4.1.1. Соотношения баланса

Выделим некоторый элемент объема и запишем соотношение баланса для какой-нибудь физической величины (например, для массы одного из компонентов в смеси веществ). Пусть скорость поступления рассматриваемой величины в выделенный элемент объема есть $\mathbf{P}$, скорость ее возникновения $\mathbf{R}$, а ее общее количество в данном объеме $\mathbf{M}$. Тогда $\mathbf{P}, \mathbf{R}$ и $\mathbf{M}$ являются функциями времени, связанными между собой соотношениями
\[
\mathbf{P}+\mathbf{R}=d \mathbf{M} / d t .
\]

В случае сплошной среды величины $\mathbf{P}, \mathbf{R}$ и $\mathbf{M}$ мы должны определить через некоторые плотности. Вектором $\mathbf{p}$ обозначим плотность потока, определенную таким образом, что поток через элемент с поверхностью $d S$ в направлении нормали к ней $\mathbf{n}$ равен $\mathbf{p} \cdot \mathbf{n} d S$. Аналогичным образом скорость возникновения величины $\mathbf{r}$ рассчитывается на единицу объема, так что в элементе объема $d V$ скорость возникновения оказывается равной

$\mathbf{r} \cdot d V$. Наконец, величина $\mathbf{M}$ описывается концентрацией $\mathbf{m}$. Пусть теперь $\Omega$ — произвольная область сплошной среды с кусочно-гладкой поверхностью $\partial \Omega$ (внешнюю нормаль к этой поверхности обозначим через $\mathbf{n}$ ). Тогда имеет место соотношение
\[
-\int_{\partial \boldsymbol{\Omega}} \mathbf{p} \cdot \mathbf{n} \cdot d S+\iiint_{\Omega} \mathbf{r} \cdot d V=\frac{\partial}{\partial t} \iiint_{\Omega} \mathbf{m} \cdot d V .
\]

Используя формулу Грина и перенося все члены равенства (4.1.2) в одну сторону (область $\Omega$ фиксирована, и поэтому можно поменять порядок интегрирования и дифференцирования), мы получаем
\[
\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{p}-\mathbf{r}\right] d V=0 .
\]

В силу произвольности области $\Omega$ должно выполняться соотношение
\[
-\operatorname{div} \mathbf{p}+\mathbf{r}=\frac{\partial \mathbf{m}}{\partial t} .
\]

Уравнения балансов могут быть также записаны для движущегося элемента объема (см. [4.8], [4.9] ).

4.1.2. Модель реактора проточного типа с перемешиванием
В качестве примера построим математическую модель химического реактора проточного типа с перемешиванием. Рассмотрим цилиндрический сосуд объемом $V$, снабженный охлаждающим кожухом объемом $V_{\text {с }}$ (см. рис. 4.1a). В реактор подаются в виде растворов компоненты реакционной смеси $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots, \mathrm{A}_{k}$ с объемными притоками $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{k}$, а из реактора отводятся продукты реакции $\mathrm{A}_{k+1}, \mathrm{~A}_{k+2}, \ldots, \mathrm{A}_{s}$ вместе с непрореагировавшими компонентами реакционной смеси, имеющие суммарный объёмный расход на выходе $F$ (очевидно, что $F=F_{1}+F_{2}+\ldots$ $\ldots+F_{k}$ ). В реакторе происходит химическая реакция, описываемая стехиометрическим соотношением
\[
\sum_{j=1}^{s} v_{j} \cdot A_{j}=0,
\]

где стехиометрические коэффициенты веществ, вступающих в реакцию $v_{1}, \ldots, v_{k}$, отрицательны, а стехиометрические коэффициенты продуктов реакции $v_{k+1}, \ldots, v_{s}$ положительны. В полностью перемешиваемый объем охлаждающей среды $V_{c}$

поступает хладагент с объемным расходом $F_{\text {c и }}$ с температурой $T_{\text {с0 }}$. Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
— перемешивание реакционной смеси и охлаждающей среды является полным, в результате чего молярные концентрации реагирующих компонент $c_{j}$, температура реагирующей смеси и температура охлаждающей среды $T$ не зависят от координат и могут быть только функциями времени;
Рис. 4.1.

а) Реактор проточного типа с перемешиванием.
б) Температуры в резервуаре.
— объемы $V$ и $V_{\text {c }}$, притоки $F_{f}$, расход на выходе $F$, расход $F_{\mathrm{c}}$, температура реакционной смеси на входе $T_{0}$ и охлаждающей смеси на входе $T_{\text {со }}$ являются постоянными;
— работа, совершаемая при перемешивании реакционной смеси и охлаждающей среды, с точки зрения баланса энергии пренебрежимо мала;
— скорость реакции представляет собой такую функцию $r\left(c_{1}, \ldots, c_{s}, T\right)$, что изменение числа молей компоненты реакции $\mathrm{A}_{j}$ на единицу объема равно $v_{j} r$;
— удельная теплоемкость реакционной смеси $C_{p}$ (на единицу объема) постоянна.

Обозначим температуру внутренней стенки реактора через $T_{\mathrm{wi}}$, а температуру внешней стенки — через $T_{\mathrm{w} 0}$; предположим далее, что в соответствии с законом охлаждения Ньютона тепловой поток на единицу поверхности задается выражениями вида $\alpha_{\mathrm{i}}\left(T-T_{\mathrm{wi}}\right)$ и $\alpha_{0}\left(T_{0}-T_{\mathrm{c}}\right)$, где $\alpha_{0}$ и $\alpha_{\mathrm{i}}$ — коэффициенты теплоотдачи на внешней и внутренней поверхностях теплообменной стенки (при этом мы считаем их постоянными).
Используя общее уравнение баланса (4.1.1), где
\[
\mathbf{P}=F_{j} c_{j 0}-F c_{j}, \quad \mathbf{R}=v_{j} V r \quad \text { и } \quad \mathbf{M}=V c_{j},
\]

находим
\[
V \frac{d c_{j}}{d t}=F_{j} c_{j 0}-F c_{j}+v_{j} \operatorname{Vr}\left(c_{1}, \ldots, c_{s}, T\right) .
\]

Если обозначить через $h_{j}(T)$ молярную энтальпию компоненты $\mathrm{A}_{j}$ и пренебречь работой, совершаемой при перемешивании, то, применяя аналогичным образом закон сохранения энергии (см. [4.8], [4.5]), получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(\sum_{j}=\sum_{j=1}^{s}\right) \\
\quad V \frac{d}{d t} \sum_{j} c_{j} h_{j}=\sum F_{j} c_{j 0} h_{j 0}-F \sum c_{j} h_{j}-S_{1} \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{i}}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $h_{j 0}$ обозначает энтальпию компоненты на входе в реактор, $S_{1}$ представляет собой суммарную внутреннюю поверхность теплообмена и $\bar{T}_{i}$ — среднюю температуру внутренней поверхности стенки.

Преобразуем теперь уравнение (4.1.7), вычтя из него сумму уравнений, получаемых из (4.1.6) путем умножения на соответствующую величину $h_{i}$. В результате мы получим соотношение вида
\[
V \sum_{j} c_{j} \frac{d h_{j}}{d t}=\sum_{i} F_{j} c_{j 0}\left(h_{j 0}-h_{j}\right)-\left(\sum_{j} v_{j} h_{j}\right) V r-S_{1} \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{i}}\right) .
\]

Здесь $\sum_{j} v_{j} h_{j}=\Delta H_{r}$ — теплота реакции.
Далее можно записать
\[
\sum_{j} c_{j} \frac{d h_{j}}{d t}=\sum_{j} c_{i} c_{p j} \frac{d T}{d t}=C_{p} \frac{d T}{d t},
\]

где $c_{p j}$ — молярная теплоемкость компоненты $A_{j}$, а $C_{p}$-теплоемкость реакционной смеси на единицу объема. Считая $C_{p}$ постоянным и положив
\[
\sum_{j} F_{j} c_{j 0}\left(h_{j 0}-h_{j}\right)=F C_{p}\left(T_{0}-T\right),
\]

мы в конечном счете получим
\[
V C_{p} \frac{d T}{d t}=F C_{p}\left(T_{0}-T\right)+\left(-\Delta H_{r}\right) \operatorname{Vr}\left(c_{\mathrm{i}}, \ldots, c_{s} T\right)-S_{1} \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{i}}\right) .
\]

Запишем теперь уравнения баланса для процесса теплопередачи через стенку. Предположим, что стенка имеет форму полого цилиндра и что она занимает область $W$ с внутренней и внешней поверхностями $S_{\mathrm{i}}$ и $S_{0}$ соответственно (рис. 4.1b). Для температуры материала стенки $T_{\mathrm{w}}$ можно написать уравнение
\[
\rho_{\mathrm{W}} c_{\mathrm{PW}} \frac{\partial T_{\mathrm{W}}}{\partial t}=\lambda_{\mathrm{W}}
abla^{2} T_{\mathrm{W}},
\]

где $\rho_{\mathrm{w}}, c_{p \mathrm{w}}, \lambda_{\mathrm{w}}$ — соответственно плотность, удельная теплоемкость (на единицу объема) и коэффициент теплопроводности стенки. Граничные условия для уравнения (4.1.10) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{\mathrm{W}} \frac{\partial T_{\mathrm{W}}}{\partial \mathrm{n}}=\alpha_{\mathrm{i}}\left(T_{\mathrm{Wi}}-T\right) \text { на } S_{1}, \\
\lambda_{\mathrm{W}} \frac{\partial T_{\mathrm{W}}}{\partial \mathbf{n}}=\alpha_{0}\left(T_{\mathrm{c}}-T_{\mathrm{W} 0}\right) \text { на } S_{0},
\end{array}
\]

где $\partial / \partial \mathbf{n}$ — производная в направлении нормали к $S_{1}$ или $S_{0}$. Уравнение баланса энергии для охлаждающей среды имеет вид
\[
V_{c} C_{p c} \frac{d T_{c}}{d t}=F_{c} C_{p c}\left(T_{c 0}-T_{c}\right)+S_{0} \alpha_{0}\left(\bar{T}_{W 0}-T_{c}\right) .
\]

Здесь $C_{p c}$-теплоемкость охлаждающей жидкости на единицу объема, а $\bar{T}_{\text {wo }}$ — средняя температура наружной стенки реактора.

Уравнения (4.1.6), (4.1.9), (4.1.10), (4.1.13) с граничными условиями (4.1.11), (4.1.12) и соответствующими начальными условиями образуют систему из $s+2$ обыкновенных дифференциальных уравнений и одного дифференциального уравнения с частными производными.

Описанная модель сравнительно сложна по своей структуре. Ее можно упростить, вводя различного рода упрощающие предположения.

4.1.2.1. Упрощенная модель стационарного режима

Прежде всего предположим, что система находится в стационарном состоянии. Тогда мы получаем уравнение Лапласа для температуры $T_{\mathrm{w}}$ вместе с системой алгебраических уравнений.

Из уравнения Лапласа нетрудно вывести следующее соотношение, означающее равенство потоков тепла:
\[
S_{1} \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{Wi}}\right)=S_{0} \alpha_{0}\left(\bar{T}_{\mathrm{w} 0}-T_{c}\right),
\]

где величины, отмеченные черточками, представляют собой соответствующие средние температуры. Комбинируя (4.1.14) и (4.1.13), получим соотношение для скорости отвода тепла $Q_{c}$ в виде
\[
\dot{Q}_{c}=F_{c} C_{p c}\left(T_{c}-T_{c 0}\right)=S_{0} \alpha_{0}\left(\bar{T}_{\mathrm{W} 0}-T_{c}\right)=S_{1} \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{W} \mathrm{t}}\right) .
\]

Отсюда находим
\[
T-T_{c 0}=\dot{Q}_{c}\left[\frac{1}{F_{c} C_{p c}}+\frac{1}{\alpha_{0} S_{0}}+\frac{1}{\alpha_{\mathrm{i}} S_{1}}+\frac{\bar{T}_{\mathrm{Wi}}-\bar{T}_{\mathrm{W} 0}}{\dot{Q}_{c}}\right] .
\]

Если толщина стенки равна $d_{\mathrm{w}}$, а диаметр реактсра гораздо больше, чем $d_{\mathrm{W}}$, то приближенно $S_{0}=S_{1}=S$ и $\dot{Q}_{c}=\lambda_{\mathrm{W}} S\left(\bar{T}_{\mathrm{Wi}}-\right.$ — $\left.\bar{T}_{\mathrm{wo}}\right) / d_{\mathrm{w}}$, откуда
\[
\dot{Q}_{c}=U S\left(T-T_{c 0}\right), \quad \left\lvert\, U=\left\{\frac{S}{F_{c} C_{p c}}+\frac{1}{\alpha_{0}}+\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{d_{\mathrm{W}}}{\lambda_{\mathrm{W}}}\right\}^{-1} .\right.
\]

Стационарное состояние реактора описывается теперь уравнением баланса массы (4.1.17) (см. (4.1.6)) и уравнением баланса энтальпии (вытекающим из уравнений (4.1.9) и (4.1.16)).
\[
\begin{array}{l}
F_{j} c_{j 0}-F c_{j}+v_{j} \operatorname{Vr}\left(c_{1}, \ldots, c_{s}, T\right)=0, \quad j=1, \ldots, s, \quad(4.1 .17) \\
F C_{p}\left(T_{0}-T\right)+\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) \operatorname{Vr}\left(c_{1}, \ldots, c_{s}, T\right)-U S\left(T-T_{c 0}\right)=0 .
\end{array}
\]

4.1.2.2. Упрощенные модели нестационарного режима

Будем считать теперь, что температура стенки $T_{\mathrm{W}}$ во всех ее точках приблизительно одинакова и зависит только от времени. Тогда вместо уравнения теплопроводности (4.1.10) можно записать обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее ясный физический смысл (уравнение баланса тепла); его можно получить также предельным переходом $\lambda_{\mathrm{w}} \rightarrow \infty$ из (4.1.10):
\[
V_{\mathrm{w}} \rho_{\mathrm{W}} C_{p \mathrm{~W}} \frac{d T_{\mathrm{W}}}{d t}=\alpha_{\mathrm{i}} S_{1}\left(T-T_{\mathrm{w}}\right)+\alpha_{0} S_{0}\left(T_{c}-T_{\mathrm{w}}\right) .
\]

Таким образом, мы получили модель нестационарного режима работы реактора, представляющую собой систему $s+3$ обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1.6), (4.1.9), (4.1.13) и (4.1.19).

Другую модель мы получим, если $\lambda_{\mathrm{w}}$ имеет конечное значение, а теплоемкость стенки реактора пренебрежимо мала. Если предположить к тому же, что толщина стенки гораздо меньше,

чем диаметр реактора, то из условия равенства тепловых потоков получим
\[
\begin{aligned}
\dot{Q}_{c} & =S \alpha_{0}\left(\bar{T}_{\mathrm{W} 0}-T_{c}\right)=S \lambda_{\mathrm{W}}\left(\bar{T}_{\mathrm{Wi}}-\bar{T}_{\mathrm{W} 0}\right) / d_{\mathrm{W}}= \\
& =S \alpha_{\mathrm{i}}\left(T-\bar{T}_{\mathrm{Wi}}\right)=S U_{1}\left(T-T_{c}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $U_{1}$ — суммарный коэффициент переноса тепла:
\[
U_{1}=\left(\frac{1}{\alpha_{0}}+\frac{d_{\mathrm{W}}}{\lambda_{\mathrm{W}}}+\frac{1}{\alpha_{\mathrm{i}}}\right)^{-1} .
\]

В этом случае мы получаем модель нестационарного режима работы реактора, состоящую из $s+2$ обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. $s$ уравнений вида (4.1.6), а также уравнений
\[
\begin{array}{r}
V C_{p} \frac{d T}{d t}=F C_{p}\left(T_{0}-T\right)+\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) \operatorname{Vr}\left(c_{1}, \ldots, c_{s}, T\right)-S U_{\mathrm{1}}\left(T-T_{c}\right), \\
V_{c} C_{p c} \frac{d T_{c}}{d t}=F_{c} C_{p c}\left(T_{c 0}-T_{c}\right)+S U_{1}\left(T-T_{c}\right) .
\end{array}
\]

Из анализа вышеприведенных моделей видно, что характер модели и размерность задачи в значительной степени определяются выбранными предположениями.

4.1.2.3. Приведение модели к безразмерному виду

Существенным шагом в процессе преобразования модели является приведение ее к безразмерному виду. При этом часто достигается уменьшение числа параметров.

Проиллюстрируем этот подход на примере алгебраических уравнений (4.1.17), (4.1.18), описывающих упрощенную модель стационарного режима работы реактора. Предположим, что есть одна необратимая реакция $n$-го порядка типа $\mathrm{A} \rightarrow$ продукты реакции с соотношением для скорости реакции вида $r=$ $=k \cdot C_{\mathrm{A}}^{n}$. Здесь константа скорости реакции $k$ задается в форме Аррениуса, т. е.
\[
k(T)=k\left(T_{0}\right) \exp \left\{-\frac{E}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{0}}\right)\right\} .
\]

Мы получаем следующие два алгебраических уравнения для $c_{\mathrm{A}}$ и $T$ (учтя, что $F_{\mathrm{A}}=F$ )
\[
\begin{array}{c}
F c_{\mathrm{A} 0}-F c_{\mathrm{A}}-k \cdot c_{\mathrm{A}}^{n} \cdot V=0 \\
F C_{p}\left(T_{0}-T\right)+\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) V k c_{\mathrm{A}}^{n}-U S\left(T-T_{c 0}\right)=0 .
\end{array}
\]

Укажем теперь некоторые возможности перевода модели в безразмерную форму. Отнесем все величины (переменные и параметры) к соответствующим характерным значениям. Прежде всего введем характерную температуру [4.10]:
\[
T_{\mathrm{m}}=\frac{T_{0}+a T_{c 0}}{1+a}, \quad \text { где } \quad a=\frac{U S}{F C_{p}} .
\]

В предельном случае адиабатического режима ( $U=0$ ) $a=0$ и $T_{\mathrm{m}}=T_{0}$. Безразмерные концентрацию (u) и температуру $(y)$ определим так:
\[
u=\frac{c_{\mathrm{A}}}{{ }_{\mathrm{A} 0}}, \quad y=\frac{T}{T_{\mathrm{m}}} .
\]

Введем безразмерные параметры: тепловыделение $\beta$, число Дамкёлера $\mathrm{Da}$, безразмерную э ергию активации $\gamma$.
\[
\beta=\frac{\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) c_{\mathrm{A} 0}}{C_{p} T_{\mathrm{m}}(1+a)}, \quad \mathrm{Da}=\frac{v k\left(T_{\mathrm{m}}\right) C_{\mathrm{A} 0}^{n-1}}{F} . \quad \gamma=\frac{E}{R T_{\mathrm{m}}} .
\]

Уравнения баланса (4.1.23), (4.1.24) после перехода к переменным (4.1.25) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
1-u-\text { Da } u^{n} \exp \left[\gamma\left(1-\frac{1}{y}\right)\right]=0, \\
1-y+\beta \text { Da } u^{n} \exp \left[\gamma\left(1-\frac{1}{y}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]

Умножая уравнение (4.1.26) на $\beta$ и складывая результат с уравнением (4.1.27), нетрудно найти соотношение между безразмерной концентрацией и температурой:
\[
u=(1+\beta-y) / \beta .
\]

При подстановке этого соотношения в уравнение (4.1.27) мы получаем одно уравнение относительно безразмерной температуры $y$, описывающее установившийся режим работы реактора:

где
\[
y-1=\beta^{1-n} \operatorname{Da} f(y)
\]
\[
f(y)=(1+\beta-y)^{n} \exp [\gamma(1-1 / y)] .
\]

Безразмерное уравнение (4.1.29) описывает также химические системы, отличающиеся по физическим свойствам от рассматриваемой. Например, уравнения баланса массы и энтальпии, описывающие необратимую реакцию $n$-го порядка в частице пористого катализатора, в случае отсутствия значительных

градиентов концентрации и температуры внутри частицы имеют вид
\[
\begin{array}{c}
k_{\mathrm{c}} S_{\mathrm{x}}\left(c_{\mathrm{A} 0}-c_{\mathrm{A}}\right)-V_{\mathrm{p}} k(T) c_{\mathrm{A}}^{n}=0, \\
h S_{\mathrm{x}}\left(T_{0}-T\right)+\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right) V_{\mathrm{p}} k(T) c_{\mathrm{A}}^{n}=0 .
\end{array}
\]

Здесь $k_{c}, h$-коэффициенты массо- и теплоотдачи на внешней поверхности частицы, $S_{\mathrm{x}}$ — площадь внешней поверхности частицы, $V_{\mathrm{p}}$ — объем частицы, а $c_{\mathrm{A} 0}$ и $T_{0}$ — концентрация и температура в ядре жидкости, обтекающей частицу (т. е. в невозмущенной жидкости. — Перев.). Вводя определения
\[
\beta=\frac{k_{\mathrm{c}} c_{\mathrm{A} 0}\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right)}{h T_{0}}, \quad \mathrm{Da}=\frac{V_{p} k\left(T_{0}\right) c_{\mathrm{A} 0}^{n}}{S_{\mathrm{x}} k_{\mathrm{c}} c_{\mathrm{A} 0}},
\]

из соотношений (4.1.30) и (4.1.31) мы вновь получаем уравнение (4.1.29).

Здесь число Дамкёлера Da есть отношение прореагировавшего количества вещества А (при $T=T_{\mathrm{A} 0}$ и $c=c_{\mathrm{A} 0}$ ) к максимально возможному потоку массы этого вещества через поверхность.

Таким образом, одна безразмерная система уравнений описывает несколько различных с физической точки зрения задач.

4.1.2.4. Анализ числа стационарных режимов (решений уравнения (4.1.29))
Рассмотрим сначала эндотермические реакции, для которых $\left(-\Delta H_{\mathrm{r}}\right)<0, \beta<0$. При этом левая часть уравнения (4.1.29) представляет собой монотонно возрастающую, а правая частьмонотонно убывающую функцию $y$. Таким образом, в данном случае может существовать не более одного стационарного состояния для любых значений критерия Da.

Рассмотрим теперь экзотермическую реакцию ( $-\Delta H_{\mathrm{r}}>0$, $\beta>0$ ). Перепишем уравнение (4.1.29) в виде
\[
F(y)=\frac{f(y)}{y-1}=\frac{\beta^{n-1}}{D \mathrm{a}} .
\]

Если предположить, что $u \in(0 ; 1)$, то из формулы (4.1.28) следует, что $y \in(1 ; 1+\beta)$. Если функция $F(y)$ будет монотонно убывать на промежутке $(1 ; 1+\beta)$, то при всех значениях $\mathrm{Da}$ будет существовать единственное решение. Для реакции первого порядка это будет иметь место в случае, когда
\[
\gamma \beta \leqslant 4(1+\beta),
\]

а для реакции произвольного положительного порядка ( $n>0$ ) при условии
\[
\Gamma(y)=(n-1) y^{3}+y^{2}(\beta+\gamma+1-n)-y \gamma(2+\beta)+\gamma(1+\beta) \geqslant 0 .
\]

Рассмотрим теперь условия существования нескольких стационарных решений. Если критерий однозначности (4.1.35) выполняется не для всех значений числа $\mathrm{Da}$, то функция $F(y)$ при $y \in(1 ; 1+\beta)$ имеет локальный минимум и максимум (см.
Рис. 4.2. Минимум и максимум функции $F(y)$.

рис. 4.2). Таким образом, существуют три стационарных состояния для значений числа Дамкёлера в диапазоне
\[
\frac{F\left(y_{\min }\right)}{\beta^{n-1}}<\frac{1}{\mathrm{Da}}<\frac{F\left(y_{\max }\right)}{\beta^{n-1}} .
\]

Например, для реакции первого порядка оказывается
\[
y_{\max , \min }=\frac{\gamma(2+\beta) \pm \sqrt{(\gamma \beta[\gamma \beta-4(1+\beta)])}}{2(1+\beta)} .
\]

Анализу возможности существования нескольких стационарных состояний и примерам их возникновения в задачах теории горения и в моделях реакторов разных типов посвящена обширная литература [4.12-4.21].