13.1. На нити, пропущенной через колечко $A$ (рис. 64), подвешена частица массы $m$. Определить среднюю силу, действующую на колечко $A$ со стороны нити при малых колебаниях маятника. Найти изменение энергии маятника при медленном вертикальном перемещении колечка.
13.2. Частица движется в прямоугольной потенциальной яме ширины $l$. Найти, как изменяетея энергия частицы при медленном изменении $l$, рассматривая столкновения частицы со «стенкой» ямы.
13.3. Шарик, находящийся в лифте, подскакивает над упругой плитой. Как изменяется максимальная высота, на которую поднимается шарик, когда ускорение лифта медленно изменяется? Как меняется высота, если плита медленно поднимается?
13.4. Как изменяется энергия частицы в поле $U$ при медленном изменении параметров поля?
a) $U=A\left(e^{-2 \alpha x}-2 e^{-\alpha x}\right)$;
б) $U=-\frac{U_{0}}{\operatorname{ch}^{2} \alpha x}$;
в) $U=U_{0} \operatorname{tg}^{2} \alpha x$;
г) $U=A|x|^{n}$.
УКАЗАНИЕ. Может оказаться удобным использовать формулу ([1], §49),
\[
T=2 \pi \frac{\partial I}{\partial E} .
\]
13.5. Частица движется по наклонной
Рис. 65 плоскости $A B$ (рис. 65), упруго отражаясь от стенки в точке $A$. Найти, как изменяется максимальная высота подъема частицы при медленном изменении угла $\alpha$.
13.6. Как изменяется амплитуда колебаний маятника $O A$ (рис. 66), находящегося в наклонной плоскости, при медленном изменении угла $\alpha$ ?
13.7. Найти адиабатический инвариант для математического маятника, не предполагая колебания малыми.
13.8. Вдоль прямой $O A$ (рис. 67) могут двигаться две частицы, представляющие собой упругие шарики малого радиуса, массы которых соответственно $m$ и $M$, причем $m \ll M$. В точке $O$ частица $m$ отражается от упругой стенки. Предполагая, что в начальный момент скорость легкой частицы гораздо больше скорости тяжелой, определить закон движения тяжелой частицы, усредненный по «периоду» движения легкой.
13.9. В этой задаче рассматривается модель иона $\mathrm{H}_{2}^{+}$. Две частицы массы $M$ и находящаяся между ними частица массы $m \ll M$ могут двигаться только вдоль прямой $A B$ (рис. 68). Легкая частица притягивается к каждой из тяжелых с постоянными силами $f$, а при столкновениях отражается упруго. Определить частоту малых колебаний расстояния между тяжелыми частицами (усреднив по движению легкой).
13.10. Решить методом последовательных приближений уравнения задачи $11.1 \mathrm{a}$ для $P$ и $Q$ в случае, когда частота изменяется медленно $\left(|\dot{\omega}| \ll \omega^{2},|\ddot{\omega}| \ll|\dot{\omega}| \omega\right)$, с точностью до первого порядка по $\dot{\omega} / \omega^{2}$ включительно.
В чем преимущество переменных $P, Q$ перед $p, q$ в этом случае?
13.11. Убедиться, что $q=\omega^{-1 / 2} \exp \left(i \int \omega d t\right)$ удовлетворяет уравнению $\ddot{q}+\omega^{2}(t) q=0$ с точностью до первого порядка по $\dot{\omega} / \omega^{2}$ включительно.
13.12. На осциллятор действует сила $F(t)$. Найти зависимость адиабатического инварианта $I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q$ от времени.
13.13. Найти связь между объемом и давлением «газа», состоящего из частиц, которые движутся параллельно ребрам внутри куба, размер которого медленно изменяется.
13.14. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как изменяется энергия частиц, если:
a) размеры параллелепипеда медленно изменяются,
б) параллелепипед медленно поворачивается?
13.15. Частица движется в сфере с упругими стенками, радиус которой медленно изменяется. Как изменяется при этом энергия частицы и угол, под которым она налетает на стенку?
13.16. Как изменяется энергия и траектория частицы, совершающей финитное движение в поле $U(\mathbf{r})$ при медленном изменении коэффициента $\gamma$ ?
a) $U=-\gamma r^{-n}(0<n<2)$;
б) $U=\frac{\mathrm{ar}}{r^{3}}+\frac{\gamma}{r^{4}}$.
13.17. Найти изменение энергии частицы в центральном поле при медленном «включении» малой добавки к полю $\delta U(r)$.
13.18. Найти зависимость от времени энергии системы двух связанных осцилляторов, функция Лагранжа которой имеет вид
\[
L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}-\omega_{1}^{2} x^{2}-\omega_{2}^{2} y^{2}+2 \alpha x y\right)
\]
при медленном изменении $\omega_{1}$. Как изменяется траектория точки $(x, y)$ ?
13.19. Пусть связь осцилляторов в предыдущей задаче мала: $\alpha \ll \omega_{1,2}^{2}$. Показать, что адиабатические инварианты, вычисленные в пренебрежении связью, сохраняются вдали от области вырождения ( $\omega_{1}=\omega_{2}$ ) и резко изменяются при медленном прохождении этой области.
13.20. В какой области $\omega_{1}(t)$ будут сильно меняться адиабатические инварианты осцилляторов, если связь имеет вид $\delta U=\beta x^{2} y$ ?
13.21. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится к ребру двугранного угла $\alpha$ частица, упруго отражающаяся от его граней. На расстоянии $l$ от ребра угол падения частицы на грань равен $\varphi_{0}$.
Задачу решить двумя способами: методом отражений (точно) и с помощью адиабатического инварианта в случае малых $\alpha$ и $\varphi_{0}$.
13.22. Определить границы области, в которой движется между двумя упругими поверхностями $y=0$ и $y=\frac{a \operatorname{ch} \alpha x}{\operatorname{ch} 2 \alpha x}$ частица, вылетевшая из начала координат под углом $\varphi$ к оси $y$ в плоскости $x y(\alpha, \varphi \ll 1)$, и период колебаний вдоль оси $x$.
13.23. Как изменятся радиус и положение центра орбиты заряженной частицы при движении в однородном магнитном поле, медленно изменяющемся по величине? Векторный потенциал выбрать в виде
a) $\mathbf{A}=(0, \mathscr{H} x, 0)$; б) $A_{r}=A_{z}=0, A_{\varphi}=\frac{1}{2} \mathscr{H} r$.
Объяснить, почему результат зависит от выбора $\mathbf{A}$.
13.24. Вычислить адиабатические инварианты для заряженного осциллятора в однородном магнитном поле.
13.25. а) Определить адиабатические инварианты для заряженного анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией $U(\mathbf{r})=\frac{m}{2}\left(\omega_{1}^{2} x^{2}+\omega_{2}^{2} y^{2}+\omega_{3}^{2} z^{2}\right)$ в однородном магнитном поле $\mathscr{H}$, параллельном оси $z$. Векторный потенциал выбрать в виде $\mathbf{A}=(0, \mathscr{H} x, 0)$.
б) Пусть вначале $\mathscr{H}=0$ и траектория осциллятора заполняет прямоугольник $|x| \leqslant a,|y| \leqslant b$. Каким станет его движение, если магнитное поле медленно возрастает до большой величины (такой, что $\omega_{\mathscr{H}}=$ $\left.=e \mathscr{H} / m c \gg \omega_{1,2}\right)$ ?
в) Пусть магнитное поле слабое ( $\omega_{\mathscr{H}} \ll \omega_{1}-\omega_{2}$ ) и вначале осциллятор колеблется почти вдоль оси $x$. Каким станет его движение, если величина $\omega_{1}$, медленно уменьшаясь, достигнет значения $\omega_{1}^{\prime}<\omega_{2}$ такого, что $\omega_{\mathscr{H}} \ll \omega_{2}-\omega_{1}^{\prime}$ ?
13.26. Частица совершает финитное движение в плоскости, перпендикулярной магнитному диполю $\mathfrak{m}$. Как меняется энергия частицы при медленном изменении величины $\mathfrak{m}$ ?
13.27. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси $z$, причем $\mathscr{H}_{\varphi}=0, \mathscr{H}_{z}=\mathscr{H}_{z}(z), \mathscr{H}_{r}=-\frac{r}{2} \mathscr{H}_{z}^{\prime}(z)$.
a) $\mathscr{H}_{z}(z)=\mathscr{H}_{0}\left(1+\lambda \operatorname{th}^{2} \frac{z}{a}\right)$;
б) $\mathscr{H}_{z}(z)=\mathscr{H}_{0}\left(1+\frac{z^{2}}{a^{2}}\right)$.
13.28. Как изменяются энергия электрона и период его колебаний вдоль оси $z$ в магнитной ловушке, описанной в предыдущей задаче при медленном изменении параметров поля $\mathscr{H}_{0}, \lambda, a$ ?
13.29. Найти изменение энергии частицы в центральном поле $U(\mathbf{r})$ при медленном включении слабого однородного магнитного поля $\mathscr{H}$.
13.30. Как известно, при наличии вырождения движения увеличивается число однозначных интегралов движения. Указать интегралы движения в поле
\[
U=\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x^{2}+4 y^{2}\right) .
\]
13.31. Найти переменные действие-угол для следующих систем:
a) осциллятор;
б) частица в поле $U(x)=\left\{\begin{array}{lll}\infty & \text { при } & x<0, \\ x F & \text { при } & x>0 .\end{array}\right.$
13.32. Для частицы в периодическом поле
\[
U(x)=\left\{\begin{array}{l}
0 \text { при } n a<x<\left(n+\frac{1}{2}\right) a, \\
V \text { при }\left(n+\frac{1}{2}\right) a<x<(n+1) a,
\end{array} \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right.
\]
в случае $E>V$ провести каноническое преобразование с производящей функцией
\[
S(x, P)=\int_{0}^{x} \sqrt{2 m|E-U(x)|} d x,
\]
где $E(P)$ выражается из равенства
\[
P=\int_{0}^{a} \sqrt{2 m|E-U(x)|} d x .
\]
