6.7.1. Методом стрельбы решить краевую задачу, возникающую при анализе задачи 16, а именно, редуцированную задачу, описываемую соотношениями (6.1.21), (6.1.16a, c). Выбрать начальное условие в виде
\[
y(0)=\eta_{1}
\]
и воспользоваться методом Ньютона (элементы матрицы Якоби следует вычислять с помощью уравнений в вариациях). Решить эту задачу при следующих значениях параметров: $\gamma=20, a=0, \beta=0,1, \Phi=1, \mathrm{Sh} \rightarrow \infty$. Значения начальных приближений для $\eta_{1}$ выбирать в интервале $(0,1 ; 1)$. Окончательные значения $\eta_{1}=0,37453$ и $y^{\prime}(1)=1,23081$. Попробуйте
решить данную задачу как задачу Коши на отрезке от $r=1$ до $r=0$, полагая $y^{\prime}(1)=\tilde{\eta}_{1}$, и покажите, что задача чрезвычайно чувствительна к точности выбора $\tilde{\eta}_{1}$.
6.7.2. Составить программу метода отображения параметра для задачи 13 с ГУ 1 при следующих значениях параметров: $\mu=0,0035 ; \quad v=0,0045 ; \quad \rho_{0}=0,0006 ; \quad c=0,05 ; \quad c^{\prime}=0,025 ; \rho=$ $=\rho^{\prime}=3,2, D_{\mathrm{x}} \rightarrow 0, D_{\mathrm{y}}=1$. Построить зависимость $y^{\prime}(0)=\eta$ от $L$. (Для контроля: при $\eta=400$ величина $L$ должна приблизительно равняться 30.) Использовать тот же самый метод для случая ГУ 2 и $D_{\mathrm{x}} \rightarrow 0$. (Для контроля: при $y^{\prime}(0)=200$ величина $L$ должна приблизительно равняться 38,1 .)
6.7.3. С помощью метода отображения параметра построить зависимость решения уравнения Треша
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=n \operatorname{sh}(n y)
\]
с граничными условиями
\[
y(0)=0, \quad y(1)=1
\]
от параметра $n$. Указание: использовать подстановку
\[
Y=n y, \quad \xi=n x
\]
и выбрать начальное условие в виде $d Y(0) / d \xi=\eta[6.8]$.
6.7.4. Построить бифуркационную диаграмму первичных бифуркаций для задачи 11 в плоскости параметров $~ \rho \rho-L » ; \rho=$ $=D_{x} / D_{y}$ при $A=2, D_{x}=0,0016, B=4,6$.
6.7.5. Построить бифуркационную диаграмму первичных бифуркаций для задачи 13 в плоскости параметров $« \rho-L ; \rho^{\prime}=$ $=\rho, \quad \mu=0,0035, \quad v=0,0045, \quad \rho_{0}=6.10^{-4}, \quad c=0,05, \quad c^{\prime}=0,025$, $D_{\mathrm{x}}=0,01, D_{\mathrm{y}}=0,45$. Показать, что существуют только «вещественные» бифуркационные длины.
6.7.6. С помощью методики, описанной в п. 6.3.2.2, рассчитать точку поворота на диаграмме стационарных решений задачи 11, изображенной на рис. 6.3 или 6.4. При вычислении производных в третьей строке матрицы Якоби для метода Ньютона можно воспользоваться соответствующими разностными формулами. Выбор начального приближения произвести на основе указанных рисунков.
6.7.7. Составить программу для динамического моделирования (т. е. для численного решения задачи Коши. – Ред.) уравнений (6.4.30) – аппроксимации для задачи 16. Рассчитать и построить соответствующие фазовые портреты для значений $\mathrm{Lw}=1 ; 2,5 ; 3 ; 4 ; 5$ при следующих значениях остальных параметров: $\gamma=20, \beta=0,2, \Phi=1,5, \mathrm{Nu} \rightarrow \infty, \mathrm{Sh} \rightarrow \infty, a=2$. Показать, что существует такое значение $\mathrm{Lw}^{*}$, что при $\mathrm{Lw}>$
$>$ Lw* $^{*}$ единственное стационарное решение теряет устойчивость и возникает устойчивое периодическое решение.
При значениях параметров $\gamma=20, \beta=0,4, a=2$ данная задача имеет три стационарных решения для интервала значений Ф ( 0,65$)$. Построить фазовые портреты для указанного случая при $\mathrm{Lw}=1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 5$. Покажите, что существует значение $\mathrm{Lw}^{*}$, при котором одно из стационарных решений теряет устойчивость. Затем постройте фазовый портрет для значения $\mathrm{Lw}$, которое на 0,1 превышает Lw*. При этом вокруг указанного стационарного решения возникает периодическое решение. Для динамического моделирования используйте какой-либо из методов, описанных в § 5.7, лучше всего с автоматическим изменением шага интегрирования.
