10.1. Пусть $\epsilon$ — вектор бесконечно малого смещения; при этом
$$\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_a\to {\mathbf{r}}_a^{\prime }={\mathbf{r}}_a+\epsilon ,{\mathbf{p}}_a\to {\mathbf{p}}_a^{\prime }={\mathbf{p}}_a,\\ H({\mathbf{r}}_a,{\mathbf{p}}_a)=H({\mathbf{r}}_a^{\prime },{\mathbf{p}}_a^{\prime }).\end{array}$$

Отсюда $\sum _a\frac{\partial H}{\partial {\mathbf{r}}_a}=0$. Используя уравнение Гамильтона, получаем:
$$\dot{\mathbf{P}}=\sum _a{\dot{\mathbf{p}}}_a=-\sum _a\frac{\partial H}{\partial {\mathbf{r}}_a}=0,\mathbf{P}=\text{ const }.$$

При бесконечно малом повороте $\delta \phi$
$$\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_a\to {\mathbf{r}}_a^{\prime }={\mathbf{r}}_a+\left[\delta \phi {\mathbf{r}}_a\right],{\mathbf{p}}_a\to {\mathbf{p}}_a^{\prime }={\mathbf{p}}_a+\left[\delta \phi {\mathbf{p}}_a\right],\\ H({\mathbf{r}}_a,{\mathbf{p}}_a)=H({\mathbf{r}}_a^{\prime },{\mathbf{p}}_a^{\prime })\sum _a\{\frac{\partial H}{\partial {\mathbf{r}}_a}\left[\delta \phi {\mathbf{r}}_a\right]+\frac{\partial H}{\partial {\mathbf{p}}_a}\left[\delta \phi {\mathbf{p}}_a\right]\}=0=\\ =\sum _a\{-{\dot{\mathbf{p}}}_a\left[\delta \phi {\mathbf{r}}_a\right]+\dot{\mathbf{r}}\left[\delta \phi {\mathbf{p}}_a\right]\}=-\delta \phi \sum _a\frac{d}{dt}\left[{\mathbf{r}}_a{\mathbf{p}}_a\right],\end{array}$$

или
$$\mathbf{M}=\sum _a\left[{\mathbf{r}}_a{\mathbf{p}}_a\right]=\text{ const. }$$
10.2. $H=\frac{p_{\theta }^2}{2I_1}+\frac{{(p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta )}^2}{2I_1{\sin }^2\theta }+\frac{p_{\psi }^2}{2I_3}$.
10.3. $H=\frac{p^2}{2(1+2\beta x)}+\frac{{\omega }^2{x}^2}{2}+\alpha x^3$. В частности, для малых колебаний $(|\alpha x|\ll {\omega }^2,|\beta x|\ll 1)$
$$H=\frac{p^2}{2}+\frac{{\omega }^2{x}^2}{2}+\alpha x^3\beta x{p}^2+2{\beta }^2{x}^2{p}^2\dots ,$$

и с точностью до линейных по $\alpha ,\beta$ членов добавка к функции Гамильтона гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжа соотношением $\delta H=-\delta L$ (cр. [1], §40).
10.4 a. $x=a\cos (\omega t+\phi ),p=-{\omega }_{0}a\sin (\omega t+\phi )$, где $\omega =(1+2\lambda E_0){\omega }_0$, $E_0=\frac{1}{2}{\omega }_0^2{a}^2$.
10.4 б. $p=p_0+Ft,x=x_0+\frac{A}{F}(\sqrt{p_0+Ft}-\sqrt{p_0})$. Данная функция Гамильтона приближенно описывает движение заряженного вихревого кольца в жидком гелии при наличии однородного электрического поля вдоль оси $x$ [32]. Характерная особенность такого движения — импульс вихря растет со временем, а скорость его движения падает $\dot{x}=A/\left(2\sqrt{p_0+Ft}\right)$.
10.5. $\dot{\mathbf{r}}=\frac{c\mathbf{p}}{np},\dot{\mathbf{p}}=\frac{cp}{n^2}\frac{\partial n}{\partial \mathbf{r}},p=|\mathbf{p}|$.
Предложенная функция Гамильтона описывает распространение света в прозрачной среде с показателем преломления $n$ в приближении геометрической оптики (см. [3], § 65). «Частицей» является волновой пакет, $\mathbf{r}(t)$ есть закон именно его движения; $\dot{\mathbf{r}}$ — это групповая скорость, а вектор $\mathbf{p}$, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.
Траектория при $n(\mathbf{r})=ax$
$$x=C_1\mathrm{ch}(\frac{y}{C_1}+C_2),$$

где $C_1,C_2$ определяются начальной и конечной точками траектории.
10.6. a) $L=\frac{m(\mathbf{v}-\mathbf{a}{)}^2}{2}$;
б) $L=0$;

подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функции Лагранжа (см. [2], §53).
10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле $\mathcal{H}$, направленное параллельно оси $z$.
Функция Гамильтона
$$H(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{1}{2m}{(p_y-\frac{e}{c}\mathcal{H}x)}^2.$$

Так как $H$ не зависит от $y$ и $z$, имеем $p_y=$ const, $p_z=$ const. Представив $H$ в виде $H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{(x-x_0)}^2+\frac{p_z^2}{2m}$, где $\omega =\frac{e\mathcal{H}}{mc},x_0=\frac{c{p}_y}{e\mathcal{H}}$, видим, что для $x,p_x$ получается такая же функция Гамильтона, как для гармонического осциллятора. Поэтому
$$x=a\cos (\omega t+\phi )+x_0,p_x=-m\omega a\sin (\omega t+\phi ).$$

Для определения $y$ и $z$ используем уравнения
$$\dot{y}=\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{1}{m}(p_y-\frac{e}{c}\mathcal{H}x)=-\omega a\cos (\omega t+\phi ),\dot{z}=\frac{p_z}{m},$$

откуда
$$y=-a\sin (\omega t+\phi )+y_0,z=\frac{p_z}{m}t+z_0.$$

Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной $\mathcal{H}$. Обобщенный импульс $p_y$ определяет расстояние этой оси от плоскости $yz$.

10.8. Магнитное поле направлено по оси $z$ и равно $2hx$. Движение по оси $z$ равномерное. Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоскости $xy$. Функция Гамильтона
$$H=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2m}{(p_y-\frac{eh}{c}{x}^2)}^2$$

не зависит от $y$ и $t$. Поэтому интегралами движения являются обобщенный импульс $p_y$ и энергия $E$ :
$$\begin{array}{c}{p}_y=m\dot{y}+\frac{eh}{c}{x}^2,\\ E=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+U_{\text{эфф }}(x),U_{\text{эфф }}(x)=\frac{1}{2m}{(p_y-\frac{eh}{c}{x}^2)}^2.\\ \text{ Для }{p}_y⩽0\text{ график }{U}_{\text{эфф }}(x)\text{ изображен на }\end{array}$$

Для $p_y⩽0$ график $U_{\text{эфф }}(x)$ изображен на рис. 153 , а примерный вид траектории — на рис. 154. Следует учесть, что скорость
$$\dot{y}=-\frac{\left|p_y\right|}{m}-\frac{eh}{mc}{x}^2$$

Рис. 153

всюду отрицательна и колеблется вблизи значения $p_y/m$.
Рис. 154
Рис. 155
Для $p_y>0$ график
$$U_{э\varphi \varphi }(x)=\frac{e^2{h}^2}{2m{c}^2}{(x^2-x_0^2)}^2,x_0=\sqrt{\frac{p_{y}c}{eh}}$$

изображен на рис. 155. Скорость
$$\dot{y}=\frac{eh}{mc}(x_0^2-x^2)$$

при любом значении $E$ принимает как положительные, так и отрицательные значения. Примерный вид траекторий изображен на рис. 156 , случаям $a-\partial$ соответствуют уменьшающиеся значения энергии.
Рис. 156
При больших энергиях $E\gg U_m=p_y^2/2m$ размах колебаний по оси $x$ велик и среднее за период значение $⟨x^2⟩$ больше $x_0^2$. Поэтому среднее значение
$$⟨\dot{y}⟩=\frac{eh}{mc}(x_0^2-⟨x^2⟩)$$

отрицательно (см. рис. $156,a$ ). При уменьшении энергии $⟨\dot{y}⟩$ возрастает до нуля (рис. 156,б), а затем становится положительным (рис. 156, ) . При энергии $E=U_m$ частица, имеющая в начальный момент $x>x_0$ и $\dot{x}<0$, асимптотически приближается к оси $y$ (рис. 156,2).

Наконец, при $E<U_m$ частица движется либо в области вблизи ( $-x_0)$, либо в области вблизи $x_0$ (рис. $156,\partial$ ).

Можно показать, что $⟨\dot{y}⟩$ при этом больше нуля. При $|x-x_0|\ll x_0$ частица движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдоль оси $y$. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении $⟨x^2⟩$ учитывать первые ангармонические поправки
$$x=x_0+a\cos \omega t-\frac{a^2}{4x_0}(3-\cos 2\omega t),$$

что дает
$$⟨\dot{y}⟩=\frac{cE}{2h{x}_0^{2}e}$$
(ср. с задачей 8.14).
10.9. Введя координаты центра масс $\mathbf{R}$ и относительного движения $\mathbf{r}$ (ср. с задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в виде
$$\begin{array}{c}L=\frac{M}{2}{\dot{\mathbf{R}}}^2+\frac{e}{2c}[\mathcal{H}\mathbf{r}]\dot{\mathbf{R}}+L_1(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})+\frac{e}{2c}[\mathcal{H}\mathbf{R}]\dot{\mathbf{r}},\\ M=m_1+m_2,\end{array}$$

где
$$L_1(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})=\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{r}}}^2+\frac{e}{2c}\left[{\mathcal{H}}^{\prime }\mathbf{r}\right]\dot{\mathbf{r}}+\frac{e^2}{r}({\mathcal{H}}^{\prime }=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\mathcal{H})$$
( $m$ — приведенная масса).
Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде
$$\frac{e}{2c}[\mathcal{H}\mathbf{R}]\dot{\mathbf{r}}=\frac{e}{2c}[\mathcal{H}\mathbf{r}]\dot{\mathbf{R}}+\frac{d}{dt}\frac{e}{2c}[\mathcal{H}\mathbf{R}]\dot{\mathbf{r}}.$$

Отбрасывая полную производную по времени, имеем
$$L=\frac{M}{2}{\dot{\mathbf{R}}}^2+\frac{e}{c}[\mathcal{H}\mathbf{r}]\dot{\mathbf{R}}+L_1(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}).$$

Эта функция Лагранжа не зависит явно от $\mathbf{R}$, поэтому сохраняется обобщенный импульс
$$\mathbf{P}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{R}}=M\dot{\mathbf{R}}+\frac{e}{c}[\mathcal{H}\mathbf{r}]=\text{ const }.$$

Функция Гамильтона системы имеет вид
$$H=\frac{1}{2M}{(\mathbf{P}-\frac{e}{c}[\mathcal{H}\mathbf{r}])}^2+\frac{1}{2m}{(\mathbf{p}-\frac{e}{2c}\left[{\mathcal{H}}^{\prime }\mathbf{r}\right])}^2-\frac{e^2}{r}.$$

Отсюда с учетом (2) видно, что частица массы $m$ движется в однородном магнитном поле ${\mathcal{H}}^{\prime }$ и в силовом поле с потенциальной энергией
$$U=-\frac{e^2}{r}+\frac{1}{2m}{(\mathbf{P}-\frac{e}{c}[\mathcal{H}\mathbf{r}])}^2.$$

Если направить ось $z$ по $\mathcal{H}$, то
$$\begin{array}{rl}U& =-\frac{e^2}{r}+\frac{1}{2}m{\omega }^2[(x-a{)}^2+(y-b{)}^2]+\mathrm{const},\\ \omega & =\frac{e\mathcal{H}}{c\sqrt{m_1{m}_2}},a=-\frac{c{P}_x}{e\mathcal{H}},b=\frac{c{P}_y}{e\mathcal{H}}.\end{array}$$

После нахождения $\mathbf{r}(t)$ закон движения центра масс определяется из уравнения (2)
$$\mathbf{R}(t)=\frac{\mathbf{P}t}{M}-\frac{e}{Mc}[\mathcal{H}{\int }_0^t\mathbf{r}(t)dt]+{\mathbf{R}}_0.$$
10.10.
$$\begin{array}{l}\mathbf{p}={\mathbf{p}}_0+e\mathcal{E}t,\epsilon (\mathbf{p})-e\mathcal{E}\mathbf{r}={\epsilon }_0,\\ (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)e\mathcal{E}=\epsilon ({\mathbf{p}}_0+e\mathcal{E}t)-\epsilon \left({\mathbf{p}}_0\right).\end{array}$$

Здесь ${\mathbf{r}}_0,{\mathbf{p}}_0$ и ${\epsilon }_0$ — постоянные.
10.11.
$$\dot{\mathbf{p}}=e\mathcal{E}+\frac{e}{c}[\mathbf{v}\mathcal{H}].$$
10.12. a) $\epsilon (\mathbf{p})=E,p_{\mathcal{H}}=$ const, где $p_{\mathcal{H}}-$ проекция импульса на направление магнитного поля $\mathcal{H}$. Траектория в импульсном пространстве определяется линией пересечения двух поверхностей: $\epsilon (\mathbf{p})=E$ и $p_{\mathcal{H}}=$ $=$ const.
б) Из уравнения движения $\dot{\mathbf{p}}=\frac{e}{c}[\dot{\mathbf{r}}\mathcal{H}]$ видно, что проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю $\mathcal{H}$, получается из траектории в импульсном пространстве поворотом на угол $\pi /2$ вокруг $\mathcal{H}$ и изменением масштаба в $\frac{c}{e\mathcal{H}}$ раз.
${}^1$ Подробнее о движении электронов в металле (задачи 10.9-10.13) см., например, [18], [25], $\mathrm{\S }4$.

10.13.
$$T=-\frac{c}{e\mathcal{H}}\oint \frac{dp}{\left|{\mathbf{v}}_{\perp }\right|},S={\int }_{E_{min}}^{E}dE\oint \frac{dp}{\left|{\mathbf{v}}_{\perp }\right|},T=-\frac{\partial S}{\partial E},$$

где ${\mathbf{v}}_{\perp }$ — ортогональная к $\mathcal{H}$ составляющая вектора $\frac{\partial \epsilon }{\partial \mathbf{p}}$.
10.14. a) $-\sum _k{e}_{ijk}{x}_k,{}^1-\sum _k{e}_{ijk}{p}_k,-\sum _k{e}_{ijk}{M}_k$.
б) $\mathrm{ab}$,
$$\begin{array}{c}\{\mathbf{a}\mathbf{M},\mathbf{b}\mathbf{r}\}=\{\sum _i{a}_i{M}_i,\sum _j{b}_j{x}_j\}=\sum _{ij}{a}_i{b}_j\{M_i,x_j\}=\\ =-\sum _{ijk}{a}_i{b}_j{e}_{ijk}{x}_k=-[\mathbf{a}\mathbf{b}]\mathbf{r},-[\mathbf{a}\mathbf{b}]\mathbf{M}.\end{array}$$
в) $0,n\mathbf{r}{r}^{n-2},2\mathbf{a}(\mathbf{a}\mathbf{r})$.
10.15. $\{A_i,A_j\}=-\sum _k{e}_{ijk}{A}_k,\{A_i,A_4\}=0$, здесь $i,j,k$ принимают значения $1,2,3$ (ср. с задачей 10.14 a).
10.16.
$$\begin{array}{c}\{M_i,{\mathrm{\Lambda }}_{jk}\}=-\sum _l{e}_{ijl}{\mathrm{\Lambda }}_{lk}-\sum _l{e}_{ikl}{\mathrm{\Lambda }}_{ij},\\ \{{\mathrm{\Lambda }}_{jk},{\mathrm{\Lambda }}_{il}\}={\delta }_{ij}{M}_{lk}+{\delta }_{ik}{M}_{lj}+{\delta }_{jl}{M}_{ik}+{\delta }_{kl}{M}_{ij},\end{array}$$

где $M_{kl}=p_k{x}_l-p_l{x}_k$
10.17. При повороте системы как целого на бесконечно малый угол $\epsilon$ вокруг оси $z$ изменение $\delta \phi$ любой функции координат и импульсов в первом порядке по $\epsilon$ равно
$$\begin{array}{c}\delta \phi =\phi (x-\epsilon y,y+\epsilon x,z,p_x-\epsilon p_y,p_y+\epsilon p_x,p_z)-\phi (x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\\ =\epsilon (-\frac{\partial \phi }{\partial x}y+\frac{\partial \phi }{\partial y}x-\frac{\partial \phi }{\partial p_x}{p}_y+\frac{\partial \phi }{\partial p_y}{p}_x)=\epsilon \{M_z,\phi \}.\end{array}$$
${}^1{e}_{ijk}$ — полностью антисимметричный тензор,
$$e_{123}=e_{231}=e_{321}=1,e_{132}=e_{321}=e_{213}=-1;$$

остальные компоненты $e_{ijk}$ равны нулю.

Если $\phi$ — скаляр, то его изменение при повороте равно нулю. Поэтому $\{\phi ,M_z\}=0$. Если $\phi =f_x$ — компонента векторной функции, то ее изменение при повороте $\delta f_x=-\epsilon f_y$, значит,
$$\{M_z,f_x\}=-f_y\text{ или }\{M_z,\mathbf{f}\}=[\mathbf{n}\mathbf{f}]$$
(cp. [1], § 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона $\{M_z,T_{xx}\}$, где $T_{xx}-$ компонента тензорной функции?
10.18. $[\mathbf{f},\mathbf{a}\mathbf{M}]=[\mathbf{f},\mathbf{a}],\{\mathbf{f}\mathbf{M},\mathbf{l}\mathbf{M}\}=[\mathbf{f}\mathbf{l}]\mathbf{M}+\sum _{ik}{M}_i{M}_k\{f_i,l_k\}$.
10.19. Полагая во второй формуле предыдущей задачи $f=e_{\zeta }$ и $\mathbf{l}={\mathbf{e}}_{\xi }$, где ${\mathbf{e}}_{\zeta }$ и ${\mathbf{e}}_{\xi }-$ орты осей $\zeta$ и $\xi$ в подвижной системе координат, получим
$$\{M_{\zeta },M_{\xi }\}=+M_{\eta }.$$

Это равенство отличается знаком правой части от аналогичного соотношения для проекций момента на оси неподвижной системы координат
$$\{M_z,M_x\}=-M_y.$$

Рис. 157
Как было показано в задаче 10.17 (см. также [4], § 8.7), скобки Пуассона (2) характеризуют изменение компоненты $M_x$ при повороте системы как целого на бесконечно малый угол $\epsilon$ (рис. $157,a$ ) $\delta M_x=\epsilon \{M_z,M_x\}=-\epsilon M_y$. Скобки Пуассона (1), равные
$$\{{\mathbf{e}}_{\zeta }\mathbf{M},{\mathbf{e}}_{\xi }\mathbf{M}\}=\left\{M_{\zeta }{\mathbf{e}}_{\xi }\right\}\mathbf{M},$$

характеризуют изменение проекции неподвижного вектора $\mathbf{M}$ на ось ${\mathbf{e}}_{\xi }$ при бесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси $\zeta$ (рис. $157,\sigma$; на рисунке оси $\xi ,\eta ,\zeta$ совпадают до поворота с осями $x,y,z$ ).
10.20. ${\dot{M}}_{\alpha }=\sum _{\beta \gamma \delta }{e}_{\alpha \beta \gamma }{\left(I^{-1}\right)}_{\gamma \delta }{M}_{\beta }{M}_{\delta }$, в частности, если выбрать подвижную систему так, чтобы тензор инерции $I^{\alpha \beta }$ был диагонален, получим уравнения Эйлера (см. [1], §36 с учетом соотношения $M_{\alpha }=I_{\alpha }{\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ ).
10.21. Уравнения движения
$${\dot{M}}_i=\{H,M_i\}=\gamma e_{ijk}{M}_j{\mathcal{H}}_k,\text{ или }\dot{\mathbf{M}}=-\gamma [\mathcal{H}\mathbf{M}],$$
т. е. вектор М вращается с угловой скоростью $-\gamma \mathcal{H}$.
a) Вектор М прецессирует вокруг направления $\mathcal{H}$ :
$$\begin{array}{l}{M}_x=M_x(0)\cos \gamma {\mathcal{H}}_{0}t+M_y(0)\sin \gamma {\mathcal{H}}_{0}t\\ M_y=-M_x(0)\sin \gamma {\mathcal{H}}_{0}t+M_y(0)\cos \gamma {\mathcal{H}}_{0}t\\ M_z=M_z(0)\end{array}$$
б) Вектор М вращается с угловой скоростью $-\gamma \mathcal{H}$, которая в свою очередь вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\omega$. Удобно воспользоваться вращающейся системой отсчета, в которой вектор $\mathcal{H}$ неподвижен. В этой системе компоненты угловой скорости вектора М равны
$${\omega }_x^{\prime }=-\gamma {\mathcal{H}}_1,{\omega }_y^{\prime }=0,{\omega }_z^{\prime }=-\gamma {\mathcal{H}}_1-\omega \equiv \epsilon .$$

При заданном начальном условии компоненты $M$ во вращающейся системе
$$\begin{array}{rl}{M}_x^{\prime }& =-a\frac{\epsilon }{\lambda }{M}_0(1-\cos \lambda t),\\ M_y^{\prime }& =a{M}_0\sin \lambda t\\ M_z^{\prime }& =(\frac{{\epsilon }^2}{{\lambda }^2}+a^2\cos \lambda t)M_0,\end{array}$$

где $\lambda =\sqrt{{\epsilon }^2+{\gamma }^2{\mathcal{H}}_1^2},a=\gamma {\mathcal{H}}_1/\sqrt{{\epsilon }^2+{\gamma }^2{\mathcal{H}}_1^2}$.
В неподвижной системе
$$\begin{array}{l}{M}_x=M_x^{\prime }\cos \omega t-M_y^{\prime }\sin \omega t,\\ M_y=M_x^{\prime }\sin \omega t+M_y^{\prime }\cos \omega t,\\ M_z=M_z.\end{array}$$

При ${\mathcal{H}}_1\ll {\mathcal{H}}_0$ зависимость амплитуд $M_{x,y}$ от $\omega$ носит резонансный характер: вообще говоря, эти амплитуды малы $\sim M_0{\mathcal{H}}_1/{\mathcal{H}}_0$, но при $|\epsilon |=$ $=|\omega +\gamma {\mathcal{H}}_0|\lesssim \gamma {\mathcal{H}}_1$ они резко возрастают, достигая значений $\sim M_0$. В частности, при $\omega =-\gamma {\mathcal{H}}_0$
$$\begin{array}{l}{M}_x=-M_0\sin \gamma {\mathcal{H}}_{1}t\sin \gamma {\mathcal{H}}_{0}t,\\ M_y=M_0\sin \gamma {\mathcal{H}}_{1}t\cos \gamma {\mathcal{H}}_{0}t,\\ M_z=M_0\cos \gamma {\mathcal{H}}_{1}t.\end{array}$$
10.22. $\{v_i,v_j\}=-\frac{e}{m^{2}c}\sum _k{e}_{ijk}{\mathcal{H}}_k$.
10.23. a) $\mathbf{p}(t)=\mathbf{p}+\mathbf{F}t,\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}+\frac{\mathbf{p}t}{m}+\frac{\mathbf{F}{t}^2}{2m}$;
б)
$$\begin{array}{l}p(t)=p\cos \omega t-m\omega q\sin \omega t\\ q(t)=q\cos \omega t+\frac{p}{m\omega }\sin \omega t\end{array}$$

Разумеется, эти величины проще вычислить, не используя скобок Пуассона. Но предложенный метод легко может быть перенесен в квантовую механику (см. [26], § 34).
10.25. а) Согласно предыдущей задаче
$$\frac{df}{dt}=\{H,f\}=\frac{\partial H}{\partial f}\{f,f\}=0.$$
б) Функция Гамильтона
$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{1}{2m_{ı}{r}^2}f(\theta ,p_{\theta },p_{\phi })$$

где
$$f(\theta ,p_{\theta },p_{\phi })=p_{\theta }^2+\frac{p_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta }+2ma\cos \theta .$$

Интегралы движения: $E,p_{\phi }$ и, согласно предыдущему, $f$.

10.26. a)
$$\begin{array}{r}\{A_i,A_j\}=\frac{2H}{m}\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{M}_k,\\ \{A_i,M_j\}=-\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{A}_k;\end{array}$$
б) $\{H,{\mathbf{J}}_{1,2}\}=0,\{J_{1i},J_{2j}\}=0$,
$$\begin{array}{c}\{J_{1i},J_{1j}\}=-\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{J}_{1k},\{J_{2i},J_{2j}\}=-\sum _{k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{J}_{2k},\\ H=-\frac{m{\alpha }^2}{4({\mathbf{J}}_1^2+{\mathbf{J}}_2^2)}.\end{array}$$

Векторы ${\mathbf{J}}_1$ и ${\mathbf{J}}_2$ — независимые интегралы движения. Каждый из них имеет такие же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный момент импульса. Наличие двух таких «моментов» тесно связано с так называемой «скрытой симметрией» атома водорода (см. [27], гл. I, § 5).