10.1. Пусть $\varepsilon$ – вектор бесконечно малого смещения; при этом
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{a} \rightarrow \mathbf{r}_{a}^{\prime}=\mathbf{r}_{a}+\varepsilon, \quad \mathbf{p}_{a} \rightarrow \mathbf{p}_{a}^{\prime}=\mathbf{p}_{a}, \\
H\left(\mathbf{r}_{a}, \mathbf{p}_{a}\right)=H\left(\mathbf{r}_{a}^{\prime}, \mathbf{p}_{a}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда $\sum_{a} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_{a}}=0$. Используя уравнение Гамильтона, получаем:
\[
\dot{\mathbf{P}}=\sum_{a} \dot{\mathbf{p}}_{a}=-\sum_{a} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_{a}}=0, \quad \mathbf{P}=\text { const } .
\]

При бесконечно малом повороте $\delta \varphi$
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}_{a} \rightarrow \mathbf{r}_{a}^{\prime}=\mathbf{r}_{a}+\left[\delta \varphi \mathbf{r}_{a}\right], \quad \mathbf{p}_{a} \rightarrow \mathbf{p}_{a}^{\prime}=\mathbf{p}_{a}+\left[\delta \varphi \mathbf{p}_{a}\right], \\
H\left(\mathbf{r}_{a}, \mathbf{p}_{a}\right)=H\left(\mathbf{r}_{a}^{\prime}, \mathbf{p}_{a}^{\prime}\right) \sum_{a}\left\{\frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_{a}}\left[\delta \varphi \mathbf{r}_{a}\right]+\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}_{a}}\left[\delta \varphi \mathbf{p}_{a}\right]\right\}=0= \\
=\sum_{a}\left\{-\dot{\mathbf{p}}_{a}\left[\delta \varphi \mathbf{r}_{a}\right]+\dot{\mathbf{r}}\left[\delta \varphi \mathbf{p}_{a}\right]\right\}=-\delta \varphi \sum_{a} \frac{d}{d t}\left[\mathbf{r}_{a} \mathbf{p}_{a}\right],
\end{array}
\]

или
\[
\mathbf{M}=\sum_{a}\left[\mathbf{r}_{a} \mathbf{p}_{a}\right]=\text { const. }
\]
10.2. $H=\frac{p_{\theta}^{2}}{2 I_{1}}+\frac{\left(p_{\varphi}-p_{\psi} \cos \theta\right)^{2}}{2 I_{1} \sin ^{2} \theta}+\frac{p_{\psi}^{2}}{2 I_{3}}$.
10.3. $H=\frac{p^{2}}{2(1+2 \beta x)}+\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}+\alpha x^{3}$. В частности, для малых колебаний $\left(|\alpha x| \ll \omega^{2},|\beta x| \ll 1\right)$
\[
H=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega^{2} x^{2}}{2}+\alpha x^{3} \quad \beta x p^{2}+2 \beta^{2} x^{2} p^{2} \quad \ldots,
\]

и с точностью до линейных по $\alpha, \beta$ членов добавка к функции Гамильтона гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжа соотношением $\delta H=-\delta L$ (cр. [1], §40).
10.4 a. $x=a \cos (\omega t+\varphi), p=-\omega_{0} a \sin (\omega t+\varphi)$, где $\omega=\left(1+2 \lambda E_{0}\right) \omega_{0}$, $E_{0}=\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} a^{2}$.
10.4 б. $\quad p=p_{0}+F t, x=x_{0}+\frac{A}{F}\left(\sqrt{p_{0}+F t}-\sqrt{p_{0}}\right)$. Данная функция Гамильтона приближенно описывает движение заряженного вихревого кольца в жидком гелии при наличии однородного электрического поля вдоль оси $x$ [32]. Характерная особенность такого движения – импульс вихря растет со временем, а скорость его движения падает $\dot{x}=A /\left(2 \sqrt{p_{0}+F t}\right)$.
10.5. $\quad \dot{\mathbf{r}}=\frac{c \mathbf{p}}{n p}, \quad \dot{\mathbf{p}}=\frac{c p}{n^{2}} \frac{\partial n}{\partial \mathbf{r}}, \quad p=|\mathbf{p}|$.
Предложенная функция Гамильтона описывает распространение света в прозрачной среде с показателем преломления $n$ в приближении геометрической оптики (см. [3], § 65). «Частицей» является волновой пакет, $\mathbf{r}(t)$ есть закон именно его движения; $\dot{\mathbf{r}}$ – это групповая скорость, а вектор $\mathbf{p}$, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.
Траектория при $n(\mathbf{r})=a x$
\[
x=C_{1} \operatorname{ch}\left(\frac{y}{C_{1}}+C_{2}\right),
\]

где $C_{1}, C_{2}$ определяются начальной и конечной точками траектории.
10.6. a) $L=\frac{m(\mathbf{v}-\mathbf{a})^{2}}{2}$;
б) $L=0$;

подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функции Лагранжа (см. [2], §53).
10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле $\mathscr{H}$, направленное параллельно оси $z$.
Функция Гамильтона
\[
H\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2 m}\left(p_{y}-\frac{e}{c} \mathscr{H} x\right)^{2} .
\]

Так как $H$ не зависит от $y$ и $z$, имеем $p_{y}=$ const, $p_{z}=$ const. Представив $H$ в виде $H=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2}}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{p_{z}^{2}}{2 m}$, где $\omega=\frac{e \mathscr{H}}{m c}, x_{0}=\frac{c p_{y}}{e \mathscr{H}}$, видим, что для $x, p_{x}$ получается такая же функция Гамильтона, как для гармонического осциллятора. Поэтому
\[
x=a \cos (\omega t+\varphi)+x_{0}, \quad p_{x}=-m \omega a \sin (\omega t+\varphi) .
\]

Для определения $y$ и $z$ используем уравнения
\[
\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_{y}}=\frac{1}{m}\left(p_{y}-\frac{e}{c} \mathscr{H} x\right)=-\omega a \cos (\omega t+\varphi), \quad \dot{z}=\frac{p_{z}}{m},
\]

откуда
\[
y=-a \sin (\omega t+\varphi)+y_{0}, \quad z=\frac{p_{z}}{m} t+z_{0} .
\]

Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной $\mathscr{H}$. Обобщенный импульс $p_{y}$ определяет расстояние этой оси от плоскости $y z$.

10.8. Магнитное поле направлено по оси $z$ и равно $2 h x$. Движение по оси $z$ равномерное. Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоскости $x y$. Функция Гамильтона
\[
H=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2 m}\left(p_{y}-\frac{e h}{c} x^{2}\right)^{2}
\]

не зависит от $y$ и $t$. Поэтому интегралами движения являются обобщенный импульс $p_{y}$ и энергия $E$ :
\[
\begin{array}{c}
p_{y}=m \dot{y}+\frac{e h}{c} x^{2}, \\
E=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+U_{\text {эфф }}(x), U_{\text {эфф }}(x)=\frac{1}{2 m}\left(p_{y}-\frac{e h}{c} x^{2}\right)^{2} . \\
\text { Для } p_{y} \leqslant 0 \text { график } U_{\text {эфф }}(x) \text { изображен на }
\end{array}
\]

Для $p_{y} \leqslant 0$ график $U_{\text {эфф }}(x)$ изображен на рис. 153 , а примерный вид траектории – на рис. 154. Следует учесть, что скорость
\[
\dot{y}=-\frac{\left|p_{y}\right|}{m}-\frac{e h}{m c} x^{2}
\]

Рис. 153

всюду отрицательна и колеблется вблизи значения $p_{y} / m$.
Рис. 154
Рис. 155
Для $p_{y}>0$ график
\[
U_{э \phi \phi}(x)=\frac{e^{2} h^{2}}{2 m c^{2}}\left(x^{2}-x_{0}^{2}\right)^{2}, \quad x_{0}=\sqrt{\frac{p_{y} c}{e h}}
\]

изображен на рис. 155. Скорость
\[
\dot{y}=\frac{e h}{m c}\left(x_{0}^{2}-x^{2}\right)
\]

при любом значении $E$ принимает как положительные, так и отрицательные значения. Примерный вид траекторий изображен на рис. 156 , случаям $a-\partial$ соответствуют уменьшающиеся значения энергии.
Рис. 156
При больших энергиях $E \gg U_{m}=p_{y}^{2} / 2 m$ размах колебаний по оси $x$ велик и среднее за период значение $\left\langle x^{2}\right\rangle$ больше $x_{0}^{2}$. Поэтому среднее значение
\[
\langle\dot{y}\rangle=\frac{e h}{m c}\left(x_{0}^{2}-\left\langle x^{2}\right\rangle\right)
\]

отрицательно (см. рис. $156, a$ ). При уменьшении энергии $\langle\dot{y}\rangle$ возрастает до нуля (рис. 156,б), а затем становится положительным (рис. 156, ) . При энергии $E=U_{m}$ частица, имеющая в начальный момент $x>x_{0}$ и $\dot{x}<0$, асимптотически приближается к оси $y$ (рис. 156,2).

Наконец, при $E<U_{m}$ частица движется либо в области вблизи ( $\left.-x_{0}\right)$, либо в области вблизи $x_{0}$ (рис. $156, \partial$ ).

Можно показать, что $\langle\dot{y}\rangle$ при этом больше нуля. При $\left|x-x_{0}\right| \ll x_{0}$ частица движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдоль оси $y$. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении $\left\langle x^{2}\right\rangle$ учитывать первые ангармонические поправки
\[
x=x_{0}+a \cos \omega t-\frac{a^{2}}{4 x_{0}}(3-\cos 2 \omega t),
\]

что дает
\[
\langle\dot{y}\rangle=\frac{c E}{2 h x_{0}^{2} e}
\]
(ср. с задачей 8.14).
10.9. Введя координаты центра масс $\mathbf{R}$ и относительного движения $\mathbf{r}$ (ср. с задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в виде
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{M}{2} \dot{\mathbf{R}}^{2}+\frac{e}{2 c}[\mathscr{H} \mathbf{r}] \dot{\mathbf{R}}+L_{1}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})+\frac{e}{2 c}[\mathscr{H} \mathbf{R}] \dot{\mathbf{r}}, \\
M=m_{1}+m_{2},
\end{array}
\]

где
\[
L_{1}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}})=\frac{m}{2} \dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{e}{2 c}\left[\mathscr{H}^{\prime} \mathbf{r}\right] \dot{\mathbf{r}}+\frac{e^{2}}{r} \quad\left(\mathscr{H}^{\prime}=\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}} \mathscr{H}\right)
\]
( $m$ – приведенная масса).
Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде
\[
\frac{e}{2 c}[\mathscr{H} \mathbf{R}] \dot{\mathbf{r}}=\frac{e}{2 c}[\mathscr{H} \mathbf{r}] \dot{\mathbf{R}}+\frac{d}{d t} \frac{e}{2 c}[\mathscr{H} \mathbf{R}] \dot{\mathbf{r}} .
\]

Отбрасывая полную производную по времени, имеем
\[
L=\frac{M}{2} \dot{\mathbf{R}}^{2}+\frac{e}{c}[\mathscr{H} \mathbf{r}] \dot{\mathbf{R}}+L_{1}(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}) .
\]

Эта функция Лагранжа не зависит явно от $\mathbf{R}$, поэтому сохраняется обобщенный импульс
\[
\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{R}}=M \dot{\mathbf{R}}+\frac{e}{c}[\mathscr{H} \mathbf{r}]=\text { const } .
\]

Функция Гамильтона системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 M}\left(\mathbf{P}-\frac{e}{c}[\mathscr{H} \mathbf{r}]\right)^{2}+\frac{1}{2 m}\left(\mathbf{p}-\frac{e}{2 c}\left[\mathscr{H}^{\prime} \mathbf{r}\right]\right)^{2}-\frac{e^{2}}{r} .
\]

Отсюда с учетом (2) видно, что частица массы $m$ движется в однородном магнитном поле $\mathscr{H}^{\prime}$ и в силовом поле с потенциальной энергией
\[
U=-\frac{e^{2}}{r}+\frac{1}{2 m}\left(\mathbf{P}-\frac{e}{c}[\mathscr{H} \mathbf{r}]\right)^{2} .
\]

Если направить ось $z$ по $\mathscr{H}$, то
\[
\begin{aligned}
U & =-\frac{e^{2}}{r}+\frac{1}{2} m \omega^{2}\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right]+\mathrm{const}, \\
\omega & =\frac{e \mathscr{H}}{c \sqrt{m_{1} m_{2}}}, \quad a=-\frac{c P_{x}}{e \mathscr{H}}, \quad b=\frac{c P_{y}}{e \mathscr{H}} .
\end{aligned}
\]

После нахождения $\mathbf{r}(t)$ закон движения центра масс определяется из уравнения (2)
\[
\mathbf{R}(t)=\frac{\mathbf{P} t}{M}-\frac{e}{M c}\left[\mathscr{H} \int_{0}^{t} \mathbf{r}(t) d t\right]+\mathbf{R}_{0} .
\]
10.10.
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}=\mathbf{p}_{0}+e \mathscr{E} t, \quad \varepsilon(\mathbf{p})-e \mathscr{E} \mathbf{r}=\varepsilon_{0}, \\
\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) e \mathscr{E}=\varepsilon\left(\mathbf{p}_{0}+e \mathscr{E} t\right)-\varepsilon\left(\mathbf{p}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $\mathbf{r}_{0}, \mathbf{p}_{0}$ и $\varepsilon_{0}$ – постоянные.
10.11.
\[
\dot{\mathbf{p}}=e \mathscr{E}+\frac{e}{c}[\mathbf{v} \mathscr{H}] .
\]
10.12. a) $\varepsilon(\mathbf{p})=E, p_{\mathscr{H}}=$ const, где $p_{\mathscr{H}}-$ проекция импульса на направление магнитного поля $\mathscr{H}$. Траектория в импульсном пространстве определяется линией пересечения двух поверхностей: $\varepsilon(\mathbf{p})=E$ и $p_{\mathscr{H}}=$ $=$ const.
б) Из уравнения движения $\dot{\mathbf{p}}=\frac{e}{c}[\dot{\mathbf{r}} \mathscr{H}]$ видно, что проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю $\mathscr{H}$, получается из траектории в импульсном пространстве поворотом на угол $\pi / 2$ вокруг $\mathscr{H}$ и изменением масштаба в $\frac{c}{e \mathscr{H}}$ раз.
${ }^{1}$ Подробнее о движении электронов в металле (задачи 10.9-10.13) см., например, [18], [25], $\S 4$.

10.13.
\[
T=-\frac{c}{e \mathscr{H}} \oint \frac{d p}{\left|\mathbf{v}_{\perp}\right|}, \quad S=\int_{E_{\min }}^{E} d E \oint \frac{d p}{\left|\mathbf{v}_{\perp}\right|}, \quad T=-\frac{\partial S}{\partial E},
\]

где $\mathbf{v}_{\perp}$ – ортогональная к $\mathscr{H}$ составляющая вектора $\frac{\partial \varepsilon}{\partial \mathbf{p}}$.
10.14. a) $-\sum_{k} e_{i j k} x_{k},{ }^{1}-\sum_{k} e_{i j k} p_{k}, \quad-\sum_{k} e_{i j k} M_{k}$.
б) $\mathrm{ab}$,
\[
\begin{array}{c}
\{\mathbf{a M}, \mathbf{b r}\}=\left\{\sum_{i} a_{i} M_{i}, \sum_{j} b_{j} x_{j}\right\}=\sum_{i j} a_{i} b_{j}\left\{M_{i}, x_{j}\right\}= \\
=-\sum_{i j k} a_{i} b_{j} e_{i j k} x_{k}=-[\mathbf{a b}] \mathbf{r}, \quad-[\mathbf{a b}] \mathbf{M} .
\end{array}
\]
в) $0, n \mathbf{r} r^{n-2}, 2 \mathbf{a}(\mathbf{a r})$.
10.15. $\left\{A_{i}, A_{j}\right\}=-\sum_{k} e_{i j k} A_{k},\left\{A_{i}, A_{4}\right\}=0$, здесь $i, j, k$ принимают значения $1,2,3$ (ср. с задачей 10.14 a).
10.16.
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, \Lambda_{j k}\right\}=-\sum_{l} e_{i j l} \Lambda_{l k}-\sum_{l} e_{i k l} \Lambda_{i j}, \\
\left\{\Lambda_{j k}, \Lambda_{i l}\right\}=\delta_{i j} M_{l k}+\delta_{i k} M_{l j}+\delta_{j l} M_{i k}+\delta_{k l} M_{i j},
\end{array}
\]

где $M_{k l}=p_{k} x_{l}-p_{l} x_{k}$
10.17. При повороте системы как целого на бесконечно малый угол $\varepsilon$ вокруг оси $z$ изменение $\delta \varphi$ любой функции координат и импульсов в первом порядке по $\varepsilon$ равно
\[
\begin{array}{c}
\delta \varphi=\varphi\left(x-\varepsilon y, y+\varepsilon x, z, p_{x}-\varepsilon p_{y}, p_{y}+\varepsilon p_{x}, p_{z}\right)-\varphi\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)= \\
=\varepsilon\left(-\frac{\partial \varphi}{\partial x} y+\frac{\partial \varphi}{\partial y} x-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{x}} p_{y}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{y}} p_{x}\right)=\varepsilon\left\{M_{z}, \varphi\right\} .
\end{array}
\]
${ }^{1} e_{i j k}$ – полностью антисимметричный тензор,
\[
e_{123}=e_{231}=e_{321}=1, \quad e_{132}=e_{321}=e_{213}=-1 ;
\]

остальные компоненты $e_{i j k}$ равны нулю.

Если $\varphi$ – скаляр, то его изменение при повороте равно нулю. Поэтому $\left\{\varphi, M_{z}\right\}=0$. Если $\varphi=f_{x}$ – компонента векторной функции, то ее изменение при повороте $\delta f_{x}=-\varepsilon f_{y}$, значит,
\[
\left\{M_{z}, f_{x}\right\}=-f_{y} \quad \text { или } \quad\left\{M_{z}, \mathbf{f}\right\}=[\mathbf{n f}]
\]
(cp. [1], § 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона $\left\{M_{z}, T_{x x}\right\}$, где $T_{x x}-$ компонента тензорной функции?
10.18. $[\mathbf{f}, \mathbf{a M}]=[\mathbf{f}, \mathbf{a}], \quad\{\mathbf{f} \mathbf{M}, \mathbf{l} \mathbf{M}\}=[\mathbf{f} \mathbf{l}] \mathbf{M}+\sum_{i k} M_{i} M_{k}\left\{f_{i}, l_{k}\right\}$.
10.19. Полагая во второй формуле предыдущей задачи $f=e_{\zeta}$ и $\mathbf{l}=\mathbf{e}_{\xi}$, где $\mathbf{e}_{\zeta}$ и $\mathbf{e}_{\xi}-$ орты осей $\zeta$ и $\xi$ в подвижной системе координат, получим
\[
\left\{M_{\zeta}, M_{\xi}\right\}=+M_{\eta} .
\]

Это равенство отличается знаком правой части от аналогичного соотношения для проекций момента на оси неподвижной системы координат
\[
\left\{M_{z}, M_{x}\right\}=-M_{y} .
\]

Рис. 157
Как было показано в задаче 10.17 (см. также [4], § 8.7), скобки Пуассона (2) характеризуют изменение компоненты $M_{x}$ при повороте системы как целого на бесконечно малый угол $\varepsilon$ (рис. $157, a$ ) $\delta M_{x}=\varepsilon\left\{M_{z}, M_{x}\right\}=-\varepsilon M_{y}$. Скобки Пуассона (1), равные
\[
\left\{\mathbf{e}_{\zeta} \mathbf{M}, \mathbf{e}_{\xi} \mathbf{M}\right\}=\left\{M_{\zeta} \mathbf{e}_{\xi}\right\} \mathbf{M},
\]

характеризуют изменение проекции неподвижного вектора $\mathbf{M}$ на ось $\mathbf{e}_{\xi}$ при бесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси $\zeta$ (рис. $157, \sigma$; на рисунке оси $\xi, \eta, \zeta$ совпадают до поворота с осями $x, y, z$ ).
10.20. $\dot{M}_{\alpha}=\sum_{\beta \gamma \delta} e_{\alpha \beta \gamma}\left(I^{-1}\right)_{\gamma \delta} M_{\beta} M_{\delta}$, в частности, если выбрать подвижную систему так, чтобы тензор инерции $I^{\alpha \beta}$ был диагонален, получим уравнения Эйлера (см. [1], §36 с учетом соотношения $M_{\alpha}=I_{\alpha} \Omega_{\alpha}$ ).
10.21. Уравнения движения
\[
\dot{M}_{i}=\left\{H, M_{i}\right\}=\gamma e_{i j k} M_{j} \mathscr{H}_{k}, \quad \text { или } \quad \dot{\mathbf{M}}=-\gamma[\mathscr{H} \mathbf{M}],
\]
т. е. вектор М вращается с угловой скоростью $-\gamma \mathscr{H}$.
a) Вектор М прецессирует вокруг направления $\mathscr{H}$ :
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=M_{x}(0) \cos \gamma \mathscr{H}_{0} t+M_{y}(0) \sin \gamma \mathscr{H}_{0} t \\
M_{y}=-M_{x}(0) \sin \gamma \mathscr{H}_{0} t+M_{y}(0) \cos \gamma \mathscr{H}_{0} t \\
M_{z}=M_{z}(0)
\end{array}
\]
б) Вектор М вращается с угловой скоростью $-\gamma \mathscr{H}$, которая в свою очередь вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\omega$. Удобно воспользоваться вращающейся системой отсчета, в которой вектор $\mathscr{H}$ неподвижен. В этой системе компоненты угловой скорости вектора М равны
\[
\omega_{x}^{\prime}=-\gamma \mathscr{H}_{1}, \quad \omega_{y}^{\prime}=0, \quad \omega_{z}^{\prime}=-\gamma \mathscr{H}_{1}-\omega \equiv \varepsilon .
\]

При заданном начальном условии компоненты $M$ во вращающейся системе
\[
\begin{aligned}
M_{x}^{\prime} & =-a \frac{\varepsilon}{\lambda} M_{0}(1-\cos \lambda t), \\
M_{y}^{\prime} & =a M_{0} \sin \lambda t \\
M_{z}^{\prime} & =\left(\frac{\varepsilon^{2}}{\lambda^{2}}+a^{2} \cos \lambda t\right) M_{0},
\end{aligned}
\]

где $\lambda=\sqrt{\varepsilon^{2}+\gamma^{2} \mathscr{H}_{1}^{2}}, a=\gamma \mathscr{H}_{1} / \sqrt{\varepsilon^{2}+\gamma^{2} \mathscr{H}_{1}^{2}}$.
В неподвижной системе
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=M_{x}^{\prime} \cos \omega t-M_{y}^{\prime} \sin \omega t, \\
M_{y}=M_{x}^{\prime} \sin \omega t+M_{y}^{\prime} \cos \omega t, \\
M_{z}=M_{z} .
\end{array}
\]

При $\mathscr{H}_{1} \ll \mathscr{H}_{0}$ зависимость амплитуд $M_{x, y}$ от $\omega$ носит резонансный характер: вообще говоря, эти амплитуды малы $\sim M_{0} \mathscr{H}_{1} / \mathscr{H}_{0}$, но при $|\varepsilon|=$ $=\left|\omega+\gamma \mathscr{H}_{0}\right| \lesssim \gamma \mathscr{H}_{1}$ они резко возрастают, достигая значений $\sim M_{0}$. В частности, при $\omega=-\gamma \mathscr{H}_{0}$
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=-M_{0} \sin \gamma \mathscr{H}_{1} t \sin \gamma \mathscr{H}_{0} t, \\
M_{y}=M_{0} \sin \gamma \mathscr{H}_{1} t \cos \gamma \mathscr{H}_{0} t, \\
M_{z}=M_{0} \cos \gamma \mathscr{H}_{1} t .
\end{array}
\]
10.22. $\left\{v_{i}, v_{j}\right\}=-\frac{e}{m^{2} c} \sum_{k} e_{i j k} \mathscr{H}_{k}$.
10.23. a) $\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}+\mathbf{F} t, \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}+\frac{\mathbf{p} t}{m}+\frac{\mathbf{F} t^{2}}{2 m}$;
б)
\[
\begin{array}{l}
p(t)=p \cos \omega t-m \omega q \sin \omega t \\
q(t)=q \cos \omega t+\frac{p}{m \omega} \sin \omega t
\end{array}
\]

Разумеется, эти величины проще вычислить, не используя скобок Пуассона. Но предложенный метод легко может быть перенесен в квантовую механику (см. [26], § 34).
10.25. а) Согласно предыдущей задаче
\[
\frac{d f}{d t}=\{H, f\}=\frac{\partial H}{\partial f}\{f, f\}=0 .
\]
б) Функция Гамильтона
\[
H=\frac{p_{r}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2 m_{\imath} r^{2}} f\left(\theta, p_{\theta}, p_{\varphi}\right)
\]

где
\[
f\left(\theta, p_{\theta}, p_{\varphi}\right)=p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}+2 m a \cos \theta .
\]

Интегралы движения: $E, p_{\varphi}$ и, согласно предыдущему, $f$.

10.26. a)
\[
\begin{array}{r}
\left\{A_{i}, A_{j}\right\}=\frac{2 H}{m} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i j k} M_{k}, \\
\left\{A_{i}, M_{j}\right\}=-\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i j k} A_{k} ;
\end{array}
\]
б) $\left\{H, \mathbf{J}_{1,2}\right\}=0,\left\{J_{1 i}, J_{2 j}\right\}=0$,
\[
\begin{array}{c}
\left\{J_{1 i}, J_{1 j}\right\}=-\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i j k} J_{1 k}, \quad\left\{J_{2 i}, J_{2 j}\right\}=-\sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i j k} J_{2 k}, \\
H=-\frac{m \alpha^{2}}{4\left(\mathbf{J}_{1}^{2}+\mathbf{J}_{2}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Векторы $\mathbf{J}_{1}$ и $\mathbf{J}_{2}$ – независимые интегралы движения. Каждый из них имеет такие же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный момент импульса. Наличие двух таких «моментов» тесно связано с так называемой «скрытой симметрией» атома водорода (см. [27], гл. I, § 5).