Рассматриваемые в задачах этого параграфа цепочки частиц, соединенных пружинками, представляют собой простейшие модели, используемые в теории твердого тела (см., например, [18]). Электрические аналоги таких цепочек – искусственные линии, находящие применение в радиотехнике (см., например, [16]).
Рис. 41
Рис. $42 \mathrm{a}$
7.1. Определить нормальные колебания системы $N$ одинаковых частиц массы $m$, связанных одинаковыми пружинками жесткости $k$ и могущих двигаться по прямой (рис. 41).

УкАЗАниЕ. Удобно искать нормальные колебания в виде суперпозиции бегущих волн.
7.2 a. То же для системы (рис. 42 a), один из концов которой свободен.
7.2 б. Определить нормальные колебания системы $N$ плоских маятников, подвешенных друг к другу (рис. 42б). Массы всех маятников одинаковы, длины равны $N l,(N-1) l, \ldots, 2 l, l$, считая сверху.
7.3. Найти свободные колебания $N$ частиц, соединенных пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 43).
Рис. 42 б
Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой бегущую по кольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейной плотности энергии на групповую скорость.
7.4. Определить свободные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой:
a) $2 N$ частиц с массами $m$ и $M$, соединенных одинаковыми пружинками жесткости $k$ (рис. 44);
б) $2 N$ частиц с массами $m$, соединенных пружинками жесткости $k$ и $K$ (рис. 45);
в) $2 N+1$ частиц с массами $m$, соединенных пружинками жесткости $k$ и $K$ (рис. 46). См. указание к задаче 7.1.
7.5. a) Найти установившиеся колебания системы, описанной в задаче 7.1, если точка $A$ движется по закону $a \cos \gamma t$ (рис. 41).
б) То же для системы, изображенной на рис. 42.
7.6. То же для системы рис. 44.
7.7. Найти нормальные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой и соединенных пружинками, если
a) $m_{i}=m
eq m_{N}, i=1,2, \ldots, N-1$, жесткости пружинок одинаковы (рис. 47); исследовать случаи $m_{N} \gg m$ и $m_{N} \ll m$;
б) $k_{i}=k
eq k_{N+1}, i=1,2, \ldots, N$, все частицы одинаковы (рис. 48); исследовать случаи $k_{N+1} \gg k$ и $k_{N+1} \ll k$.
Рис. 47
Рис. 48
7.8. $\quad$ а) $N$ маятников связаны пружинками и могут двигаться лишь в вертикальной плоскости, проходящей через горизонтальную линию подвеса (рис. 49). Найти нормальные колебания системы, если все маятники и пружинки одинаковы и в положении равновесия длина пружинки равна расстоянию между точками подвеса соседних маятников.
б) Найти вынужденные колебания системы рис. 49 , если на последнюю
Рис. 49
Рис. 50

частицу действует вынуждающая сила $F(t)=F \sin \gamma t$ параллельно линии подвеса.
в) $2 N$ одинаковых маятников связаны одинаковыми пружинками и могут двигаться лишь в вертикальных плоскостях, перпендикулярных круговой линии подвеса (рис. 50). Расстояние между соседними точками подвеса равно $a$. Длина каждой из пружинок в нерастянутом состоянии равна $b$. Исследовать, как зависит устойчивость малых колебаний вблизи вертикали от значения параметра $b-a$. Радиус окружности линии подвеса $R$ считать достаточно большим, так чтобы малыми величинами $l / R, a / R, b / R$ можно было пренебречь.
Рис. 52
7.9. а) К одному концу искусственной линии рис. 51 подключен источник переменного напряжения $U \cos \gamma t$. Какую цепочку $Z$ из сопротивления $R$ и индуктивности $\mathscr{L}_{0}$ (или емкости?) следует подключить к другому концу линии, чтобы колебания в линии представляли собой бегущую волну, т. е. чтобы напряжение на каждом из конденсаторов отличалось от напряжения на соседнем только определенным сдвигом фазы?
б) То же для искусственной линии рис. 52.
7.10. Упругий стержень можно представить как предельный случай системы $N$ частиц (см. рис. 41) при условии $N \rightarrow \infty, a \rightarrow 0$, причем $N m=$ const и $N a=$ const, где $m-$ масса частицы, $a$ – расстояние между соседними частицами в положении равновесия. Получить уравнения колебаний стержня как предел уравнений движения дискретной системы.

УказАНиЕ. Ввести координату точки стержня $\xi=n a$, а также величины, получаемые при предельном переходе $a \rightarrow 0$
\[
\begin{aligned}
x(\xi, t) & =\lim x_{n}(t), \\
\frac{\partial x}{\partial \xi} & =\lim \frac{x_{n}(t)-x_{n-1}(t)}{a} .
\end{aligned}
\]
7.11. Получить уравнение колебаний стержня предыдущей задачи с учетом первой неисчезающей поправки, связанной с конечностью расстояния $a$ между соседними частицами.