В этом параграфе мы рассмотрим три основных типа бифуркаций фазовых портретов в окрестности положений равновесия. Ими являются:
(1) Бифуркация типа седло-узел,
(2) Бифуркация Андронова-Хопфа,
(3) Бифуркация с потерей симметрии.

2.2.1. Бифуркации типа седло – узел ${ }^{1)}$

Начнем с простого примера. Рассмотрим 1-параметрическое дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=x^{2}+\alpha, \quad x \in \mathrm{R}, \quad \alpha \in \mathrm{R} .
\]

Фазовые портреты уравнения (2.2.1) представлены на рис. 2.13.
Из рисунка видно, что уравнение (2.2.1) при $\alpha<0$ имеет два положения равновесия $x^{(1)}(\alpha)=-\sqrt{|\alpha|}, x^{(2)}(\alpha)=+\sqrt{|\alpha|}$. одно из которых, а именно $x^{(1)}$, является устойчивым, а другое, $x^{(2)}$, – неустойчивым. При $\alpha=0$ существует одно положение
Рис. 2.13. Фазовые портреты уравнения (2.2.1).

равновесия $x_{0}=0$, а при $\alpha>0$ положения равновесия отсутствуют. Таким образом, значение $\alpha=0$ является бифуркационным значением параметра.

Когда параметр $\alpha$ возрастает, приближаясь к 0 слева ( $\alpha \rightarrow$ $\rightarrow-0$ ), устойчивое и неустойчивое положения равновесия приближаются друг к другу, при $\alpha=0$ они сливаются, а при $\alpha>0$ одновременно исчезают. Можно сказать, что эти положения равновесия при слиянии аннигилируют, взаимно уничтожаются. (Это похоже на процесс аннигиляции позитрона и электрона.)

Более наглядно бифуркацию типа седло-узел можно описать, построив зависимость положений равновесия уравнения (2.2.1) от параметра $\alpha$. При этом мы получим изображенную

на рис. 2.14 диаграмму, которую будем называть диаграммой (стационарных) решений уравнения (2.2.1). Точки параболы $\alpha=-x^{2}$ изображают состояния равновесия уравнения (2.2.1). Верхняя ветвь параболы представляет собой ветвь неустойчивых положений равновесия, нижняя ветвь- устойчивых.

В случае реальной системы, описываемой уравнением (2.2.1), система стабилизируется в устойчивом состоянии равновесия, так что о существовании другого, неустойчивого состояния равновесия мы, как правило, ничего не знаем. При переходе
Рис. 2.14. Диаграмма стационарных решений уравнения (2.2.1).

параметра $\alpha$ через бифуркационное значение $\alpha=0$ слева направо это устойчивое состояние равновесия внезапно исчезает. Наоборот, если параметр $\alpha$ переходит через бифуркационное значение $\alpha=0$ справа налево, то в этом случае у нас внезапно появляется одно устойчивое состояние равновесия системы.

Замечание 2.3. Линеаризуя уравнение (2.2.1) в окрестности положений равновесия $x_{1}(\alpha)=-\sqrt{|\alpha|}$ и $x_{2}(\alpha)=+\sqrt{|\alpha|}$, получаем
\[
\dot{z}=-2 \sqrt{|\alpha|} z \quad \text { и } \dot{z}=2 \sqrt{|\alpha|} z .
\]

Поскольку уравнение (2.2.1) является одномерным, обе матрицы линеаризации имеют порядок 1 и их собственные числа равны соответственно $\lambda_{1}(\alpha)=-2 \sqrt{|\alpha|}$ и $\lambda_{2}(\alpha)=2 \sqrt{|\alpha|}$, причем
\[
\lim _{\alpha \rightarrow-0} \lambda_{1}(\alpha)=\lim _{\alpha \rightarrow-0} \lambda_{2}(\alpha)=0 .
\]

Матрица линеаризации в состоянии равновесия $x=0$ (соответствующем бифуркационному значению параметра $\alpha=0$ ) имеет нулевое собственное число.

В общем, $n$-мерном случае, если для некоторого положения равновесия матрица линеаризации имеет одно собственное число, равное нулю, бифуркация происходит аналогично: при изменении параметра положение равновесия либо исчезает, либо расщепляется на два новых положения равновесия. Можно доказать, что это утверждение справедливо для «почти всех» 1-параметрических систем дифференциальных уравнений с $n$-мерным фазовым пространством.

Рис. 2.15. Бифуркация типа «седло-узел» для 1-параметрической системы
\[
\dot{x}_{1}=x_{1}^{2}+\alpha, \quad \dot{x}_{2}=-x_{2} \text {. }
\]

На рис. 2.15 изображена бифуркация типа «седло-узел» для двумерного случая. Из рис. 2.15 видно, что при $\alpha<0$ система имеет два положения равновесия, одно из которых есть седло, а другое – узел. Эти точки при $\alpha \rightarrow-0$ приближаются друг к другу и при $\alpha=0$ сливаются вместе в так называемое «седло-узел». Отсюда и возникло название «бифуркация типа седло-узел».

2.2.2. Бифуркации Андронова – Хопфа

Начнем снова с простейшего примера-рассмотрим бифуркацию положения равновесия для следующей 1-параметрической системы двух дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\alpha x_{1}-x_{2}-x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right), \quad \cdot=\frac{d}{d t}, \\
\dot{x}_{2}=x_{1}+\alpha x_{2}-x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Система (2.2.4) имеет положение равновесия $x=(0,0)$ при любых значениях параметра $\alpha$. Исследуем его устойчивость при различных значениях $\alpha \in \mathbb{R}$.

Матрица линеаризованной системы в точке $\mathbf{x}=(0,0)$ имеет вид
\[
\left[\begin{array}{rr}
\alpha, & -1 \\
1, & \alpha
\end{array}\right]
\]

она имеет комплексные собственные числа
\[
\lambda_{1,2}(\alpha)=\alpha \pm i .
\]

Следовательно, при $\alpha<0$ состояние равновесия $\mathbf{x}=(0,0)$ представляет собой устойчивый фокус, а при $\alpha>0$ – неустойчивый фокус. При $\alpha=0$ собственные числа располагаются на мнимой оси, и об устойчивости состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.

Для исследования фазового портрета системы (2.2.4) удобно преобразовать ее к полярным координатам. Положим
\[
x_{1}=r \cos \varphi, \quad x_{2}=r \sin \varphi
\]

и продифференцируем левые и правые части соотношений (2.2.7) по времени, считая переменные $r$ и $\varphi$ функциями $t$. Мы получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\dot{r} \cos \varphi-r \dot{\varphi} \sin \varphi, \\
\dot{x}_{2}=\dot{r} \sin \varphi+r \dot{\varphi} \cos \varphi .
\end{array}
\]

После подстановки в уравнения (2.2.4) и простых преобразований получаем систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{r}=r\left(\alpha-r^{2}\right) \\
\dot{\varphi}=1 .
\end{array}\right.
\]

Из второго уравнения следует, что переменная $\varphi$ играет роль времени ( $\varphi=t+t_{0}$ ) и что наиболее существенная информация о структуре траекторий содержится в уравнении (2.2.9).

Положения равновесия уравнения (2.2.9) суть решения уравнения
\[
r\left(\alpha-r^{2}\right)=0 ; \quad r \geqslant 0 .
\]

Таким образом, одно положение равновесия $r_{1}=0$ существует при любых значениях параметра $\alpha$. При $\alpha \leqslant 0$ других положений равновесия нет.

При $\alpha>0$ уравнение (2.2.9) имеет еще одно состояние равновесия $r_{2}=\sqrt{\alpha}$, которое является устойчивым.

Положение равновесия $r_{1}=0$ уравнения (2.2.9) отвечает положению равновесия $\mathbf{x}=(0,0)$ системы (2.2.4), тогда как положение равновесия $r_{2}=\sqrt{\alpha}$ соответствует устойчивой замкну-

той траектории системы (2.2.4), а именно окружности радиуca $\sqrt{\boldsymbol{\alpha}}$.

Таким образом, при переходе параметра $\alpha$ через нуль слева направо устойчивый фокус становится неустойчивым, и от него отделяется замкнутая траектория, диаметр которой растет пропорционально величине $\sqrt{\alpha}$.

Такое явление называется бифуркацией Андронова-Хопфа (или бифуркацией рождения цикла); схема его изображена на рис. 2.16.

Бифуркация Андронова-Хопфа устанавливает связь между потерей устойчивости положений равновесия и возникновением периодических решений в системах дифференциальных уравнений.

В реальных системах бифуркация Андронова-Хопфа возникает довольно часто. В приложения удобно наглядно представлять бифуркацию Андронова-Хопфа, изображая графически зависимость отдельных фазовых переменных от времени (см. рис. 2.17, который соответствует рис. 2.16). В экспериментах при значениях параметра, близких к критическому, возникающее периодическое решение мало отличается от стационарного решения, поскольку его амплитуда очень мала и может теряться в экспериментальном шуме.

Пример 2.7. Процесс бифуркации для 1-параметрической системы дифференциальных уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\alpha x_{1}-x_{2}+x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) ; \\
\dot{x}_{2}=x_{1}+\alpha x_{2}+x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)
\end{array}
\]

изображен на рис. 2.18. Возникающая здесь замкнутая траектория является неустойчивой.

Про бифуркацию Андронова-Хопфа, происходящую по сценарию рис. 2.16, говорят, что в этом случае происходит мягкая потеря устойчивости положения равновесия. Здесь система под действием постоянно присутствующих малых возмущений переходит сначала из неустойчивого состояния равновесия на «малую» устойчивую периодическую траекторию, так что изменение поведения системы оказывается постепенным, «мягким». Другая возможность изображена на рис. 2.18. Здесь с возрастанием параметра область притяжения устойчивого фокуса (и амплитуда неустойчивого периодического решения) уменьшается, и при исчезновении периодической траектории положение равновесия становится неустойчивым. Из него система под действием малого возмущения переходит в некоторый более отдаленный стационарный режим (часто – периодический) и, следовательно,

Рис. 2.16. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай мягкой потери устойчи́вости).

Рис. 2.17. Бифуркация Андронова-Хопфа: временная зависимость для одной из переменных.

Рис. 2.18. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай жесткой потери устойчивости).

при малом изменении параметра (в окрестности его бифуркационного значения) происходит сильное изменение состояния системы. Это явление называется жесткой потерей устойчивости.

Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа в 1-параметрической $n$-мерной системе дифференциальных уравнений даются следующей теоремой.
Теорема (Хопфа). Пусть система
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}, \quad \alpha \in \mathrm{R}^{\mathrm{t}}
\]

имеет положение равновесия $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ при любых значениях параметра $\alpha$. Далее, пусть матрица линеаризации при значениях $\alpha$ в некоторой окрестности $\alpha_{0}$ имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел $\lambda_{1,2}(\alpha)=\xi(\alpha) \pm i \omega(\alpha)$, причем
\[
\xi\left(\alpha_{0}\right)=0, \quad \omega\left(\alpha_{0}\right)=\omega_{0}>0, \quad \frac{d \xi}{d \alpha}\left(\alpha_{0}\right)
eq 0 .
\]

Кроме того, предположим, что остальные $n-2$ собственных чисел имеют ненулевые вещественные части.

Тогда при $\alpha=\alpha_{0}$ от нулевого положения равновесия ответвляется однопараметрическая система замкнутых траекторий, отвечающих периодическим решениям периода $T(\alpha) \approx 2 \pi / \omega_{0}$, $\left(T(\alpha) \rightarrow 2 \pi / \omega_{0}\right.$ при $\left.\alpha \rightarrow \alpha_{0 .}-P e \partial.\right)$. Замкнутые траектории могут ответвляться либо при $\alpha<\alpha_{0}$, либо при $\alpha>\alpha_{0}$.

2.2.3. Бифуркации при наличии симметрии

Если дифференциальные уравнения описывают реальный процесс, обладающий некой симметрией, то эта симметрия проявится в дифференциальных уравнениях и тем самым окажет влияние на бифуркации.

Пример 2.8. Рассмотрим 1-параметрическое дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x, \alpha), \quad x \in \mathrm{R},
\]

правая часть которого удовлетворяет соотношению $f(-x, \alpha)=$ $=-f(x, \alpha)$, т. е. функция $f$ является нечетной по переменной $x$. Чтобы понять, что дает такой вид симметрии, выберем простейший вид $f, f(x, \alpha)=\alpha x-x^{3}$, и исследуем бифуркационные явления в полученном уравнении
\[
\dot{x}=\alpha x-x^{3} .
\]

Положение равновесия найдем, решая уравнение
\[
\alpha x-x^{3}=0,
\]

т. е. $x^{(1)}=0$ – состояние равновесия при любых $\alpha \in \mathrm{R}$ и $x^{2,3}=$ $= \pm \sqrt{\alpha}$ при $\alpha>0$. Таким образом, уравнение (2.2.14) при $\alpha \leqslant 0$ имеет одно устойчивое положение равновесия $x_{1}=0$. При $\alpha>0$ это состояние равновесия становится неустойчивым, и от него ответвляются два устойчивых состояния равновесия $x^{(2)}=\sqrt{\alpha}, x^{(3)}=-\sqrt{\alpha}$. Соответствующие портреты показаны на
Рис. 2.19. Фазовые портреты уравнения (2.2.14).

рис. 2.19, а диаграмма стационарных решений уравнения (2.2.14) представлена на рис. 2.20. Учитывая форму этой диаграммы, описанную бифуркацию называют иногда бифуркацуией типа вилки. Случай, описанный в примере 2.8, можно

Рис. 2.20. Диаграмма стационарных решений – бифуркация типа «вилка».
включить в более общее рассмотрение дифференциальных уравнений с симметрией. Дадим формальное определение.

Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение (систему)
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}
\]

и пусть $\boldsymbol{\varphi}(t, \mathbf{x})$ – его фазовый поток. Если существует диффеоморфизм $\mathbf{g}: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathrm{R}^{n}$, такой, что для всех $\mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}$ имеет место соотношение
\[
\mathbf{f}(\mathbf{g}(\mathbf{x}))=\frac{d \mathbf{g}(\mathbf{x})}{d \mathbf{x}} \mathbf{f}(\mathbf{x}),
\]

то мы говорим, что дифференциальное уравнение (2.2.15) инвариантно по отношению к диффеоморфизму $\mathbf{g}$ или, кратко, $\mathbf{g}$-инвариантно. Диффеоморфизм $\mathbf{g}$ мы называем симметрией уравнения (2.2.15), а о самом дифференциальном уравнении говорим как о дифференциальном уравнении с симметрией ${ }^{11}$.

Если теперь мы имеем $k$-параметрическую систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \alpha), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{n}, \quad \alpha \in \mathrm{R}^{k},
\]
$\mathbf{g}$-инвариантную для каждого $\alpha$, то мы говорим, что система (2.2.17) представляет собой $k$-параметрическую систему дифференциальных уравнений с симметрией $g$.

Пример 2.9. Рассмотрим 1-параметрическую систему (2.2.17) при $n=1$ и положим $g(x)=-x$. Формула (2.2.16) в этом случае принимает вид $f(-x, \alpha)=-f(x, \alpha)$. Уравнение $\dot{x}=$ $=f(x, \alpha) g$-инвариантно, если функция $f(x, \alpha)$ нечетна по переменной $x$ (ср. с примером 2.8).

Для фазового потока $\varphi$ уравнения (2.2.15) с симметрией $\mathbf{g}$ при любых $t \in \mathrm{R}$ и $x \in \mathrm{R}^{n}$ имеет место соотношение
\[
\varphi(t, \mathbf{g}(\mathbf{x}))=\mathbf{g}(\varphi(t, \mathbf{x})) .
\]

Следствие из формулы (2.2.18):
Если $\gamma$ есть траектория уравнения (2.2.15), то $\mathbf{g}(\gamma)$ также является траекторией уравнения (2.2.15).

В частности, это утверждение справедливо и для положений равновесия. В этом, собственно, и заключается сущность бифуркации типа вилки, описанной в примере 2.8: с отщеплением состояния равновесия $x=\sqrt{\alpha}$ от нулевого состояния равновесия появляется также симметричное ему положение равновесия $g(\sqrt{\alpha})=-\sqrt{\alpha}$.

Решение $\mathbf{g}$-инвариантного дифференциального уравнения, траектория которого $\gamma$ удовлетворяет соотношению
\[
\mathbf{g}(\gamma)=\gamma,
\]

называется симметричным решением.
В примере 2.8 симметричным решением является стационарное решение, соответствующее нулевому положению равновесия $(x(t) \equiv 0$ ).

Обратимся вновь к рис. 2.20. Если двигаться в направлении возрастания параметра $\alpha$, то в точке $\alpha=0$ происходит качественное изменение характера симметрии стационарных решений. При $\alpha<0$ устойчивое стационарное решение является $g$-симметричным, в то время как при $\alpha>0$ соответствующее устойчивое стационарное решение этим свойством уже не обладает.

Таким образом, речь здесь идет о потере симметрии устойчивых решений при бифуркации (английский термин «sуmmetry breaking»). Это явление возникает, к примеру, в хорошо известной модели Лоренца (см. задачу 10).
Уравнения Лоренца
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=\sigma(y-x), \\
\dot{y}=-y+r x-x z, \\
\dot{z}=-b z+x y
\end{array}\right.
\]

как легко проверить, инвариантны по отношению к линейному отображению ${ }^{2}$ і
\[
\mathbf{g}(x, y, z)=(-x,-y, z) .
\]