Для систем с сосредоточенными параметрами пространство их состояний представляло собой конечномерное пространство $R^{n}$. В случае систем с распределенными параметрами переменные, описывающие их состояние, являются функциями пространственных переменных и, следовательно, представляют собой элементы некоторого подходящим образом выбранного бесконечномерного пространства. Целый ряд задач математической физики, гидродинамики, устойчивости конструкций, химической технологии и биотехнологии (эти примеры не исчерпывают всего перечня) можно представить в виде систем с распределенными параметрами. С математической точки зрения эти задачи чаще всего описываются интегральными уравнениями, уравнениями в частных производных или их комбинациями с обыкновенными дифференциальными уравнениями и алгебраическими соотношениями. В этой главе мы рассмотрим задачи, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями параболического типа с одной пространственной переменной. Вводные сведения о таких уравнениях приведены выше, в гл. 2. Читателю, который захочет ознакомиться с теорией таких уравнений более глубоко, мы рекомендуем книгу [2.32]. Несмотря на ограниченность класса проблем, описываемых такими математическими моделями, эти описания охватывают довольно большое количество технических задач (особенно из области тепло- и массообмена при химических превращениях), а также ряд биологических проблем и задач гидродинамики. Многие из описываемых здесь методов легко обобщаются на соответствующие двумерные и трехмерные задачи, однако тогда затраты машинного времени, необходимого для численного решения этих задач, существенно возрастают.

Очень часто системы с распределенными параметрами преобразуют в системы с сосредоточенными параметрами. При этом обычно используется метод прямых (см. п. 6.4.5) совместно с методом Галеркина, методом коллокаций или каким-либо разностным методом высокой точности [6.1, 6.2]. Иногда для указанного преобразования используются и так называемые спектральные методы [6.3]. При уменьшении погрешности аппроксимации (например, при выборе более мелкого шага дискретизации) возрастает размерность получающихся систем с сосредоточенными параметрами. Тем не менее для некоторых типов задач даже весьма грубая аппроксимация дает удивительно хорошие (качественно правильные) результаты [6.4].

В данной главе читатель познакомится с методами вычисления стационарных решений, нахождения зависимости этих стационарных решений от параметра и отыскания вещественных и комплексных бифуркаций. Будут также рассмотрены методы динамического моделирования (численного решения) параболических уравнений, методы нахождения периодических решений и, наконец, построение соответствующих эволюционных диаграмм.