d x}\right)_{1}=0 \text { и }\left(\frac{d \alpha}{d x}\right)_{2}=-\frac{2 B}{C} .
\]

В этом случае множество $S(f)$ в окрестности точки $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ также состоит из двух пересекающихся дуг (рис. $3.3 b$ ). Одна из них имеет в этой точке вертикальную касательную: $\left(x^{*}, \alpha^{*}\right)$ «точка поворота» для этой ветви. Такой случай отвечает бифуркации типа «вилка» и обычно встречается в системах, обладающих симметрией.