2.4.1. Гетероклинические и гомоклинические траектории

Под гетероклинической траекторией системы $\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ мы понимаем траекторию, которая «выходит» из одного состояния равновесия $\mathbf{x}_{0}$ и «входит» в другое состояние равновесия системы $\mathbf{x}_{1}$ (см. рис. 2.31). Точнее говоря, если существует точка $\mathbf{z} \in \mathrm{R}^{n}$, такая, что для решения $\varphi_{z}(t)$ системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ имеют

место соотношения
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty} \varphi_{\mathbf{z}}(t)=\mathbf{x}_{0} \quad \text { и } \quad \lim _{t \rightarrow \infty} \varphi_{\mathbf{z}}(t)=\mathbf{x}_{1},
\]

то траектория этого решения называется гетероклинической.
Замечание. На рис. 2.31 изображены три траектории: $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)=$ $=\left\{\mathbf{x}_{0}\right\}$ – одноточечная, $\gamma\left(\mathbf{x}_{1}\right)=\left\{\mathbf{x}_{1}\right\}$ – также одноточечная и $\gamma(\mathbf{z})$ – гетероклиническая.

Рис. 2.31. Гетероклиническая траектория.

Гомоклиническая траектория представляет собой траекторию, которая «выходит» и «входит» в одно и то же состояние равновесия $\mathbf{x}_{0}$ (рис. 2.32). Если $\boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{z}}(t)$ – решение, соответствующее этой траектории, то
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty} \varphi_{\mathbf{z}}(t)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \boldsymbol{\varphi}_{\mathbf{z}}(t)=\mathbf{x}_{0} .
\]

Объединение гомоклинической траектории $\gamma(\mathbf{z})$ и одноточечной траектории $\left\{\mathbf{x}_{0}\right\}$ дает нам замкнутую кривую, которая называется гомоклинной петлей.

2.4.2. Общие траектории

Для описания поведения общей траектории при $t \rightarrow \pm \infty$ удобно ввести понятия $\alpha$ – и $\omega$-предельного множества данной траектории.

Определение 2.6. Пусть $\varphi-$ фазовый поток уравнения $\dot{\mathbf{x}}=$ $=f(\mathbf{x})$ и $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ – его траектория.
(a) Точку $\mathbf{z} \in \mathrm{R}^{n}$ мы называем $\omega$-предельной точкой траектории $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$, если существует последовательность вещественных чисел $\left\{t_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$, для которой
\[
\lim _{k \rightarrow+\infty} t_{k}=+\infty
\]

и выполняется соотношение
\[
\lim _{k \rightarrow+\infty} \Phi\left(t_{k}, \mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{z} .
\]

Множество всех $\omega$-предельных точек данной траектории $\gamma$ обозначают $\omega(\gamma)$ и называют $\omega$-предельным множеством траектории $\gamma$.
(b) Точку $a \in \mathrm{R}^{n}$ мы называем $\alpha$-предельной точкой траектории $\gamma\left(\mathbf{x}_{0}\right)$, если существует последовательность вещественных чисел $\left\{t_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$, для которой
\[
\lim _{k \rightarrow+\infty} t_{k}=-\infty
\]

и выполняется соотношение
\[
\lim _{k \rightarrow+\infty} \boldsymbol{\varphi}\left(t_{k}, \mathbf{x}_{0}\right)=\mathbf{a} .
\]

Множество всех $\alpha$-предельных точек данной траектории $\gamma$ мы называем $\alpha$-предельным множеством траектории $\gamma$ и обозначаем $\alpha(\gamma)$.
Рис. 2.33.
Замечание. С помощью введенных понятий гетероклиничеекую траекторию можно определить следующим образом: траектория $\gamma$ гетероклиническая, если $\alpha(\gamma)=\left\{\mathbf{x}_{0}\right\}$ и $\omega(\gamma)=\left\{\mathbf{x}_{1}\right\}$, где $\mathbf{x}_{0}, \mathbf{x}_{1}\left(\mathbf{x}_{0}
eq \mathbf{x}_{1}\right)$ – положения равновесия системы. Аналогично, траектория $\gamma$ является гомоклинической, если $\alpha(\gamma)=$ $=\omega(\gamma)=\left\{\mathrm{x}_{0}\right\}$.
$\mathrm{C}$ помощью $\alpha$ – и $\omega$-предельных множеств можно «визуализировать» асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений (рис. 2.33). Так, например, на рис. 2.33 w-пре-

дельным множеством траектории $\gamma_{0}$ является замкнутая траектория $\gamma_{1}$, т. е.
\[
\omega\left(\gamma_{0}\right)=\gamma_{1} \text {. }
\]

2.4.3. Возникновение гомоклинной петли

Механизм возникновения петли можно наблюдать в 1-параметрической двумерной системе дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\alpha}), \quad \mathbf{x} \in \mathrm{R}^{2}, \quad \boldsymbol{\alpha} \in[0,1] .
\]

Пусть при $\alpha \in(0,1]$ система (2.4.5) имеет периодическое решение $\mathrm{p}_{\alpha}(t)$, траектория которого $\gamma_{\alpha}$ при $\alpha \rightarrow+0$ «приближается» к состоянию равновесия $\mathbf{x}_{0}$, представляющему собой седло
Рис. 2.34. Возникновение гомоклинической петли Г.
(см. рис. 2.34). При $\alpha=0$ периодическая траектория «превращается» в гомоклинную петлю. Если теперь двигаться по рис. 2.34 справа налево (т. е. увеличивать $\alpha$ от 0), то мы увидим возникновение периодической траектории из гомоклинной петли. Механизм возникновения гомоклинной петли может быть и иным; например, состояние равновесия может возникнуть на замкнутой траектории.

Замечание. В окрестности гомоклинных петель в трехмерном или многомерном фазовом пространстве обычно существуют хаотические инвариантные множества (см. п. 2.5.2).