13.1. $E^{2} l=$ const.
Поясним полученный ответ. На колечко $A$ действует сила $\mathbf{F}$, определяемая натяжением нити $T$. При малых углах отклонения маятника $\varphi$ сила
\[
F_{x}=m g \varphi, \quad F_{y}=\frac{1}{2} m g \varphi^{2}
\]

(ось $y$ направлена вертикально вверх, ось $x$ в плоскости колебаний). Так как длина нити $A B=l$ изменяется медленно, можно усреднить силу по периоду колебаний $\varphi=\varphi_{0} \cos \omega t, \omega=\sqrt{g / l}$, считая длину нити постоянной. Получаем
\[
F_{x}=0, \quad F_{y}=\frac{1}{4} m g \varphi_{0}^{2} .
\]

При смещении колечка на $d y=d l$ энергия убывает на $F_{y} d y=\frac{1}{4} m g \varphi_{0}^{2} d l$. Так как $E=\frac{1}{2} m g l \varphi_{0}^{2}$, то
\[
d E=-\frac{1}{2} \frac{E}{l} d l .
\]

Отсюда $E^{2} l=$ const.
13.2. После того, как частица столкнется с обеими стенками, ее скорость $v$ изменяется на $2 i$. Условие медленности означает, что $\mid 2 i \ll v$.
Выберем такое время $\Delta t$, что
\[
\frac{2 l}{v} \ll \Delta t \ll \frac{l}{|\dot{l}|} .
\]

Рис. 175
Такое $\Delta t$ существует в силу условия медленности. За это время произойдет $v \Delta t /(2 l)$ пар столкновений со стенками, и скорость изменится на
\[
\Delta v=-v i \frac{\Delta t}{l} .
\]

Интегрируя, получаем $v l=$ const или $E l^{2}=$ const.
Интересно проследить подробнее как изменяется произведение $v l$. Это легко сделать, воспользовавшись графиками $l(t)$ и $v(t)$ (рис. 175 а,б). График $I=v l$ представлен на рис. 175, , Величина $v l$ колеблется около приблизительно постоянного значения $\langle v l\rangle$, причем амплитуда колебании имеет относительную величину $\frac{\Delta I}{I} \sim \frac{i}{v}$.
Отклонение $\langle v l\rangle$ от постоянной имеет высший порядок малости
\[
\frac{d}{d t}\langle v l\rangle \sim i^{2} .
\]

13.3. Если бы $g(t)=g-a(t)$ было постоянным, то закон движения шарика был бы
\[
z(t)=h-\frac{1}{2} g t^{2} \text { (при }-\sqrt{2 h / g}<t<\sqrt{2 h / g} \text { ). }
\]

Изменение $g(t)$ на $\Delta g$ приводит к изменению потенциальной энергии на $m z \Delta g$, а за период – на $m\langle z\rangle \Delta g$, где $\langle z\rangle=\frac{2}{3} h$ среднее по времени значение $z$.

Изменение полной энергии $\Delta(m g h)$ происходит именно из-за изменения потенциальной энергии. Поэтому $m \Delta g \frac{2}{3} h=\Delta(m g h)$ или $g \Delta h+$ $+\frac{1}{3} h \Delta g=0$, откуда $h \propto g^{-1 / 3}$.

В предложенном выводе мы следуем, по существу, тем же путем, который можно применить в общем случае для доказательства сохранения $\oint p d q$ (см. [1], §49).

Разумеется в этой задаче (как и в других предыдущих) можно было сразу же воспользоваться результатами общей теории.

Если плита медленно поднимается (но $g(t)=$ const), то $h=$ const. Это очевидно, если скорость плиты постоянна (достаточно перейти в систему отсчета, связанную с плитой). Если же скорость изменяется, то результат, согласно общей теории зависящий лишь от высоты подъема плиты, измениться не может. При этом предполагается, что относительное изменение скорости за время $\sqrt{2 h / g}$ мало, плита поднимается плавно.
13.4. $\quad$ a) $E=-A\left(1-\frac{\alpha I}{\sqrt{2 m A}}\right)^{2}$;
б) $E=-U_{0}\left(1-\frac{\alpha I}{\sqrt{2 m U_{0}}}\right)$;
в) $E=\alpha I \sqrt{\frac{2 U_{0}}{m}}+\frac{\alpha I^{2}}{2 m}$;
г) $E=\left[\sqrt{\frac{\pi}{2 m}} \frac{I}{2} A^{1 / n} \Gamma\left(\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right) / \Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{2 n /(n+2)}$.
13.5. $h \propto(\sin \alpha)^{2 / 3}$.
13.6. $\quad a \propto(\sin \alpha)^{-1 / 4}$.
13.7. $I=\frac{8 m l \sqrt{g l}}{\pi}\left[E\left(\sin \frac{\varphi_{0}}{2}\right)-\cos ^{2} \frac{\varphi_{0}}{2} K\left(\sin \frac{\varphi_{0}}{2}\right)\right]$.

13.8. Обозначим через $x$ и $X$ координаты частиц $m$ и $M$, отсчитываемые от точки $O$. Движение легкой частицы можно приближенно рассматривать как движение между двумя стенками, одна из которых перемещается. Поскольку выполняется условие
\[
|\dot{x}| \gg|\dot{X}|
\]

сохраняется усредненное по периоду произведение $|\dot{x}| X=C$ (см. задачу 13.2). Исключая $\dot{x}$ из закона сохранения энергии
\[
\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{M \dot{X}}{2}=E,
\]

находим, что влияние легкой частицы на движение тяжелой равносильно появлению потенциальной энергии $U(X)=\frac{m C^{2}}{2 X^{2}}$. Уравнение $\frac{M \dot{X}^{2}}{2}+U(X)=$ $=E$ приводит к закону движения $X=\sqrt{\frac{m C^{2}}{2 E}+\frac{2 E}{M}(t-\tau)^{2}}$. Постоянные $E, C$ и $\tau$ могут быть определены по начальным значениям $X, \dot{X}$ и $\dot{x}$ (не зависят от $x(0)$ ). После того как условие (1) будет нарушено, предлагаемый способ решения задачи будет неприменим.

Подобное приближение (называемое адиабатическим) находит широкое применение, например, в теории молекул.
13.9. Обозначим координаты тяжелых частиц $X_{1,2}$, а легкой $x$. При $X_{1}<x<X_{2}$ потенциальная энергия
\[
U=\left(x-X_{1}\right) f+\left(X_{2}-x\right) f=\left(X_{2}-X_{1}\right) f .
\]

Поэтому легкая частица свободно движется между тяжелыми, и
\[
|\dot{x}|\left(X_{2}-X_{1}\right)=C=\mathrm{const}
\]
(см. предыдущую задачу). С учетом этого из закона сохранения энергии для относительного движения тяжелых частиц ( $X=X_{2}-X_{1}$ ) получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{M}{4} \dot{X}^{2}+\frac{m C^{2}}{2 X^{2}}+f X=E . \\
\text { Разлагая } U_{\text {эфф }}(X)=\frac{m C^{2}}{2 X^{2}}+f X \text { вблизи минимума } X_{0}=\left(m C^{2} / f\right)^{1 / 3},
\end{array}
\]

находим частоту малых колебаний «иона»
\[
\omega^{2}=\frac{2 U^{\prime \prime}\left(X_{0}\right)}{M}=\frac{6 f}{M X_{0}} .
\]

13.10. В уравнениях для $P$ и $Q$
\[
\dot{Q}=\omega+\frac{\dot{\omega}}{2 \omega} \sin 2 Q, \quad \dot{P}=-P \frac{\dot{\omega}}{\omega} \cos 2 Q
\]

разложим частоту в ряд по $t$. Ограничиваясь поправками первого порядка, получим
\[
\begin{array}{c}
Q=\left(\omega_{0} t+\varphi\right)+\frac{1}{2} \dot{\omega}_{0} t^{2}+\frac{\dot{\omega}_{0}}{2 \omega_{0}} \int_{0}^{t} \sin 2 Q(t) d t \\
P=P_{0}\left(1-\frac{\dot{\omega}_{0}}{\omega_{0}} \int_{0}^{t} \cos 2 Q d t\right)
\end{array}
\]

где $\omega_{0}$ и $\dot{\omega}_{0}-$ значения частоты и ее производной в момент времени $t_{0}=0$, причем $\dot{\omega}_{0}=\varepsilon^{2} \omega_{0}^{2}$ и $\varepsilon \ll 1$.

Фаза $Q$ и амплитуда $A=\sqrt{\frac{2 P}{m \omega_{0}}}$ возмущенного движения относительно мало отличаются от своих невозмущенных значений $Q_{0}=\omega_{0} t+\varphi$ и $A_{0}=\sqrt{\frac{2 P_{0}}{m \omega_{0}}}$ даже Рис. 176 для промежутков времени, много больших периода колебаний $2 \pi / \omega$ ) (рис. 176).

Так, для моментов времени $t \sim 1 / \varepsilon \omega_{0}$ второй член в (1) порядка единицы, а третий – порядка $\varepsilon$, и поэтому
\[
Q=\omega_{0} t+\varphi+\frac{1}{2} \dot{\omega}_{0} t^{2}, \quad P=P_{0} .
\]

Но такое изменение фазы приведет к тому, что в переменных $p, q$ возмущенное движение
\[
q(t)=A_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi+\frac{1}{2} \dot{\omega}_{0} t^{2}\right)
\]

будет существенно отличаться от невозмущенного
\[
q_{0}(t)=A_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right),
\]

так что разница
\[
q(t)-q_{0}(t) \sim q_{0}(t) .
\]

При попытке строить теорию возмущений для переменных $q$ и $p$ мы получим для поправки первого порядка $q_{1}(t)$ уравнение
\[
\ddot{q}_{1}+\omega_{0}^{2} q_{1}=-2 \omega_{0} \dot{\omega}_{0} t A_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right)
\]

с растущей во времени резонансной силой. Поэтому полученное в такой теории решение справедливо лишь для малых промежутков времени порядка нескольких периодов колебаний
\[
\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \ll \frac{1}{\varepsilon \omega_{0}} .
\]
13.12. Преобразуем функцию Гамильтона системы
\[
H(x, p, t)=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}-x F(t)=E(t)
\]

к виду
\[
\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x-\frac{F}{m \omega^{2}}\right)^{2}+\frac{p^{2}}{2 m}-\frac{F^{2}}{2 m \omega^{2}}=E(t) .
\]

Отсюда видно, что фазовая траектория представляет собой эллипс, смещенный вдоль оси $x$ на расстояние $F / m \omega^{2}$, с полуосями
\[
a=\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^{2}}+\frac{F^{2}}{m^{2} \omega^{4}}}, \quad b=\sqrt{2 m E+\frac{F^{2}}{\omega^{2}}} .
\]

Адиабатический инвариант с точностью до множителя $\frac{1}{2 \pi}$ совпадает с площадью этого эллипса
\[
I=\frac{1}{2} a b=\frac{E+\left(F^{2} / 2 m \omega^{2}\right)}{\omega} .
\]

Здесь
\[
E+\frac{F^{2}}{2 m \omega^{2}}
\]

имеет смысл энергии колебаний вблизи смещенного положения равновесия (ср. с задачей 5.16). Подставляя в (2) значение $E$ из (1), можем представить результат в виде
\[
\begin{array}{c}
I=\frac{m}{2 \omega}\left|\dot{x}+i \omega\left(x+\frac{F}{m \omega^{2}}\right)\right|^{2}= \\
=\frac{m}{2 \omega}\left|\frac{1}{m} \int_{0}^{t} e^{i \omega(t-\tau)} F(\tau) d \tau+e^{i \omega t}[\dot{x}(0)+i \omega x(0)]-i \frac{F(t)}{m \omega}\right|^{2} .
\end{array}
\]
(Здесь для величины $\dot{x}+i \omega x$ использованы соотношения (22.9), (22.10) из [1]). Интегрируя по частям, получим
\[
\begin{array}{c}
I(t)=I(0)+\frac{\dot{x}(0)}{\omega^{2}} \int_{0}^{t} F(t) \sin \omega t d t- \\
-\frac{1}{\omega}\left[x(0)-\frac{F(0)}{m \omega^{2}}\right] \int_{0}^{t} \dot{F}(t) \cos \omega t d t+\frac{1}{2 m \omega}\left|\int_{0}^{t} \dot{F}(t) e^{i \omega t} d t\right|^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, если сила изменяется медленно, то $I(t)$ осциллирует вблизи $I(0)$. Если $F(t) \rightarrow$ const при $t \rightarrow \infty$, то полное изменение адиабатического инварианта $I(\infty)-I(0)$ может быть очень малым (см. задачу 5.18).
13.13. $P V^{5 / 3}=$ const.
13.14. а) $E=\frac{\pi^{2}}{2 m}\left(\frac{I_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{I_{2}^{2}}{b^{2}}+\frac{I_{3}^{2}}{c^{2}}\right)$, где $a, b, c$ – длины ребер параллелепипеда, а $I_{k}=$ const.
б) Сохраняются абсолютные величины проекции скорости на каждое из ребер.
13.15. Переменные разделяются в сферических координатах. Момент импульса $\mathrm{M}$ сохраняется строго ( $M_{z}$ является, кроме того, адиабатическим инвариантом, соответствующим углу $\varphi$ ). Адиабатический инвариант для радиального движения
\[
I_{r}=\frac{1}{\pi} \int_{r_{\text {mil }}}^{R} \sqrt{2 m E-\frac{M^{2}}{r^{2}}} d r .
\]

Зависимость $E(R)$ можно выяснить, не вычисляя интеграла (1). Замена $r=R x$ дает
\[
I_{r}=\frac{1}{\pi} \int_{x_{\min }}^{1} \sqrt{2 m E R^{2}-\frac{M^{2}}{x^{2}}} d x=I_{r}\left(E R^{2}, M\right),
\]

откуда $E R^{2}=$ const. Поэтому для угла падения $\alpha$
\[
\sin \alpha=\frac{r_{\min }}{R}=\frac{M}{\sqrt{2 m E} R}=\text { const. }
\]
13.16. а) $E \propto \gamma^{\frac{2}{2-n}}$; б) $E \propto \gamma^{-1}$.
13.17. Приравнивая значения адиабатического инварианта до и после включения поля
\[
\int_{r_{\text {Ilin }}}^{r_{\max }} \sqrt{E-\frac{M^{2}}{2 m r^{2}}-U(r)} d r=\int_{r_{\text {inin }}}^{r_{\max }} \sqrt{E+\frac{M^{2}}{2 m r^{2}}-U-\delta U} d r
\]

получаем
\[
\delta E=\langle\delta U\rangle=\frac{2}{T} \int_{r_{\text {inin }}}^{r_{\max }} \frac{\delta U d r}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{M^{2}}{2 m r^{2}}-U\right)}} .
\]
13.18. $E-I_{1} \Omega_{1}+I_{2} \Omega_{2}$ (обозначения задачи $6.5 \mathrm{a}$ ). Траектория заполняет прямоугольник $\left|Q_{1}\right| \leqslant \sqrt{I_{1} \Omega_{1}^{-1}},\left|Q_{2}\right| \leqslant \sqrt{I_{2} \Omega_{2}^{-1}}$.
Условия применимости теории адиабатических инвариантов:
\[
\left|\dot{\Omega}_{i}\right| \ll \Omega_{i}^{2}, \quad\left|\ddot{\Omega}_{i}\right| \ll \Omega_{i}\left|\dot{\Omega}_{i}\right| \quad(i=1,2) .
\]

Вне области вырождения эти условия сводятся к таким же условиям, наложенным на $\omega_{1}(t)$. В области вырождения ( $\left|\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right| \sim \alpha$ ) второе условие оказывается более жестким и дает $\left|\dot{\omega}_{1}\right| \ll \alpha$ (область вырождения проходится за время, гораздо большее периода биений).
13.19. В отсутствие связи $\alpha x y$ система распадается на два независимых осциллятора с координатами $x$ и $y$. Соответствующие адиабатические инварианты $I_{x}=\frac{E_{x}}{\omega_{1}}, I_{y}=\frac{E_{y}}{\omega_{2}}$, где $E_{x}$ и $E_{y}$ – энергии этих осцилляторов.

При учете связи система состоит из двух независимых осцилляторов с координатами $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Если частота изменяется достаточно медленно, то сохраняются
\[
I_{1}=\frac{E_{1}}{\Omega_{1}}, \quad I_{2}=\frac{E_{2}}{\Omega_{2}} .
\]

Вне области вырождения нормальные колебания сильно локализованы, а именно при $\omega_{1}<\omega_{2}$ оказывается $Q_{1}=x, Q_{2}=y$, а при $\omega_{1}>\omega_{2}$ $Q_{1}=+y, Q_{2}=-x$. Таким образом, при $\omega_{1}<\omega_{2}$ оказывается $I_{x}=I_{1}$, $I_{y}=I_{2}$, при $\omega_{2}<\omega_{1}$ наоборот, $I_{x}=I_{2}, I_{y}=I_{1}$ (рис. 177).

Проиллюстрируем это следующим примером. Два маятника, длина одного из которых может медленно изменяться, связаны пружинкой малой жесткости (рис. 178). При значительной разнице длин маятников $l$ и $L$ нормальные колебания почти совпадают с колебаниями одного или другого маятника.

Пусть вначале маятник $A B$ колеблется с амплитудой $\varphi_{0}$, а маятник $C D-$ с очень малой. При уменьшении $L$ амплитуда колебаний маятника $C D$ остается малой, пока длина его не станет почти равна $l$. При $L \approx l$ амплитуда его возрастает (а при $l=L$ оба маятника будут колебаться с амплитудами, равными $\frac{\varphi_{0}}{\sqrt{2}}$ в противофазе). С дальнейшим убыванием $L$ почти вся энергия перейдет к маятнику $C D$, и амплитуда его станет равной $\varphi_{1}=$ $=\varphi_{0}\left(\frac{l}{L}\right)^{3 / 4}$, как для отдельного маятника.

При сравнительно быстром прохождении области вырождения $\dot{\omega}_{1} \gg \alpha$ подобной перекачки энергии между осцилляторами не происходит. Если, кроме того, $\dot{\omega}_{1} \ll \omega_{1}^{2}, \ddot{\omega}_{1} \ll \omega_{1} \dot{\omega}_{1}$, то сохраняются $I_{x}$ и $I_{y}$.
13.20. Из уравнений движения
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x+2 \beta x y=0, \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y+\beta x^{2}=0,
\end{array}
\]

легко обнаружить, что связь осцилляторов приводит к большой передаче энергии при $2 \omega_{1} \approx \omega_{2}$.

Пусть $x=a(t) \cos \left(\omega_{1} t+\varphi\right), y=b(t) \cos \left(\omega_{2} t+\psi\right)$. Если $a \gg b$, то член $\beta x^{2}=\frac{1}{2} \beta a^{2}+\frac{1}{2} \beta a^{2} \cos \left(2 \omega_{1}+2 \varphi\right)$ в (2) играет роль вынуждающей силы, приводящей к резонансному росту $y$. Если же $a \ll b$, то член $2 \beta x y=$ $=2 \beta b x \cos \left(\omega_{2} t+\psi\right)$ в (1) приводит к параметрической раскачке колебаний $x$. Подробное исследование системы (1) и (2) можно найти в задаче 8.10.
Область резонансного взаимодействия: $\left|2 \omega_{1}-\omega_{2}\right| \lesssim \beta b \omega_{1}^{-1}$.
Сильное резонансное взаимодействие осцилляторов имеет место, вообще говоря, при условиях $n \omega_{1}=m \omega_{2}$, где $n$ и $m$ – целые числа. Однако ширины областей частот, в которых осуществляются эти резонансы, при не очень малых $n$ и $m$ чрезвычайно малы (см. [1], §29). Поэтому их влиянием на движение осцилляторов можно пренебречь при $\dot{\omega}_{1}$ не слишком ма-
Рис. 179
лых (хотя и достаточно малых для того, чтобы можно было использовать теорию адиабатических инвариантов).
13.21. Пусть частица, движущаяся в плоскости $x y$ под малым углом к оси $y(|\dot{x}| \ll|\dot{y}|)$, отражается от оси $x$ и от кривой $y_{0}(x)$ (рис. 179).

Если считать закон движения в направлении оси $x$ известным, то можно исследовать движение в направлении оси $y$, рассматривая $x(t)$ как медленно изменяющийся параметр. Сохраняется адиабатический инвариант $\oint p_{y} d y=$ $=2\left|p_{y}\right| y_{0}(x)=2 \pi I$, и это равенство определяет зависимость $p_{y}(x)$.
Для определения же $x(t)$ можно использовать закон сохранения энергии $m^{2} \dot{x}^{2}+p_{y}^{2}(x)=2 m E$. Минимальное расстояние $x_{\min }$ определяется условием $p_{y}^{2}\left(x_{\min }\right)=2 m E$. Подставляя $y_{0}(x)=x \operatorname{tg} \alpha, 2 \pi I=2 \sqrt{2 m E} l \operatorname{tg} \alpha \cos \varphi_{0}$ получаем $x_{\min }=l \cos \varphi_{0}$.
Решение задачи методом отражений очевидно из рис. 180. Этот метод дает точное решение, применимое при любых углах $\alpha$ и $\varphi_{0}$, но не может быть обобщен Рис. 180 на случаи, когда $y_{0}(x)$ не является прямой.
13.22. $\operatorname{tg} \alpha x_{m}=\operatorname{tg} \varphi, T=\frac{2 \pi}{\alpha v \sqrt{\cos 2 \varphi}}$.

13.23. а) Задача о движении частицы в магнитном поле при указанном выборе векторного потенциала сводится к задаче о движении гармонического осциллятора (см. задачу 10.7). Адиабатический инвариант
\[
I=\frac{E-p_{z}^{2} / 2 m}{\omega} \propto \frac{v_{\perp}^{2}}{\mathscr{H}} \propto \pi a^{2} \mathscr{H},
\]

где $a=\frac{c m v_{\perp}}{e \mathscr{H}}-$ радиус орбиты частицы (см. [2], §21).
Соотношение $I \propto \pi a^{2} \mathscr{H}$ допускает простую интерпретацию: радиус орбиты изменяется так, что поток магнитного поля через площадку, охватываемую ею, остается постоянным. Расстояние центра орбиты от плоскости $y z$, равное $x_{0}=\frac{c p_{y}}{e \mathscr{H}}$ с ростом $\mathscr{H}$ уменьшается.

Возникновение дрейфа орбит связано с появлением электрического поля $\mathscr{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=\left(0,-\frac{1}{c} x \dot{\mathscr{H}}, 0\right)$ при изменении магнитного поля (ср. [2], $\S 22$ ).

Векторы электрического поля $\mathscr{E}$ и скорости $\mathbf{v}_{\text {др }}$ для различных положений орбиты частицы показаны на рис. 181.
б) Функция Гамильтона в цилиндрических координатах
\[
H=\frac{p_{z}^{2}}{2 m}+\frac{p_{r}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2 m r^{2}}\left(p_{\varphi}-\frac{e \mathscr{H}}{2 c} r^{2}\right)^{2} .
\]

Интегралами движения являются $p_{z}$ и $p_{\varphi}$.
Адиабатический инвариант для радиального движения
\[
\pi I_{r}=\int_{r_{\text {Iltax }}}^{r_{\text {min }}^{\text {min }}} \sqrt{2 m E_{\perp}-\frac{1}{r^{2}}\left(p_{\varphi}-\frac{e \mathscr{H}}{2 c} r^{2}\right)^{2}} d r
\]

после замены $r=\mathscr{H}^{-1 / 2} \zeta$ принимает вид
\[
\int_{\zeta_{\min }}^{\zeta_{\max }} \sqrt{\frac{2 m E_{\perp}}{\mathscr{H}}-\frac{1}{\zeta^{2}}\left(p_{\varphi}-\frac{e}{2 c} \zeta^{2}\right)^{2}} d \zeta=\pi I_{r}\left(p_{\varphi}, \frac{E_{\perp}}{\mathscr{H}}\right) \cdot{ }^{\prime}
\]
${ }^{1}$ Интересно, что $I_{r}$ фактически не зависит от $p_{\varphi}$ при $p_{\varphi}>0$. Действительно, $\frac{\partial I_{T}}{\partial p_{\varphi}}$ представляет собой изменение угла $\Delta \varphi$ за время одного радиального колебания, а при $p_{\varphi}>0$ начало координат лежит вне траектории (см. рис. 98, ), и потому $\Delta \varphi=0$.

Поэтому $E_{\perp} / \mathscr{H}=$ const, т. е. энергия поперечного движения изменяется так же, как в пункте а). Расстояние центра орбиты от начала координат
\[
r_{0}=\frac{r_{\text {max }}+r_{\text {min }}}{2}=\frac{\zeta_{\text {max }}+\zeta_{\text {min }}}{2 \sqrt{\mathscr{H}}} \propto \frac{1}{\sqrt{\mathscr{H}}} .
\]

С ростом $\mathscr{H}$ центр орбиты приближается к началу координат (рис. 182).
При изменении $\mathscr{H}$ появляется электрическое поле
\[
\mathscr{E}_{\varphi}=-\frac{r}{2 c} \dot{\mathscr{H}}, \quad \mathscr{E}_{r}=\mathscr{E}_{z}=0,
\]

силовые линии которого представляют собой замкнутые окружности.
В реальных условиях однородное магнитное

Рис. 182 поле может существовать только в ограниченной области пространства. Электрическое поле, появляющееся при изменении магнитного, очень сильно зависит от формы этой области и условий на ее границе (см. [2], § 21). Например, поле, рассмотренное в случае а), осуществляется воллизи проводящей плоскости с током, в случае б) – в соленоиде’.

Сильная зависимость характера движения частицы от слабого поля $\mathscr{E}$ даже в случае предельно малых $\mathscr{H}$ объясняется наличием вырождения (при $\mathscr{H}=$ const периоды движения по двум координатам $x, y$ или $r, \varphi$ совпадают).

Заметим, что величина $E_{\perp} / \mathscr{H}$ оказалась адиабатическим инвариантом в обоих случаях. Можно показать, что этот результат не зависит от выбора $\mathrm{A}$ (см. [2], §21; [8], §25).
13.24. Выбрав векторный потенциал в виде
\[
A_{\varphi}=\frac{r}{2} \mathscr{H}(t), \quad A_{r}=A_{z}=0,
\]

получаем адиабатические инварианты
\[
\begin{array}{c}
I_{z}=\frac{E_{z}}{\omega}, \quad I_{\varphi}=p_{\varphi} \\
I_{r}=\frac{1}{\pi} \int_{\zeta_{\min 1}}^{\zeta_{\max }} \sqrt{C \zeta^{2}-p_{\varphi}^{2}-m^{2} \zeta^{4}} \frac{d \zeta}{\zeta}=I_{r}\left(p_{\varphi}, C\right),
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Изменения электрического поля, связанного с изменением выбора $\mathbf{A}$, не было бы, если бы одновременно был изменен скалярный потенциал на величину $\frac{1}{2 c} \dot{\mathscr{H}} x y$ (градиентное преобразование).

где
\[
C=\frac{2 m E_{\perp}+e \mathscr{H} p_{\varphi} / c}{\sqrt{\omega^{2}+(e \mathscr{H} / m c)^{2}}} .
\]

Таким образом,
\[
E_{z} \propto \omega, \quad E_{\perp}+\frac{e \mathscr{H}}{2 m c} p_{\varphi} \propto \sqrt{\omega^{2}+\left(\frac{e \mathscr{H}}{2 m c}\right)^{2}} .
\]

Векторный потенциал (1) задает магнитное поле, симметричное относительно оси $z$, проходящей через центр осциллятора.
При другом выборе А
\[
A_{x}=A_{z}=0, \quad A_{y}=x \mathscr{H}(t)
\]

получаем фактически другую физическую задачу. Функции Лагранжа в этих двух задачах отличаются на
\[
\delta L=\frac{d}{d t}\left(\frac{e}{2 c} \mathscr{H} x y\right)-\frac{e}{2 c} \dot{\mathscr{H}} x y,
\]
т. е. отличие их, если отбросить в (5) несущественную полную производную по времени, очень мало́.

В предыдущей задаче, где движение было вырождено, именно появление этой добавки приводило к полному изменению направления и скорости дрейфа орбиты. В нашем же случае движение осциллятора при $\mathscr{H}=$ const невырожденное, и добавка может быть отброшена (ср. с задачей 13.19). Поэтому соотношения (3) справедливы и при другом выборе А. При прохождении области вырождения ( $\mathscr{H}=0$ ) соотношения (3) сохраняются только для аксиально-симметричного поля (1). Поведение же осциллятора, например, в поле (4) при прохождении $\mathscr{H}$ через нуль требует дополнительного исследования.
13.25. а) С помощью канонического преобразования можно привести функцию Гамильтона к сумме двух независимых осцилляторов (для $X, Y$;м. задачу 11.9). Адиабатическими инвариантами являются отношения энергии каждого из этих осцилляторов к его частоте.

Напомним, что колебания каждого из них представляют собой движение по эллипсу (см. задачу 6.36). Выраженные, например, через амплитуду $a_{k}$ колебаний вдоль оси $x$, адиабатические инварианты равны
\[
I_{k}=\frac{m a_{k}^{2}}{2 \Omega_{k}} \frac{\Omega_{k}^{4}-\omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}+\Omega_{k}^{2} \omega_{\mathscr{H}}^{2}}{\Omega_{k}^{2}-\omega_{2}^{2}} \quad(k=1,2) .
\]

При изменении параметров системы к новой функции Гамильтона добавляется также частная производная производящей функции по времени, равная $^{1} \dot{\lambda}\left(m \omega_{2} X Y+P_{X} P_{Y} / m \omega_{2}\right)$. Эта добавка мала ( $\left.\dot{\lambda} \ll \Omega_{k}\right)$, и ее можно не учитывать, если только собственные частоты не совпадают (ср. с задачей 13.19). Случай вырождения при $\omega_{1}=\omega_{2}$ и магнитном поле, проходящем через нуль, требует отдельного рассмотрения.

При другом выборе векторного потенциала, приводящего к тому же магнитному полю, но другому электрическому, $\mathscr{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, адиабатические инварианты оказываются прежними (опять за исключением случая $\left(\omega_{1}=\omega_{2}, \mathscr{H}=0\right)$.

Если $\omega_{1}=\omega_{2}$, то возможен и другой выбор адиабатических инвариантов (см. предыдущую задачу).
б) Пусть для определенности $\omega_{1}>\omega_{2}$. Движение происходит по окружности радиуса $a \sqrt{\frac{\omega_{1}}{2 \omega_{\mathscr{H}}}}$ с частотой $\omega_{\mathscr{H}}$, центр же окружности перемещается по эллипсу с полуосями, параллельными осям $x$ и $y$ и равными
\[
\frac{b \omega_{2} \sqrt{\omega_{\mathscr{H}}}}{\sqrt{\omega_{1}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)}} \quad \text { и } \frac{b \sqrt{\omega_{1} \omega_{\mathscr{H}}}}{\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}}
\]

с частотой $\omega_{1} \omega_{2} / \omega_{\mathscr{H}}$.
в) Колебание будет происходить почти вдоль оси у; амплитуда его увеличится в $\sqrt{\omega_{1} / \omega_{2}}$ раз (ср. с задачей 13.19).
13.27. а) Движение частицы в плоскости $x y$ происходит под действием медленно изменяющегося (из-за смещения вдоль оси $z$ ) магнитного поля. При этом сохраняется адиабатический инвариант $I_{\perp}=E_{\perp} / \frac{e \mathscr{H}(z)}{m c}$ (см. задачу 13.23). Из закона сохранения энергии имеем
\[
\frac{m \dot{z}^{2}}{2}+I_{\perp} \frac{\epsilon \mathscr{H}(z)}{m c}=E .
\]
${ }^{1}$ Вычисление частной производной производящей функции можно упростить, используя следующие соображения.
При переходе от момента $t$ к $t+\delta t$ необходимо совершить дополнительно каноническое преобразование, соответствующее переходу от $\lambda$ к $\lambda+\delta \lambda$. Такое преобразование задается производящей функцией $\Phi\left(X, Y, P_{X}^{\prime}, P_{Y}^{\prime}\right)=X P_{X}^{\prime}+Y P_{Y}^{\prime}+\delta \lambda\left(m \omega_{2} X Y+P_{X}^{\prime} P_{Y}^{\prime} / m \omega_{2}\right)$ (см. задачу 11.17). Поэтому $\left.\frac{\partial \Phi}{\partial t}\right|_{\delta \lambda \rightarrow 0}=\dot{\lambda}\left(m \omega_{2} X Y+P_{X} P_{Y} / m \omega_{2}\right)$.

Частица движется в направлении оси $z$ так, как двигалась бы в потенциальном поле $U(z)=I_{\perp} \frac{e \mathscr{H}(z)}{m c}$. Период колебаний (ср. с задачей 2 б из [1], $\S 11)$
\[
T=\frac{2 \pi a}{v \sqrt{\lambda \sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}},
\]

где $\alpha$ – угол между скоростью частицы $\mathbf{v}$ и осью $z$ в начале координат. Частицы, для которых $\operatorname{ctg}^{2} \alpha>\lambda$, не удерживаются в ловушке. Условие применимости теории адиабатических инвариантов заключается в том, чтобы изменение магнитного поля за один оборот частицы было мало. Это дает $m c \lambda v_{z} \ll a e \mathscr{H}_{0}$.

Примером магнитной ловушки могут служить радиационные пояса Земли (подробнее о ловушках см. [29]).
б) $T=2 \pi a / v \sin \alpha$.
13.28. a) $\left(\lambda E_{\perp}-E_{z}\right) a^{2}=$ const, $E_{\perp} / \mathscr{H}_{0}=$ const, $E=E_{\perp}+E_{z}$;
б) $E_{\perp} / \mathscr{H}_{0}=$ const, $E_{z} \sqrt{\mathscr{H}_{0}} / a=$ const.
13.29. Пренебрегая в функции Гамильтона
\[
H=\frac{p_{r}^{2}}{2 m}+\frac{p_{\theta}^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m r^{2} \sin ^{2} \theta}-\frac{e \mathscr{H} p_{\varphi}}{2 c m}+\frac{e \mathscr{H}^{2} r^{2} \sin ^{2} \theta}{8 m c^{2}}
\]

последним членом, квадратичным по $\mathscr{H}$, можем разделить переменные в уравнении Гамильтона-Якоби.
Адиабатические инварианты имеют вид
\[
\begin{array}{c}
I_{\varphi}=p_{\varphi}, \quad I_{\theta}=\frac{1}{\pi} \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{\beta-\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}} d \theta=I_{\theta}\left(p_{\varphi}, \beta\right), \\
I_{r}=\frac{1}{\pi} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \sqrt{2 m\left[E+\frac{e \mathscr{H} p_{\varphi}}{2 m c}-U(r)\right]-\frac{\beta}{r^{2}}} d r=I_{r}\left(E+\frac{e \mathscr{H} p_{\varphi}}{2 m c}, \beta\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, при медленном изменении $\mathscr{H}$ величины
\[
p_{\varphi}, \beta=p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta} \text { и } E+\frac{e \mathscr{H} p_{\varphi}}{2 m c}
\]

остаются постоянными.

13.30.
\[
\begin{array}{c}
\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}=E_{1}, \quad \frac{p_{y}^{2}}{2 m}+2 m \omega^{2} y^{2}=E_{2}, \\
\left(m^{2} \omega^{2} x^{2}-p_{x}^{2}\right) y+x p_{x} p_{y}=A, \\
\left(m^{2} \omega^{2} x^{2}-p_{x}^{2}\right) p_{y}-2 m \omega x p_{x} y=\frac{1}{m}\left\{E_{2}, A\right\} .
\end{array}
\]
13.31. a) $w=\operatorname{Arctg} \frac{p}{m \omega q}, \quad I=\frac{p^{2}}{2 m \omega}+\frac{m \omega q^{2}}{2}$.

Эти переменные удобны, например, для построения теории возмущений (см. задачу 13.9).
б) Пусть вначале частица движется вправо от точки $x=0$, причем мы выбираем $S$ так, что $S=0$ при $x=0$. Тогда
\[
S=\int_{0}^{x}|p| d x=\pi I-\pi a\left[\left(\frac{I}{a}\right)^{2 / 3}-F x\right]^{3 / 2},
\]

где
\[
I=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{x_{m}}|p| d x=a E^{3 / 2}, \quad a=\frac{2 \sqrt{2 m}}{3 \pi F}, \quad x_{m}=\frac{E}{F}, \quad|p|=\sqrt{2 m(E-x F)} .
\]

При движении влево
\[
S=\left(\int_{0}^{x_{m}}-\int_{x_{m}}^{x}\right)|p| d x=\pi I+\pi a\left[\left(\frac{I}{a}\right)^{2 / 3}-F x\right]^{3 / 2}
\]

и т. д. При $n$-м колебании
\[
S=(2 n-1) I \mp \pi a\left[\left(\frac{I}{a}\right)^{2 / 3}-F x\right]^{3 / 2}
\]
(верхний знак отвечает движению вправо, нижний – вле-
Рис. 183 во; рис. 183). Функция $S(x, I)$ служит производящей функцией для перехода к новым каноническим переменным действие-угол (см. [1], § 49). Новые переменные связаны со старыми следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{1}{\pi^{2} F}\left(\frac{I}{a}\right)^{2 / 3}\left\{\pi^{2}-[(2 n-1) \pi-\omega]^{2}\right\}, \\
p=\frac{3}{2} a\left(\frac{I}{a}\right)^{2 / 3}[(2 n-1) \pi-\omega],
\end{array}
\]

Рис. 184
причем $x$ является периодической функцией $w$ (а $w$ – неоднозначной функцией $x$; рис. 184).
13.32. Из равенства
\[
P=\int_{0}^{a} \sqrt{2 m(E-U)} d x
\]

находим
\[
E=\frac{P^{2}}{2 m a^{2}}+\frac{V}{2}+\frac{m V^{2} a^{2}}{8 P^{2}} .
\]

Укороченное действие
\[
S_{0}=\int_{0}^{x} p d x=\left\{\begin{array}{ll}
\sqrt{2 m E} x+(n-1) P & \text { при } n a<x<\left(n+\frac{1}{2}\right) a, \\
\sqrt{2 m(E-V)}\left(x-\frac{1}{2} a\right)+ & \\
+\sqrt{2 m E}\left(\frac{1}{2} a\right)+(n-1) P & \text { при }\left(n+\frac{1}{2}\right) a<x<(n+1) a .
\end{array}\right.
\]

Исключив $E$, получаем производящую функцию рассматриваемого канонического преобразования
\[
S_{0}(x, P)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(\frac{P}{a}+\frac{m a V}{2 P}\right) x+(n-1) P & \text { при } n a<x<\left(n+\frac{1}{2}\right) a, \\
\frac{m a^{2} V}{2 P}\left(\frac{P}{a}-\frac{m a V}{2 P}\right) x+ & \text { при }\left(n+\frac{1}{2}\right) a<x<(n+1) a . \\
+(n-1) P &
\end{array}\right.
\]

Из равенств
\[
Q=\frac{\partial S_{0}}{\partial P}, \quad p=\frac{\partial S_{0}}{\partial x}
\]

находим
\[
\begin{array}{c}
p(P, Q)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{P}{a}+\frac{m a V}{2 P} & \text { при } n-1<Q<n-\frac{1}{2}, \\
\frac{P}{a}-\frac{m a V}{2 P} & \text { при } n-\frac{1}{2}<Q<n,
\end{array}\right. \\
x(P, Q)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{Q+1-n}{1-\left(m a^{2} V / 2 P^{2}\right)} & \text { при } n-1<Q<n-\frac{1}{2}, \\
\frac{Q+1 / 2-n}{1+\left(m a^{2} V / 2 P^{2}\right)}+\frac{a}{2} & \text { при } n-\frac{1}{2}<Q<n .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Переменные $P, Q$ аналогичны переменным действие-угол, величина $a \dot{Q}$ представляет собой среднюю скорость частицы.

—————————————————————-
0114_te